Cálculo Ejemplos

$k (x) = x^{\frac{3}{2}} \cdot e^{2 x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ y $g (x) = e^{2 x}$ .

$x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 1.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Paso 1.7.2

Resta $2$ de $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.8

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.9

Combina $e^{2 x}$ y $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + \frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 1.10

Simplifica.

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Paso 1.10.1

Reordena los términos.

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 1.10.2

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

$k'' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}]$ .

$k'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{2 x}$ y $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (e^{2 x})) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (e^{2 x})) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (2 x))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 2.2.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (2 x))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 2.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 2.2.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 2.2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 2.2.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 2.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 2.2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 2.2.10.2

Resta $2$ de $3$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 2.2.11

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 2.2.12

Combina $e^{2 x}$ y $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 2.2.13

Multiplica $2$ por $1$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \cdot 2)) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 2.2.14

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (e^{2 x} x^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.3.2

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{2 x}))$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{2 x}))$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Paso 2.3.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (2 x)))$

Paso 2.3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x)))$

Paso 2.3.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x))))$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Paso 2.3.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Paso 2.3.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Paso 2.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Paso 2.3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Paso 2.3.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Paso 2.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Paso 2.3.12

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Paso 2.3.13

Combina $e^{2 x}$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{e^{2 x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Paso 2.3.14

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Paso 2.3.15

Multiplica $2$ por $1$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} \cdot 2))$

Paso 2.3.16

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}) + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Paso 2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}) + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Paso 2.4.3

Combina los términos.

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Paso 2.4.3.1

Combina $2$ y $\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{2 (e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}}))}{2} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Paso 2.4.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$k'' (x) = \frac{6 (e^{2 x} (x^{\frac{1}{2}}))}{2} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Paso 2.4.3.3

Factoriza $2$ de $6 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{2 (3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Paso 2.4.3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.3.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$k'' (x) = \frac{2 (3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Paso 2.4.3.4.2

Cancela el factor común.

$k'' (x) = \frac{2 (3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Paso 2.4.3.4.3

Reescribe la expresión.

$k'' (x) = \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{1} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Paso 2.4.3.4.4

Divide $3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Paso 2.4.3.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 (x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Paso 2.4.3.6

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{2 (2 x^{\frac{1}{2}})} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Paso 2.4.3.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Paso 2.4.3.8

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{3}{2}$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2} \cdot (2 e^{2 x})$

Paso 2.4.3.9

Combina $2$ y $\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (x^{\frac{1}{2}} \cdot 3)}{2} \cdot e^{2 x}$

Paso 2.4.3.10

Multiplica $3$ por $2$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot e^{2 x}$

Paso 2.4.3.11

Combina $\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{6 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}{2}$

Paso 2.4.3.12

Factoriza $2$ de $6 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x})}{2}$

Paso 2.4.3.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.3.13.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x})}{2 (1)}$

Paso 2.4.3.13.2

Cancela el factor común.

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.3.13.3

Reescribe la expresión.

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}{1}$

Paso 2.4.3.13.4

Divide $3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$ por $1$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$

Paso 2.4.3.14

Suma $3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ y $3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.3.14.1

Mueve $e^{2 x}$ .

$k'' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x} + 3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.4.3.14.2

Suma $3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$ y $3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$ .

$k'' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.4.4

Reordena los términos.

$k'' (x) = 6 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

$x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 4.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 4.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 4.1.3

Diferencia.

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Paso 4.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 4.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 4.1.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 4.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Paso 4.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 4.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 4.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 4.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Paso 4.1.7.2

Resta $2$ de $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.8

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 4.1.9

Combina $e^{2 x}$ y $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + \frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 4.1.10

Simplifica.

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Paso 4.1.10.1

Reordena los términos.

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 4.1.10.2

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 4.2

La primera derivada de $k (x)$ con respecto a $x$ es $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

Paso 5.2

Obtén un factor común $e^{2 x} x$ que esté presente en cada término.

