Cálculo Ejemplos

$k (t) = t^{2} {(t^{2} - 4)}^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = {(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 4)}^{3}] + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{3}$ y $g (t) = t^{2} - 4$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t^{2} - 4$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$t^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{2} - 4$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} - 4$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 1.3.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $t$ es $0$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + 0)) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.4.1

Suma $2 t$ y $0$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t)) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 1.3.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2} t) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 1.4

Multiplica $t^{2}$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.1

Mueve $t$ .

$t \cdot t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 1.4.2

Multiplica $t$ por $t^{2}$ .

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Paso 1.4.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$t^{1} t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$t^{1 + 2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} (2 t)$

Paso 1.6

Mueve $2$ a la izquierda de ${(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + 2 \cdot {(t^{2} - 4)}^{3} t$

Paso 1.7

Simplifica.

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Paso 1.7.1

Factoriza $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ de $t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + 2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$ .

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Paso 1.7.1.1

Factoriza $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ de $t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2})$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + 2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$

Paso 1.7.1.2

Factoriza $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ de $2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} - 4)$

Paso 1.7.1.3

Factoriza $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ de $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} - 4)$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3) + t^{2} - 4)$

Paso 1.7.2

Combina los términos.

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Paso 1.7.2.1

Mueve $2$ a la izquierda de $t$ .

$2 \cdot t {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3) + t^{2} - 4)$

Paso 1.7.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $t^{2}$ .

$2 t {(t^{2} - 4)}^{2} (3 \cdot t^{2} + t^{2} - 4)$

Paso 1.7.2.3

Suma $3 t^{2}$ y $t^{2}$ .

$2 t {(t^{2} - 4)}^{2} (4 t^{2} - 4)$

Paso 1.7.3

Reescribe ${(t^{2} - 4)}^{2}$ como $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ .

$2 t ((t^{2} - 4) (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Paso 1.7.4

Expande $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.7.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 t (t^{2} (t^{2} - 4) - 4 (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Paso 1.7.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 t (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Paso 1.7.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 t (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Paso 1.7.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.7.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.5.1.1

Multiplica $t^{2}$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.7.5.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 t (t^{2 + 2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Paso 1.7.5.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$2 t (t^{4} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Paso 1.7.5.1.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $t^{2}$ .

$2 t (t^{4} - 4 \cdot t^{2} - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Paso 1.7.5.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$2 t (t^{4} - 4 t^{2} - 4 t^{2} + 16) (4 t^{2} - 4)$

Paso 1.7.5.2

Resta $4 t^{2}$ de $- 4 t^{2}$ .

$2 t (t^{4} - 8 t^{2} + 16) (4 t^{2} - 4)$

Paso 1.7.6

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 t \cdot t^{4} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Paso 1.7.7

Simplifica.

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Paso 1.7.7.1

Multiplica $t$ por $t^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.7.7.1.1

Mueve $t^{4}$ .

$(2 (t^{4} t) + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Paso 1.7.7.1.2

Multiplica $t^{4}$ por $t$ .

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Paso 1.7.7.1.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$(2 (t^{4} t^{1}) + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Paso 1.7.7.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(2 t^{4 + 1} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Paso 1.7.7.1.3

Suma $4$ y $1$ .

$(2 t^{5} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Paso 1.7.7.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t \cdot t^{2} + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Paso 1.7.7.3

Multiplica $16$ por $2$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t \cdot t^{2} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Paso 1.7.8

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.8.1

Multiplica $t$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.7.8.1.1

Mueve $t^{2}$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{2} t) + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Paso 1.7.8.1.2

Multiplica $t^{2}$ por $t$ .

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Paso 1.7.8.1.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{2} t^{1}) + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Paso 1.7.8.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{2 + 1} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Paso 1.7.8.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Paso 1.7.8.2

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$(2 t^{5} - 16 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Paso 1.7.9

Expande $(2 t^{5} - 16 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$2 t^{5} (4 t^{2}) + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 1.7.10

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.10.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \cdot 4 t^{5} t^{2} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 1.7.10.2

Multiplica $t^{5}$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.7.10.2.1

Mueve $t^{2}$ .

$2 \cdot 4 (t^{2} t^{5}) + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 1.7.10.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \cdot 4 t^{2 + 5} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 1.7.10.2.3

Suma $2$ y $5$ .

$2 \cdot 4 t^{7} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 1.7.10.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 t^{7} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 1.7.10.4

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 1.7.10.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{3} t^{2} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 1.7.10.6

Multiplica $t^{3}$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.7.10.6.1

Mueve $t^{2}$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 (t^{2} t^{3}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 1.7.10.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{2 + 3} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 1.7.10.6.3

Suma $2$ y $3$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{5} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 1.7.10.7

Multiplica $- 16$ por $4$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 1.7.10.8

Multiplica $- 4$ por $- 16$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 1.7.10.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t \cdot t^{2} + 32 t \cdot - 4$

Paso 1.7.10.10

Multiplica $t$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.7.10.10.1

Mueve $t^{2}$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 (t^{2} t) + 32 t \cdot - 4$

Paso 1.7.10.10.2

Multiplica $t^{2}$ por $t$ .

