Cálculo Ejemplos

$k (x) = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Paso 1.4

Simplifica.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 1.5

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 1.6

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 1.6.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 1.7

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 1.7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 1.7.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 1.7.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 1.7.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 1.8

Multiplica $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$ por $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 1.9

Combinar.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Paso 1.10

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Paso 1.11

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.11.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Paso 1.11.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Paso 1.12

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.12.1

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.12.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x^{1}}$

Paso 1.12.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Paso 1.12.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 1.12.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 1.12.4

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.14

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.15

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.17

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.17.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.17.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.18

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.18.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.18.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.18.3

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \ln (x)}{2})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.18.4

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.18.5

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.18.6

Cancela el factor común.

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.18.7

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.19

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.19.1

Reescribe $\frac{\ln (x)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$\frac{1 - (\frac{1}{2} \ln (x))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.19.2

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (x)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.2.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x^{\frac{1}{2}})$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (- (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.4

Combina $x^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.5

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.6

Multiplica $x^{\frac{3}{2}}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.6.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{3 - 1}{2}} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.6.3

Resta $1$ de $3$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.6.4

Divide $2$ por $2$ .

$k'' (x) = \frac{- x \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.7

Simplifica $x^{1}$ .

$k'' (x) = \frac{- x \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.9

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.10

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.12

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.12.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.12.2

Resta $2$ de $1$ .

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.14

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{- x \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.15

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $x$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.16

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.16.1

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.16.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.16.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.16.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.16.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.16.4

Suma $- 1$ y $2$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.17

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})}{x^{3}}$

Paso 2.18

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x^{3}}$

Paso 2.19

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

Paso 2.20

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

Paso 2.21

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.21.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})}{x^{3}}$

Paso 2.21.2

Resta $2$ de $3$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}{x^{3}}$

Paso 2.22

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{3}}$

Paso 2.23

Para escribir $- (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{2}{2}}{x^{3}}$

Paso 2.24

Combina $- (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 2}{2}}{x^{3}}$

Paso 2.25

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 2}{2}}{x^{3}}$

Paso 2.26

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} - 2 (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2}}{x^{3}}$

Paso 2.27

Combina $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $- 2$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{2} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Paso 2.28

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 6 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Paso 2.29

Factoriza $2$ de $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Paso 2.30

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.30.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Paso 2.30.2

Cancela el factor común.

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Paso 2.30.3

Reescribe la expresión.

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{1} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Paso 2.30.4

Divide $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Paso 2.31

Reescribe $\frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$ como un producto.

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot \frac{1}{x^{3}}$

Paso 2.32

Multiplica $\frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{3}}$

Paso 2.33

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.33.1

Aplica la propiedad distributiva.

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - 3 x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{3}}$

Paso 2.33.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.33.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.33.2.1.1

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{3}}$

Paso 2.33.2.1.2

Multiplica $- 3 x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.33.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3}}$

Paso 2.33.2.1.2.2

Simplifica $3 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{3})}{2 x^{3}}$

Paso 2.33.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.33.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 3})}{2 x^{3}}$

Paso 2.33.2.1.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $3$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}})}{2 x^{3}}$

Paso 2.33.2.2

Resta $3 x^{\frac{1}{2}}$ de $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}})}{2 x^{3}}$

Paso 2.33.3

Reordena los términos.

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3}}$

Paso 2.33.4

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.33.4.1

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}})$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x^{\frac{3}{2}})) - 4 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3}}$

Paso 2.33.4.2

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x^{\frac{3}{2}})) + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4}{2 x^{3}}$

Paso 2.33.4.3

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} (\ln (x^{\frac{3}{2}})) + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4)}{2 x^{3}}$

Paso 2.33.5

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{3} x^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 2.33.6

Multiplica $x^{3}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.33.6.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{3})}$

Paso 2.33.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{- \frac{1}{2} + 3}}$

Paso 2.33.6.3

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

Paso 2.33.6.4

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

Paso 2.33.6.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

Paso 2.33.6.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.33.6.6.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

Paso 2.33.6.6.2

Suma $- 1$ y $6$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 4.1.2

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Paso 4.1.4

Simplifica.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.1.5

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.1.6

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.1

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.1.6.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.1.7

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.7.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.7.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.1.7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.1.7.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.1.7.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.1.7.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.1.8

Multiplica $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$ por $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.1.9

Combinar.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Paso 4.1.10

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Paso 4.1.11

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.11.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Paso 4.1.11.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Paso 4.1.12

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.12.1

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.12.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x^{1}}$

Paso 4.1.12.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Paso 4.1.12.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 4.1.12.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 4.1.12.4

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.1.14

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.1.15

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.1.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.1.17

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.17.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.1.17.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.1.18

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.18.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.1.18.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.1.18.3

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \ln (x)}{2})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.1.18.4

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.1.18.5

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.1.18.6

Cancela el factor común.

