Cálculo Ejemplos

$P (x) = \frac{- {0.1}^{2} + 100 x - 60}{4000 x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Eleva $0.1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- 1 \cdot 0.01 + 100 x - 60}{4000 x}]$

Paso 1.1.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $0.01$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- 0.01 + 100 x - 60}{4000 x}]$

Paso 1.1.2.2

Resta $60$ de $- 0.01$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{100 x - 60.01}{4000 x}]$

Paso 1.1.3

Como $\frac{1}{4000}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{100 x - 60.01}{4000 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4000} \frac{d}{d x} [\frac{100 x - 60.01}{x}]$ .

$\frac{1}{4000} \frac{d}{d x} [\frac{100 x - 60.01}{x}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 100 x - 60.01$ y $g (x) = x$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [100 x - 60.01] - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $100 x - 60.01$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [100 x] + \frac{d}{d x} [- 60.01]$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [100 x] + \frac{d}{d x} [- 60.01]) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3.2

Como $100$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $100 x$ con respecto a $x$ es $100 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (100 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 60.01]) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (100 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 60.01]) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3.4

Multiplica $100$ por $1$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (100 + \frac{d}{d x} [- 60.01]) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3.5

Como $- 60.01$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 60.01$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (100 + 0) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.1

Suma $100$ y $0$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x \cdot 100 - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3.6.2

Mueve $100$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{100 \cdot x - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{100 x - (100 x - 60.01) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.3.8

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.8.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{100 x - (100 x - 60.01)}{x^{2}}$

Paso 1.3.8.2

Multiplica $\frac{1}{4000}$ por $\frac{100 x - (100 x - 60.01)}{x^{2}}$ .

$\frac{100 x - (100 x - 60.01)}{4000 x^{2}}$

Paso 1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{100 x - (100 x) - - 60.01}{4000 x^{2}}$

Paso 1.4.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1.1

Multiplica $100$ por $- 1$ .

$\frac{100 x - 100 x - - 60.01}{4000 x^{2}}$

Paso 1.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 60.01$ .

$\frac{100 x - 100 x + 60.01}{4000 x^{2}}$

Paso 1.4.2.2

Resta $100 x$ de $100 x$ .

$\frac{0 + 60.01}{4000 x^{2}}$

Paso 1.4.2.3

Suma $0$ y $60.01$ .

$\frac{60.01}{4000 x^{2}}$

Paso 1.4.3

Factoriza $60.01$ de $60.01$ .

$\frac{60.01 (1)}{4000 x^{2}}$

Paso 1.4.4

Factoriza $4000$ de $4000 x^{2}$ .

$\frac{60.01 (1)}{4000 (x^{2})}$

Paso 1.4.5

Separa las fracciones.

$\frac{60.01}{4000} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.4.6

Divide $60.01$ por $4000$ .

$0.0150025 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.4.7

Combina $0.0150025$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{0.0150025}{x^{2}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Como $0.0150025$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{0.0150025}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $0.0150025 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$P'' (x) = 0.0150025 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Paso 2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$P'' (x) = 0.0150025 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

Paso 2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$P'' (x) = 0.0150025 \frac{d}{d x} (x^{2 \cdot - 1})$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$P'' (x) = 0.0150025 \frac{d}{d x} (x^{- 2})$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$P'' (x) = 0.0150025 (- 2 x^{- 3})$

Paso 2.4

Multiplica $- 2$ por $0.0150025$ .

$P'' (x) = - 0.030005 x^{- 3}$

Paso 2.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$P'' (x) = - 0.030005 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 2.5.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Combina $- 0.030005$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$P'' (x) = \frac{- 0.030005}{x^{3}}$

Paso 2.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$P'' (x) = - \frac{0.030005}{x^{3}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{0.0150025}{x^{2}} = 0$

Paso 4

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 5

No hay extremos locales

Paso 6