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Paso 1.7.10.10.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 (t^{2} t^{1}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 1.7.10.10.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t^{2 + 1} + 32 t \cdot - 4$

Paso 1.7.10.10.3

Suma $2$ y $1$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t^{3} + 32 t \cdot - 4$

Paso 1.7.10.11

Multiplica $32$ por $4$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} + 32 t \cdot - 4$

Paso 1.7.10.12

Multiplica $- 4$ por $32$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} - 128 t$

Paso 1.7.11

Resta $64 t^{5}$ de $- 8 t^{5}$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} - 128 t$

Paso 1.7.12

Suma $64 t^{3}$ y $128 t^{3}$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [8 t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 72 t^{5}] + \frac{d}{d t} [192 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 128 t]$ .

$k'' (t) = \frac{d}{d t} (8 t^{7}) + \frac{d}{d t} (- 72 t^{5}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [8 t^{7}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $8 t^{7}$ con respecto a $t$ es $8 \frac{d}{d t} [t^{7}]$ .

$k'' (t) = 8 \frac{d}{d t} (t^{7}) + \frac{d}{d t} (- 72 t^{5}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$k'' (t) = 8 (7 t^{6}) + \frac{d}{d t} (- 72 t^{5}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Paso 2.2.3

Multiplica $7$ por $8$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} + \frac{d}{d t} (- 72 t^{5}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [- 72 t^{5}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 72$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 72 t^{5}$ con respecto a $t$ es $- 72 \frac{d}{d t} [t^{5}]$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 72 \frac{d}{d t} t^{5} + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 72 (5 t^{4}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Paso 2.3.3

Multiplica $5$ por $- 72$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d t} [192 t^{3}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $192$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $192 t^{3}$ con respecto a $t$ es $192 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 192 \frac{d}{d t} (t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 192 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Paso 2.4.3

Multiplica $3$ por $192$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 576 t^{2} + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d t} [- 128 t]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Como $- 128$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 128 t$ con respecto a $t$ es $- 128 \frac{d}{d t} [t]$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 576 t^{2} - 128 \frac{d}{d t} t$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 576 t^{2} - 128 \cdot 1$

Paso 2.5.3

Multiplica $- 128$ por $1$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 576 t^{2} - 128$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

$t^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 4)}^{3}] + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{3}$ y $g (t) = t^{2} - 4$ .

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Paso 4.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t^{2} - 4$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$t^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 4.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{2} - 4$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 4.1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} - 4$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 4.1.3.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $t$ es $0$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + 0)) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 4.1.3.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.4.1

Suma $2 t$ y $0$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t)) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 4.1.3.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2} t) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 4.1.4

Multiplica $t^{2}$ por $t$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.1

Mueve $t$ .

$t \cdot t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 4.1.4.2

Multiplica $t$ por $t^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$t^{1} t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 4.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$t^{1 + 2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 4.1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 4.1.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} (2 t)$

Paso 4.1.6

Mueve $2$ a la izquierda de ${(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + 2 \cdot {(t^{2} - 4)}^{3} t$

Paso 4.1.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.7.1

Factoriza $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ de $t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + 2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.7.1.1

Factoriza $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ de $t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2})$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + 2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$

Paso 4.1.7.1.2

Factoriza $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ de $2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} - 4)$

Paso 4.1.7.1.3

Factoriza $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ de $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} - 4)$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3) + t^{2} - 4)$

Paso 4.1.7.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.7.2.1

Mueve $2$ a la izquierda de $t$ .

$2 \cdot t {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3) + t^{2} - 4)$

Paso 4.1.7.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $t^{2}$ .

$2 t {(t^{2} - 4)}^{2} (3 \cdot t^{2} + t^{2} - 4)$

Paso 4.1.7.2.3

Suma $3 t^{2}$ y $t^{2}$ .

$2 t {(t^{2} - 4)}^{2} (4 t^{2} - 4)$

Paso 4.1.7.3

Reescribe ${(t^{2} - 4)}^{2}$ como $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ .

$2 t ((t^{2} - 4) (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Paso 4.1.7.4

Expande $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.7.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 t (t^{2} (t^{2} - 4) - 4 (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Paso 4.1.7.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 t (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Paso 4.1.7.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 t (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Paso 4.1.7.5

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.7.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.7.5.1.1

Multiplica $t^{2}$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.7.5.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 t (t^{2 + 2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Paso 4.1.7.5.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$2 t (t^{4} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Paso 4.1.7.5.1.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $t^{2}$ .

$2 t (t^{4} - 4 \cdot t^{2} - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Paso 4.1.7.5.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$2 t (t^{4} - 4 t^{2} - 4 t^{2} + 16) (4 t^{2} - 4)$

Paso 4.1.7.5.2

Resta $4 t^{2}$ de $- 4 t^{2}$ .

$2 t (t^{4} - 8 t^{2} + 16) (4 t^{2} - 4)$

Paso 4.1.7.6

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 t \cdot t^{4} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Paso 4.1.7.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.7.7.1

Multiplica $t$ por $t^{4}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.7.7.1.1

Mueve $t^{4}$ .

$(2 (t^{4} t) + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Paso 4.1.7.7.1.2

Multiplica $t^{4}$ por $t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.7.7.1.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$(2 (t^{4} t^{1}) + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Paso 4.1.7.7.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(2 t^{4 + 1} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Paso 4.1.7.7.1.3

Suma $4$ y $1$ .