$2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}} + \frac{3}{2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 1}{4 x}}}$

Paso 5.3

Sustituye $u$ por $e^{2 x} x$ .

$2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}} + \frac{3}{2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 1}{4 x}}} = 0$

Paso 5.4

Resuelve $u$

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Paso 5.4.1

Mueve $\frac{3}{2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 1}{4 x}}}$ al lado derecho de la ecuación mediante la resta en ambos lados.

$2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}} = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

Paso 5.4.2

Simplifica $2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}}$ .

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Paso 5.4.2.1

Aplica la regla del producto a $e x^{2 x}$ .

$2 (e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} {(x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}}) = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

Paso 5.4.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}}$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{2 x \frac{4 x + 3}{4 x}}) = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

Paso 5.4.2.2.2

Cancela el factor común de $2 x$ .

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Paso 5.4.2.2.2.1

Factoriza $2 x$ de $4 x$ .

$2 (e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{2 x \frac{4 x + 3}{2 x (2)}}) = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

Paso 5.4.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$2 (e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{2 x \frac{4 x + 3}{2 x \cdot 2}}) = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

Paso 5.4.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$2 (e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}}) = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

$2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

Paso 5.4.3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.4.3.1

Suma $\frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$ a ambos lados de la ecuación.

$2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} + \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.2

Para escribir $2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$ .

$2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} \cdot \frac{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} + \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.3

Combina $2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}}$ y $\frac{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$ .

$\frac{2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}})}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} + \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.3.5.1

Multiplica $e^{\frac{4 x + 3}{4 x}}$ por $e^{\frac{4 x + 1}{4 x}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.5.1.1

Mueve $e^{\frac{4 x + 1}{4 x}}$ .

$\frac{2 (e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} e^{\frac{4 x + 3}{4 x}}) x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x} + \frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.5.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 e^{\frac{4 x + 1 + 4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.5.1.4

Suma $4 x$ y $4 x$ .

$\frac{2 e^{\frac{8 x + 1 + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.5.1.5

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{2 e^{\frac{8 x + 4}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.5.1.6

Cancela el factor común de $8 x + 4$ y $4$ .

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Paso 5.4.3.5.1.6.1

Factoriza $4$ de $8 x$ .

$\frac{2 e^{\frac{4 (2 x) + 4}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.5.1.6.2

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{2 e^{\frac{4 (2 x) + 4 \cdot 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.5.1.6.3

Factoriza $4$ de $4 (2 x) + 4 (1)$ .

$\frac{2 e^{\frac{4 (2 x + 1)}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.5.1.6.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.5.1.6.4.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{2 e^{\frac{4 (2 x + 1)}{4 (x)}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.5.1.6.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 e^{\frac{4 (2 x + 1)}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.5.1.6.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.5.2

Multiplica $x^{\frac{4 x + 3}{2}}$ por $x^{\frac{4 x + 1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.4.3.5.2.1

Mueve $x^{\frac{4 x + 1}{2}}$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} (x^{\frac{4 x + 1}{2}} x^{\frac{4 x + 3}{2}}) \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{4 x + 1}{2} + \frac{4 x + 3}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{4 x + 1 + 4 x + 3}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.5.2.4

Suma $4 x$ y $4 x$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{8 x + 1 + 3}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.5.2.5

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{8 x + 4}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.5.2.6

Cancela el factor común de $8 x + 4$ y $2$ .

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Paso 5.4.3.5.2.6.1

Factoriza $2$ de $8 x$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{2 (4 x) + 4}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.5.2.6.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{2 (4 x) + 2 \cdot 2}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.5.2.6.3

Factoriza $2$ de $2 (4 x) + 2 (2)$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{2 (4 x + 2)}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.5.2.6.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.5.2.6.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{2 (4 x + 2)}{2 (1)}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.5.2.6.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{2 (4 x + 2)}{2 \cdot 1}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.5.2.6.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{4 x + 2}{1}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.5.2.6.4.4

Divide $4 x + 2$ por $1$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{4 x + 2} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.4.3.5.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{4 x + 2} + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.5

Sustituye $x$ por $u$ .