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.1.18.7

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.1.19

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.19.1

Reescribe $\frac{\ln (x)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$\frac{1 - (\frac{1}{2} \ln (x))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.1.19.2

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (x)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $k (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}) = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \ln (x^{\frac{1}{2}}) = - 1$

Paso 5.3.2

Divide cada término en $- \ln (x^{\frac{1}{2}}) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Divide cada término en $- \ln (x^{\frac{1}{2}}) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (x^{\frac{1}{2}})}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ por $1$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}}) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}}) = 1$

Paso 5.3.3

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x^{\frac{1}{2}})} = e^{1}$

Paso 5.3.4

Reescribe $\ln (x^{\frac{1}{2}}) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{\frac{1}{2}}$

Paso 5.3.5

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.1

Reescribe la ecuación como $x^{\frac{1}{2}} = e^{1}$ .

$x^{\frac{1}{2}} = e$

Paso 5.3.5.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(e^{1})}^{2}$

Paso 5.3.5.3

Simplifica el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{1})}^{2}$

Paso 5.3.5.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{1})}^{2}$

Paso 5.3.5.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(e^{1})}^{2}$

Paso 5.3.5.3.1.1.2

Simplifica.

$x = {(e^{1})}^{2}$

Paso 5.3.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.3.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{1})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.3.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = e^{1 \cdot 2}$

Paso 5.3.5.3.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = e^{2}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{1 - \ln (\sqrt{x^{1}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 6.1.2

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{1 - \ln (\sqrt{x^{1}})}{\sqrt{x^{3}}}$

Paso 6.1.3

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{1 - \ln (\sqrt{x})}{\sqrt{x^{3}}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{1 - \ln (\sqrt{x})}{\sqrt{x^{3}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{x^{3}} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x^{3}}}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{3} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x^{3} = 0$

Paso 6.3.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 6.3.3.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 6.3.3.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 6.4

Establece el argumento en $\ln (\sqrt{x})$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{x} \leq 0$

Paso 6.5

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{x}}^{2} \leq 0^{2}$

Paso 6.5.2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Paso 6.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Paso 6.5.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Paso 6.5.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} \leq 0^{2}$

Paso 6.5.2.2.1.2

Simplifica.

$x \leq 0^{2}$

Paso 6.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x \leq 0$

Paso 6.6

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x < 0$

Paso 6.7

Establece el radicando en $\sqrt{x^{3}}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} < 0$

Paso 6.8

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Paso 6.8.2

Simplifica la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Paso 6.8.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.2.2.1

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 6.8.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x < 0$

Paso 6.9

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = e^{2}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = e^{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{\ln ({(e^{2})}^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (e^{2 (\frac{3}{2})}) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 9.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (e^{2 (\frac{3}{2})}) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 9.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (e^{3}) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 9.1.2

Usa las reglas de logaritmos para mover $3$ fuera del exponente.

$\frac{3 \ln (e) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 9.1.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\frac{3 \cdot 1 - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 9.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 9.1.5

Resta $4$ de $3$ .

$\frac{- 1}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 9.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{2})}^{\frac{5}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 1}{2 e^{2 (\frac{5}{2})}}$

Paso 9.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{2 e^{2 (\frac{5}{2})}}$

Paso 9.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{2 e^{5}}$

Paso 9.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2 e^{5}}$

Paso 10

$x = e^{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = e^{2}$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = e^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $e^{2}$ en la expresión.

$k (e^{2}) = \frac{\ln (e^{2})}{\sqrt{e^{2}}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Elimina los paréntesis.

$k (e^{2}) = \frac{\ln (e^{2})}{\sqrt{e^{2}}}$

Paso 11.2.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $2$ fuera del exponente.

$k (e^{2}) = \frac{2 \ln (e)}{\sqrt{e^{2}}}$

Paso 11.2.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$k (e^{2}) = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{e^{2}}}$

Paso 11.2.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$k (e^{2}) = \frac{2}{\sqrt{e^{2}}}$

Paso 11.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$k (e^{2}) = \frac{2}{e}$

Paso 11.2.4

La respuesta final es $\frac{2}{e}$ .

$y = \frac{2}{e}$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $k (x) = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ .

$(e^{2}, \frac{2}{e})$ es un máximo local

Paso 13