$(2 t^{5} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Paso 4.1.7.7.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t \cdot t^{2} + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Paso 4.1.7.7.3

Multiplica $16$ por $2$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t \cdot t^{2} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Paso 4.1.7.8

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.7.8.1

Multiplica $t$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.7.8.1.1

Mueve $t^{2}$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{2} t) + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Paso 4.1.7.8.1.2

Multiplica $t^{2}$ por $t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.7.8.1.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{2} t^{1}) + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Paso 4.1.7.8.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{2 + 1} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Paso 4.1.7.8.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Paso 4.1.7.8.2

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$(2 t^{5} - 16 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Paso 4.1.7.9

Expande $(2 t^{5} - 16 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$2 t^{5} (4 t^{2}) + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 4.1.7.10

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.7.10.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \cdot 4 t^{5} t^{2} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 4.1.7.10.2

Multiplica $t^{5}$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.7.10.2.1

Mueve $t^{2}$ .

$2 \cdot 4 (t^{2} t^{5}) + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 4.1.7.10.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \cdot 4 t^{2 + 5} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 4.1.7.10.2.3

Suma $2$ y $5$ .

$2 \cdot 4 t^{7} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 4.1.7.10.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 t^{7} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 4.1.7.10.4

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 4.1.7.10.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{3} t^{2} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 4.1.7.10.6

Multiplica $t^{3}$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.7.10.6.1

Mueve $t^{2}$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 (t^{2} t^{3}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 4.1.7.10.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{2 + 3} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 4.1.7.10.6.3

Suma $2$ y $3$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{5} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 4.1.7.10.7

Multiplica $- 16$ por $4$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 4.1.7.10.8

Multiplica $- 4$ por $- 16$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 4.1.7.10.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t \cdot t^{2} + 32 t \cdot - 4$

Paso 4.1.7.10.10

Multiplica $t$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.7.10.10.1

Mueve $t^{2}$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 (t^{2} t) + 32 t \cdot - 4$

Paso 4.1.7.10.10.2

Multiplica $t^{2}$ por $t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.7.10.10.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 (t^{2} t^{1}) + 32 t \cdot - 4$

Paso 4.1.7.10.10.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t^{2 + 1} + 32 t \cdot - 4$

Paso 4.1.7.10.10.3

Suma $2$ y $1$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t^{3} + 32 t \cdot - 4$

Paso 4.1.7.10.11

Multiplica $32$ por $4$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} + 32 t \cdot - 4$

Paso 4.1.7.10.12

Multiplica $- 4$ por $32$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} - 128 t$

Paso 4.1.7.11

Resta $64 t^{5}$ de $- 8 t^{5}$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} - 128 t$

Paso 4.1.7.12

Suma $64 t^{3}$ y $128 t^{3}$ .

$f' (t) = 8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$

Paso 4.2

La primera derivada de $k (t)$ con respecto a $t$ es $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t = 0$

Paso 5.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Factoriza $8 t$ de $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Factoriza $8 t$ de $8 t^{7}$ .

$8 t (t^{6}) - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t = 0$

Paso 5.2.1.2

Factoriza $8 t$ de $- 72 t^{5}$ .

$8 t (t^{6}) + 8 t (- 9 t^{4}) + 192 t^{3} - 128 t = 0$

Paso 5.2.1.3

Factoriza $8 t$ de $192 t^{3}$ .

$8 t (t^{6}) + 8 t (- 9 t^{4}) + 8 t (24 t^{2}) - 128 t = 0$

Paso 5.2.1.4

Factoriza $8 t$ de $- 128 t$ .

$8 t (t^{6}) + 8 t (- 9 t^{4}) + 8 t (24 t^{2}) + 8 t (- 16) = 0$

Paso 5.2.1.5

Factoriza $8 t$ de $8 t (t^{6}) + 8 t (- 9 t^{4})$ .

$8 t (t^{6} - 9 t^{4}) + 8 t (24 t^{2}) + 8 t (- 16) = 0$

Paso 5.2.1.6

Factoriza $8 t$ de $8 t (t^{6} - 9 t^{4}) + 8 t (24 t^{2})$ .

$8 t (t^{6} - 9 t^{4} + 24 t^{2}) + 8 t (- 16) = 0$

Paso 5.2.1.7

Factoriza $8 t$ de $8 t (t^{6} - 9 t^{4} + 24 t^{2}) + 8 t (- 16)$ .

$8 t (t^{6} - 9 t^{4} + 24 t^{2} - 16) = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza $- 1$ de $- 9 t^{4} + 24 t^{2} - 16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Factoriza $- 1$ de $- 9 t^{4}$ .

$8 t (t^{6} - (9 t^{4}) + 24 t^{2} - 16) = 0$

Paso 5.2.2.2

Factoriza $- 1$ de $24 t^{2}$ .

$8 t (t^{6} - (9 t^{4}) - (- 24 t^{2}) - 16) = 0$

Paso 5.2.2.3

Reescribe $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$8 t (t^{6} - (9 t^{4}) - (- 24 t^{2}) - 1 \cdot 16) = 0$

Paso 5.2.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (9 t^{4}) - (- 24 t^{2})$ .