$\frac{4 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{4 x + 2} + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Paso 5.6

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.1

Factoriza $e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ de $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

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Paso 5.6.1.1

Reordena la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.1.1.1

Mueve $e^{2 x}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

Paso 5.6.1.1.2

Mueve $e^{2 x}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}{2} = 0$

Paso 5.6.1.2

Factoriza $e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ de $2 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x}$ .

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{2}{2}}) + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}{2} = 0$

Paso 5.6.1.3

Factoriza $e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ de $\frac{3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{2}{2}}) + e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2}) = 0$

Paso 5.6.1.4

Factoriza $e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ de $e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{2}{2}}) + e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{2}$ .

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{2}{2}} + \frac{3}{2}) = 0$

Paso 5.6.2

Divide $2$ por $2$ .

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{3}{2}) = 0$

Paso 5.6.3

Simplifica.

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{3}{2}) = 0$

Paso 5.7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{2 x} = 0$

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

$2 x + \frac{3}{2} = 0$

Paso 5.8

Establece $e^{2 x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.8.1

Establece $e^{2 x}$ igual a $0$ .

$e^{2 x} = 0$

Paso 5.8.2

Resuelve $e^{2 x} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.8.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (0)$

Paso 5.8.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 5.8.2.3

No hay soluciones para $e^{2 x} = 0$

No hay solución

Paso 5.9

Establece $x^{\frac{1}{2}}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.9.1

Establece $x^{\frac{1}{2}}$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 5.9.2

Resuelve $x^{\frac{1}{2}} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.9.2.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 5.9.2.2

Simplifica el exponente.

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Paso 5.9.2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.9.2.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.9.2.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.9.2.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 5.9.2.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.9.2.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 5.9.2.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 0^{2}$

Paso 5.9.2.2.1.1.2

Simplifica.

$x = 0^{2}$

Paso 5.9.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.9.2.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = 0$

Paso 5.10

Establece $2 x + \frac{3}{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.10.1

Establece $2 x + \frac{3}{2}$ igual a $0$ .

$2 x + \frac{3}{2} = 0$

Paso 5.10.2

Resuelve $2 x + \frac{3}{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.10.2.1

Resta $\frac{3}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - \frac{3}{2}$

Paso 5.10.2.2

Divide cada término en $2 x = - \frac{3}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.10.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - \frac{3}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Paso 5.10.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.10.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.10.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Paso 5.10.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Paso 5.10.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.10.2.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 5.10.2.2.3.2

Multiplica $- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 5.10.2.2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$x = - \frac{3}{2 \cdot 2}$

Paso 5.10.2.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = - \frac{3}{4}$

Paso 5.11

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{3}{2}) = 0$ verdadera.

$x = 0, - \frac{3}{4}$

Paso 5.12

Excluye las soluciones que no hagan que $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ sea verdadera.

$x = 0$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 6.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$2 e^{2 x} \sqrt{x^{3}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 6.1.2

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$2 e^{2 x} \sqrt{x^{3}} + \frac{3 e^{2 x} \sqrt{x^{1}}}{2}$

Paso 6.1.3

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$2 e^{2 x} \sqrt{x^{3}} + \frac{3 e^{2 x} \sqrt{x}}{2}$

Paso 6.2

Establece el radicando en $\sqrt{x^{3}}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} < 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Paso 6.3.2

Simplifica la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.2.1

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x < 0$

Paso 6.4

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común.

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 9.2.2

Reescribe la expresión.

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 \cdot 0^{1}}$

Paso 9.3

Evalúa el exponente.

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 \cdot 0}$

Paso 9.4

Multiplica $4$ por $0$ .

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{0}$

Paso 9.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 10

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 11