Cálculo Ejemplos

$k (x) = 2 \cos (x) - \sin (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \cos (x) - \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 1.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) - \cos (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 \sin (x) - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$k'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$k'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) - \frac{d}{d x} \cos (x)$

Paso 2.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \sin (x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + 1 \sin (x)$

Paso 2.3.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \sin (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 2 \sin (x) - \cos (x) = 0$

Paso 4

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 5

Separa las fracciones.

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 6

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{- 2}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 7

Divide $- 2$ por $1$ .

$- 2 \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 8

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 8.1

Cancela el factor común.

$- 2 \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 8.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 9

Separa las fracciones.

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 10

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Paso 11

Divide $0$ por $1$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Paso 12

Multiplica $0$ por $\sec (x)$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = 0$

Paso 13

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 \tan (x) = 1$

Paso 14

Divide cada término en $- 2 \tan (x) = 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 14.1

Divide cada término en $- 2 \tan (x) = 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Paso 14.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 14.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 14.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Paso 14.2.1.2

Divide $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 2}$

Paso 14.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\tan (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 15

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- \frac{1}{2})$

Paso 16

Simplifica el lado derecho.

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Paso 16.1

Evalúa $\arctan (- \frac{1}{2})$ .

$x = - 0.4636476$

Paso 17

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - 0.4636476 - (3.14159265)$

Paso 18

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 18.1

Suma $2 π$ a $- 0.4636476 - (3.14159265)$ .

$x = - 0.4636476 - (3.14159265) + 2 π$

Paso 18.2

El ángulo resultante de $2.67794504$ es positivo y coterminal con $- 0.4636476 - (3.14159265)$ .

$x = 2.67794504$

Paso 19

La solución a la ecuación $x = - 0.4636476$ .

$x = - 0.4636476, 2.67794504$

Paso 20

Evalúa la segunda derivada en $x = - 0.4636476$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \cos (- 0.4636476) + \sin (- 0.4636476)$

Paso 21

$x = - 0.4636476$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 0.4636476$ es un máximo local

Paso 22

Obtén el valor de y cuando $x = - 0.4636476$ .

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Paso 22.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.4636476$ en la expresión.

$k (- 0.4636476) = 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$

Paso 22.2

La respuesta final es $2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$ .

$y = 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$

Paso 23

Evalúa la segunda derivada en $x = 2.67794504$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \cos (2.67794504) + \sin (2.67794504)$

Paso 24

$x = 2.67794504$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 2.67794504$ es un mínimo local

Paso 25

Obtén el valor de y cuando $x = 2.67794504$ .

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Paso 25.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.67794504$ en la expresión.

$k (2.67794504) = 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$

Paso 25.2

La respuesta final es $2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$ .

$y = 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$

Paso 26

Estos son los extremos locales de $k (x) = 2 \cos (x) - \sin (x)$ .

$(- 0.4636476, 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476))$ es un máximo local

$(2.67794504, 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504))$ es un mínimo local

Paso 27