$8 t (t^{6} - (9 t^{4} - 24 t^{2}) - 1 \cdot 16) = 0$

Paso 5.2.2.5

Factoriza $- 1$ de $- (9 t^{4} - 24 t^{2}) - 1 (16)$ .

$8 t (t^{6} - (9 t^{4} - 24 t^{2} + 16)) = 0$

Paso 5.2.3

Reescribe $t^{4}$ como ${(t^{2})}^{2}$ .

$8 t (t^{6} - (9 {(t^{2})}^{2} - 24 t^{2} + 16)) = 0$

Paso 5.2.4

Sea $u = t^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $t^{2}$ .

$8 t (t^{6} - (9 u^{2} - 24 u + 16)) = 0$

Paso 5.2.5

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.5.1

Reescribe $9 u^{2}$ como ${(3 u)}^{2}$ .

$8 t (t^{6} - ({(3 u)}^{2} - 24 u + 16)) = 0$

Paso 5.2.5.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$8 t (t^{6} - ({(3 u)}^{2} - 24 u + 4^{2})) = 0$

Paso 5.2.5.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$24 u = 2 \cdot (3 u) \cdot 4$

Paso 5.2.5.4

Reescribe el polinomio.

$8 t (t^{6} - ({(3 u)}^{2} - 2 \cdot (3 u) \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Paso 5.2.5.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = 3 u$ y $b = 4$ .

$8 t (t^{6} - {(3 u - 4)}^{2}) = 0$

Paso 5.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{2}$ .

$8 t (t^{6} - {(3 t^{2} - 4)}^{2}) = 0$

Paso 5.2.7

Reescribe $t^{6}$ como ${(t^{3})}^{2}$ .

$8 t ({(t^{3})}^{2} - {(3 t^{2} - 4)}^{2}) = 0$

Paso 5.2.8

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = t^{3}$ y $b = 3 t^{2} - 4$ .

$8 t ((t^{3} + 3 t^{2} - 4) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Paso 5.2.9

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.9.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.9.1.1

Elimina los paréntesis innecesarios.

$8 t ((t^{3} + 3 t^{2} - 4) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Paso 5.2.9.1.2

Reescribe $t^{3} + 3 t^{2} - 4$ en forma factorizada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.9.1.2.1

Factoriza $t^{3} + 3 t^{2} - 4$ mediante la prueba de raíces racionales.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.9.1.2.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Paso 5.2.9.1.2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Paso 5.2.9.1.2.1.3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.9.1.2.1.3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 4$

Paso 5.2.9.1.2.1.3.2

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$1 + 3 \cdot 1^{2} - 4$

Paso 5.2.9.1.2.1.3.3

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$1 + 3 \cdot 1 - 4$

Paso 5.2.9.1.2.1.3.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$1 + 3 - 4$

Paso 5.2.9.1.2.1.3.5

Suma $1$ y $3$ .

$4 - 4$

Paso 5.2.9.1.2.1.3.6

Resta $4$ de $4$ .

$0$

Paso 5.2.9.1.2.1.4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $t - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} - 4}{t - 1}$

Paso 5.2.9.1.2.1.5

Divide $t^{3} + 3 t^{2} - 4$ por $t - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.9.1.2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0 t$

$4$

Paso 5.2.9.1.2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $t^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $t$ .

					$t^{2}$
	$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$

Paso 5.2.9.1.2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$t^{2}$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			+	$t^{3}$	-	$t^{2}$

Paso 5.2.9.1.2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $t^{3} - t^{2}$ .

				$t^{2}$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$

Paso 5.2.9.1.2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$t^{2}$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$

Paso 5.2.9.1.2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$t^{2}$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$

Paso 5.2.9.1.2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 t^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $t$ .

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$

Paso 5.2.9.1.2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	-	$4 t$

Paso 5.2.9.1.2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 t^{2} - 4 t$ .

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$

Paso 5.2.9.1.2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$

Paso 5.2.9.1.2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$

Paso 5.2.9.1.2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 t$ por el término de mayor orden en el divisor $t$ .

				$t^{2}$	+	$4 t$	+	$4$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$

Paso 5.2.9.1.2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$t^{2}$	+	$4 t$	+	$4$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$
							+	$4 t$	-	$4$

Paso 5.2.9.1.2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 t - 4$ .

				$t^{2}$	+	$4 t$	+	$4$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$
							-	$4 t$	+	$4$

Paso 5.2.9.1.2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$t^{2}$	+	$4 t$	+	$4$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$
							-	$4 t$	+	$4$
										$0$

Paso 5.2.9.1.2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$t^{2} + 4 t + 4$

Paso 5.2.9.1.2.1.6

Escribe $t^{3} + 3 t^{2} - 4$ como un conjunto de factores.

$8 t ((t - 1) (t^{2} + 4 t + 4) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Paso 5.2.9.1.2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.9.1.2.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$8 t ((t - 1) (t^{2} + 4 t + 2^{2}) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Paso 5.2.9.1.2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 t = 2 \cdot t \cdot 2$

Paso 5.2.9.1.2.2.3

Reescribe el polinomio.

$8 t ((t - 1) (t^{2} + 2 \cdot t \cdot 2 + 2^{2}) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Paso 5.2.9.1.2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = t$ y $b = 2$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Paso 5.2.9.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t^{3} - (3 t^{2}) + 4)) = 0$

Paso 5.2.9.1.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t^{3} - 3 t^{2} + 4)) = 0$

Paso 5.2.9.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t^{3} - 3 t^{2} + 4)) = 0$

Paso 5.2.9.1.6

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.9.1.6.1

Reescribe $t^{3} - 3 t^{2} + 4$ en forma factorizada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.9.1.6.1.1

Factoriza $t^{3} - 3 t^{2} + 4$ mediante la prueba de raíces racionales.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.9.1.6.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Paso 5.2.9.1.6.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Paso 5.2.9.1.6.1.1.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.9.1.6.1.1.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

${(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Paso 5.2.9.1.6.1.1.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Paso 5.2.9.1.6.1.1.3.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 1 - 3 \cdot 1 + 4$

Paso 5.2.9.1.6.1.1.3.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 1 - 3 + 4$

Paso 5.2.9.1.6.1.1.3.5

Resta $3$ de $- 1$ .

$- 4 + 4$

Paso 5.2.9.1.6.1.1.3.6

Suma $- 4$ y $4$ .

$0$

Paso 5.2.9.1.6.1.1.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $t + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 4}{t + 1}$

Paso 5.2.9.1.6.1.1.5

Divide $t^{3} - 3 t^{2} + 4$ por $t + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.9.1.6.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0 t$

$4$

Paso 5.2.9.1.6.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $t^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $t$ .

					$t^{2}$
	$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$

Paso 5.2.9.1.6.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$t^{2}$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			+	$t^{3}$	+	$t^{2}$

Paso 5.2.9.1.6.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $t^{3} + t^{2}$ .

				$t^{2}$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$

Paso 5.2.9.1.6.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$t^{2}$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$

Paso 5.2.9.1.6.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$t^{2}$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$

Paso 5.2.9.1.6.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 t^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $t$ .

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$

Paso 5.2.9.1.6.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	-	$4 t$

Paso 5.2.9.1.6.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 t^{2} - 4 t$ .

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$

Paso 5.2.9.1.6.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$

Paso 5.2.9.1.6.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$

Paso 5.2.9.1.6.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 t$ por el término de mayor orden en el divisor $t$ .

				$t^{2}$	-	$4 t$	+	$4$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$

Paso 5.2.9.1.6.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$t^{2}$	-	$4 t$	+	$4$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$
							+	$4 t$	+	$4$

Paso 5.2.9.1.6.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 t + 4$ .

				$t^{2}$	-	$4 t$	+	$4$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$
							-	$4 t$	-	$4$

Paso 5.2.9.1.6.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$t^{2}$	-	$4 t$	+	$4$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$
							-	$4 t$	-	$4$
										$0$

Paso 5.2.9.1.6.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$t^{2} - 4 t + 4$

Paso 5.2.9.1.6.1.1.6

Escribe $t^{3} - 3 t^{2} + 4$ como un conjunto de factores.

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} ((t + 1) (t^{2} - 4 t + 4))) = 0$

Paso 5.2.9.1.6.1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.9.1.6.1.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} ((t + 1) (t^{2} - 4 t + 2^{2}))) = 0$

Paso 5.2.9.1.6.1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 t = 2 \cdot t \cdot 2$

Paso 5.2.9.1.6.1.2.3

Reescribe el polinomio.

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} ((t + 1) (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 2 + 2^{2}))) = 0$

Paso 5.2.9.1.6.1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = t$ y $b = 2$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} ((t + 1) {(t - 2)}^{2})) = 0$

Paso 5.2.9.1.6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t + 1) {(t - 2)}^{2}) = 0$

Paso 5.2.9.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$8 t (t - 1) {(t + 2)}^{2} (t + 1) {(t - 2)}^{2} = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$t = 0$

$t - 1 = 0$

${(t + 2)}^{2} = 0$

$t + 1 = 0$

${(t - 2)}^{2} = 0$

Paso 5.4

Establece $t$ igual a $0$ .

$t = 0$

Paso 5.5

Establece $t - 1$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 5.5.1

Establece $t - 1$ igual a $0$ .

$t - 1 = 0$

Paso 5.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$t = 1$

Paso 5.6

Establece ${(t + 2)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.1

Establece ${(t + 2)}^{2}$ igual a $0$ .

${(t + 2)}^{2} = 0$

Paso 5.6.2

Resuelve ${(t + 2)}^{2} = 0$ en $t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.2.1

Establece $t + 2$ igual a $0$ .

$t + 2 = 0$

Paso 5.6.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$t = - 2$

Paso 5.7

Establece $t + 1$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.1

Establece $t + 1$ igual a $0$ .

$t + 1 = 0$

Paso 5.7.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$t = - 1$

Paso 5.8

Establece ${(t - 2)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.8.1

Establece ${(t - 2)}^{2}$ igual a $0$ .

${(t - 2)}^{2} = 0$

Paso 5.8.2

Resuelve ${(t - 2)}^{2} = 0$ en $t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.8.2.1

Establece $t - 2$ igual a $0$ .

$t - 2 = 0$

Paso 5.8.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$t = 2$

Paso 5.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $8 t (t - 1) {(t + 2)}^{2} (t + 1) {(t - 2)}^{2} = 0$ verdadera.

$t = 0, 1, - 2, - 1, 2$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$t = 0, 1, - 2, - 1, 2$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $t = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$56 {(0)}^{6} - 360 {(0)}^{4} + 576 {(0)}^{2} - 128$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$56 \cdot 0 - 360 {(0)}^{4} + 576 {(0)}^{2} - 128$

Paso 9.1.2

Multiplica $56$ por $0$ .

$0 - 360 {(0)}^{4} + 576 {(0)}^{2} - 128$

Paso 9.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 360 \cdot 0 + 576 {(0)}^{2} - 128$

Paso 9.1.4

Multiplica $- 360$ por $0$ .

$0 + 0 + 576 {(0)}^{2} - 128$

Paso 9.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 0 + 576 \cdot 0 - 128$

Paso 9.1.6

Multiplica $576$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 - 128$

Paso 9.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 0 - 128$

Paso 9.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0 - 128$

Paso 9.2.3

Resta $128$ de $0$ .

$- 128$

Paso 10

$t = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$t = 0$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $t = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Reemplaza la variable $t$ con $0$ en la expresión.

$k (0) = {(0)}^{2} {({(0)}^{2} - 4)}^{3}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$k (0) = 0 {({(0)}^{2} - 4)}^{3}$

Paso 11.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$k (0) = 0 {(0 - 4)}^{3}$

Paso 11.2.3

Resta $4$ de $0$ .

$k (0) = 0 {(- 4)}^{3}$

Paso 11.2.4

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$k (0) = 0 \cdot - 64$

Paso 11.2.5

Multiplica $0$ por $- 64$ .

$k (0) = 0$

Paso 11.2.6

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $t = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$56 {(1)}^{6} - 360 {(1)}^{4} + 576 {(1)}^{2} - 128$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$56 \cdot 1 - 360 {(1)}^{4} + 576 {(1)}^{2} - 128$

Paso 13.1.2

Multiplica $56$ por $1$ .

$56 - 360 {(1)}^{4} + 576 {(1)}^{2} - 128$

Paso 13.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$56 - 360 \cdot 1 + 576 {(1)}^{2} - 128$

Paso 13.1.4

Multiplica $- 360$ por $1$ .

$56 - 360 + 576 {(1)}^{2} - 128$

Paso 13.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$56 - 360 + 576 \cdot 1 - 128$

Paso 13.1.6

Multiplica $576$ por $1$ .

$56 - 360 + 576 - 128$

Paso 13.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1

Resta $360$ de $56$ .

$- 304 + 576 - 128$

Paso 13.2.2

Suma $- 304$ y $576$ .

$272 - 128$

Paso 13.2.3

Resta $128$ de $272$ .

$144$

Paso 14

$t = 1$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$t = 1$ es un mínimo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $t = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

Reemplaza la variable $t$ con $1$ en la expresión.

$k (1) = {(1)}^{2} {({(1)}^{2} - 4)}^{3}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$k (1) = 1 {({(1)}^{2} - 4)}^{3}$

Paso 15.2.2

Multiplica ${({(1)}^{2} - 4)}^{3}$ por $1$ .

$k (1) = {({(1)}^{2} - 4)}^{3}$

Paso 15.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$k (1) = {(1 - 4)}^{3}$

Paso 15.2.4

Resta $4$ de $1$ .

$k (1) = {(- 3)}^{3}$

Paso 15.2.5

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$k (1) = - 27$

Paso 15.2.6

La respuesta final es $- 27$ .

$y = - 27$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada en $t = - 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$56 {(- 2)}^{6} - 360 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $6$ .

$56 \cdot 64 - 360 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Paso 17.1.2

Multiplica $56$ por $64$ .

$3584 - 360 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Paso 17.1.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$3584 - 360 \cdot 16 + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Paso 17.1.4

Multiplica $- 360$ por $16$ .

$3584 - 5760 + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Paso 17.1.5

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$3584 - 5760 + 576 \cdot 4 - 128$

Paso 17.1.6

Multiplica $576$ por $4$ .

$3584 - 5760 + 2304 - 128$

Paso 17.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.1

Resta $5760$ de $3584$ .

$- 2176 + 2304 - 128$

Paso 17.2.2

Suma $- 2176$ y $2304$ .

$128 - 128$

Paso 17.2.3

Resta $128$ de $128$ .

$0$

Paso 18

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $t$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 18.2

Sustituye cualquier número, como $- 4$ , del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la primera derivada $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.2.1

Reemplaza la variable $t$ con $- 4$ en la expresión.

$k' (- 4) = 8 {(- 4)}^{7} - 72 {(- 4)}^{5} + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Paso 18.2.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.2.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $7$ .

$k' (- 4) = 8 \cdot - 16384 - 72 {(- 4)}^{5} + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Paso 18.2.2.1.2

Multiplica $8$ por $- 16384$ .

$k' (- 4) = - 131072 - 72 {(- 4)}^{5} + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Paso 18.2.2.1.3

Eleva $- 4$ a la potencia de $5$ .

$k' (- 4) = - 131072 - 72 \cdot - 1024 + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Paso 18.2.2.1.4

Multiplica $- 72$ por $- 1024$ .

$k' (- 4) = - 131072 + 73728 + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Paso 18.2.2.1.5

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$k' (- 4) = - 131072 + 73728 + 192 \cdot - 64 - 128 \cdot - 4$

Paso 18.2.2.1.6

Multiplica $192$ por $- 64$ .

$k' (- 4) = - 131072 + 73728 - 12288 - 128 \cdot - 4$

Paso 18.2.2.1.7

Multiplica $- 128$ por $- 4$ .

$k' (- 4) = - 131072 + 73728 - 12288 + 512$

Paso 18.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.2.2.2.1

Suma $- 131072$ y $73728$ .

$k' (- 4) = - 57344 - 12288 + 512$

Paso 18.2.2.2.2

Resta $12288$ de $- 57344$ .

$k' (- 4) = - 69632 + 512$

Paso 18.2.2.2.3

Suma $- 69632$ y $512$ .

$k' (- 4) = - 69120$

Paso 18.2.2.3

La respuesta final es $- 69120$ .

$- 69120$

Paso 18.3

Sustituye cualquier número, como $- 1.5$ , del intervalo $(- 2, - 1)$ en la primera derivada $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.3.1

Reemplaza la variable $t$ con $- 1.5$ en la expresión.

$k' (- 1.5) = 8 {(- 1.5)}^{7} - 72 {(- 1.5)}^{5} + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Paso 18.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.3.2.1.1

Eleva $- 1.5$ a la potencia de $7$ .

$k' (- 1.5) = 8 \cdot - 17.0859375 - 72 {(- 1.5)}^{5} + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Paso 18.3.2.1.2

Multiplica $8$ por $- 17.0859375$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 - 72 {(- 1.5)}^{5} + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Paso 18.3.2.1.3

Eleva $- 1.5$ a la potencia de $5$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 - 72 \cdot - 7.59375 + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Paso 18.3.2.1.4

Multiplica $- 72$ por $- 7.59375$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 + 546.75 + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Paso 18.3.2.1.5

Eleva $- 1.5$ a la potencia de $3$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 + 546.75 + 192 \cdot - 3.375 - 128 \cdot - 1.5$

Paso 18.3.2.1.6

Multiplica $192$ por $- 3.375$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 + 546.75 - 648 - 128 \cdot - 1.5$

Paso 18.3.2.1.7

Multiplica $- 128$ por $- 1.5$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 + 546.75 - 648 + 192$

Paso 18.3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.3.2.2.1

Suma $- 136.6875$ y $546.75$ .

$k' (- 1.5) = 410.0625 - 648 + 192$

Paso 18.3.2.2.2

Resta $648$ de $410.0625$ .

$k' (- 1.5) = - 237.9375 + 192$

Paso 18.3.2.2.3

Suma $- 237.9375$ y $192$ .

$k' (- 1.5) = - 45.9375$

Paso 18.3.2.3

La respuesta final es $- 45.9375$ .

$- 45.9375$

Paso 18.4

Sustituye cualquier número, como $- 0.5$ , del intervalo $(- 1, 0)$ en la primera derivada $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.4.1

Reemplaza la variable $t$ con $- 0.5$ en la expresión.

$k' (- 0.5) = 8 {(- 0.5)}^{7} - 72 {(- 0.5)}^{5} + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Paso 18.4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.4.2.1.1

Eleva $- 0.5$ a la potencia de $7$ .

$k' (- 0.5) = 8 \cdot - 0.0078125 - 72 {(- 0.5)}^{5} + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Paso 18.4.2.1.2

Multiplica $8$ por $- 0.0078125$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 - 72 {(- 0.5)}^{5} + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Paso 18.4.2.1.3

Eleva $- 0.5$ a la potencia de $5$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 - 72 \cdot - 0.03125 + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Paso 18.4.2.1.4

Multiplica $- 72$ por $- 0.03125$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 + 2.25 + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Paso 18.4.2.1.5

Eleva $- 0.5$ a la potencia de $3$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 + 2.25 + 192 \cdot - 0.125 - 128 \cdot - 0.5$

Paso 18.4.2.1.6

Multiplica $192$ por $- 0.125$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 + 2.25 - 24 - 128 \cdot - 0.5$

Paso 18.4.2.1.7

Multiplica $- 128$ por $- 0.5$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 + 2.25 - 24 + 64$

Paso 18.4.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.4.2.2.1

Suma $- 0.0625$ y $2.25$ .

$k' (- 0.5) = 2.1875 - 24 + 64$

Paso 18.4.2.2.2

Resta $24$ de $2.1875$ .

$k' (- 0.5) = - 21.8125 + 64$

Paso 18.4.2.2.3

Suma $- 21.8125$ y $64$ .

$k' (- 0.5) = 42.1875$

Paso 18.4.2.3

La respuesta final es $42.1875$ .

$42.1875$

Paso 18.5

Sustituye cualquier número, como $0.5$ , del intervalo $(0, 1)$ en la primera derivada $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.5.1

Reemplaza la variable $t$ con $0.5$ en la expresión.

$k' (0.5) = 8 {(0.5)}^{7} - 72 {(0.5)}^{5} + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Paso 18.5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.5.2.1.1

Eleva $0.5$ a la potencia de $7$ .

$k' (0.5) = 8 \cdot 0.0078125 - 72 {(0.5)}^{5} + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Paso 18.5.2.1.2

Multiplica $8$ por $0.0078125$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 72 {(0.5)}^{5} + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Paso 18.5.2.1.3

Eleva $0.5$ a la potencia de $5$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 72 \cdot 0.03125 + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Paso 18.5.2.1.4

Multiplica $- 72$ por $0.03125$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 2.25 + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Paso 18.5.2.1.5

Eleva $0.5$ a la potencia de $3$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 2.25 + 192 \cdot 0.125 - 128 \cdot 0.5$

Paso 18.5.2.1.6

Multiplica $192$ por $0.125$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 2.25 + 24 - 128 \cdot 0.5$

Paso 18.5.2.1.7

Multiplica $- 128$ por $0.5$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 2.25 + 24 - 64$

Paso 18.5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.5.2.2.1

Resta $2.25$ de $0.0625$ .

$k' (0.5) = - 2.1875 + 24 - 64$

Paso 18.5.2.2.2

Suma $- 2.1875$ y $24$ .

$k' (0.5) = 21.8125 - 64$

Paso 18.5.2.2.3

Resta $64$ de $21.8125$ .

$k' (0.5) = - 42.1875$

Paso 18.5.2.3

La respuesta final es $- 42.1875$ .

$- 42.1875$

Paso 18.6

Sustituye cualquier número, como $1.5$ , del intervalo $(1, 2)$ en la primera derivada $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.6.1

Reemplaza la variable $t$ con $1.5$ en la expresión.

$k' (1.5) = 8 {(1.5)}^{7} - 72 {(1.5)}^{5} + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Paso 18.6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 18.6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.6.2.1.1

Eleva $1.5$ a la potencia de $7$ .

$k' (1.5) = 8 \cdot 17.0859375 - 72 {(1.5)}^{5} + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Paso 18.6.2.1.2

Multiplica $8$ por $17.0859375$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 72 {(1.5)}^{5} + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Paso 18.6.2.1.3

Eleva $1.5$ a la potencia de $5$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 72 \cdot 7.59375 + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Paso 18.6.2.1.4

Multiplica $- 72$ por $7.59375$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 546.75 + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Paso 18.6.2.1.5

Eleva $1.5$ a la potencia de $3$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 546.75 + 192 \cdot 3.375 - 128 \cdot 1.5$

Paso 18.6.2.1.6

Multiplica $192$ por $3.375$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 546.75 + 648 - 128 \cdot 1.5$

Paso 18.6.2.1.7

Multiplica $- 128$ por $1.5$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 546.75 + 648 - 192$

Paso 18.6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.6.2.2.1

Resta $546.75$ de $136.6875$ .

$k' (1.5) = - 410.0625 + 648 - 192$

Paso 18.6.2.2.2

Suma $- 410.0625$ y $648$ .

$k' (1.5) = 237.9375 - 192$

Paso 18.6.2.2.3

Resta $192$ de $237.9375$ .

$k' (1.5) = 45.9375$

Paso 18.6.2.3

La respuesta final es $45.9375$ .

$45.9375$

Paso 18.7

Sustituye cualquier número, como $4$ , del intervalo $(2, \infty)$ en la primera derivada $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.7.1

Reemplaza la variable $t$ con $4$ en la expresión.

$k' (4) = 8 {(4)}^{7} - 72 {(4)}^{5} + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Paso 18.7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 18.7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 18.7.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $7$ .

$k' (4) = 8 \cdot 16384 - 72 {(4)}^{5} + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Paso 18.7.2.1.2

Multiplica $8$ por $16384$ .

$k' (4) = 131072 - 72 {(4)}^{5} + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Paso 18.7.2.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$k' (4) = 131072 - 72 \cdot 1024 + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Paso 18.7.2.1.4

Multiplica $- 72$ por $1024$ .

$k' (4) = 131072 - 73728 + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Paso 18.7.2.1.5

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$k' (4) = 131072 - 73728 + 192 \cdot 64 - 128 \cdot 4$

Paso 18.7.2.1.6

Multiplica $192$ por $64$ .

$k' (4) = 131072 - 73728 + 12288 - 128 \cdot 4$

Paso 18.7.2.1.7

Multiplica $- 128$ por $4$ .

$k' (4) = 131072 - 73728 + 12288 - 512$

Paso 18.7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 18.7.2.2.1

Resta $73728$ de $131072$ .

$k' (4) = 57344 + 12288 - 512$

Paso 18.7.2.2.2

Suma $57344$ y $12288$ .

$k' (4) = 69632 - 512$

Paso 18.7.2.2.3

Resta $512$ de $69632$ .

$k' (4) = 69120$

Paso 18.7.2.3

La respuesta final es $69120$ .

$69120$

Paso 18.8

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $t = - 2$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 18.9

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $t = - 1$ , $t = - 1$ es un mínimo local.

$t = - 1$ es un mínimo local

Paso 18.10

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $t = 0$ , $t = 0$ es un máximo local.

$t = 0$ es un máximo local

Paso 18.11

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $t = 1$ , $t = 1$ es un mínimo local.

$t = 1$ es un mínimo local

Paso 18.12

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $t = 2$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 18.13

Estos son los extremos locales de $k (t) = t^{2} {(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t = - 1$ es un mínimo local

$t = 0$ es un máximo local

$t = 1$ es un mínimo local

$t = - 1$ es un mínimo local

$t = 0$ es un máximo local

$t = 1$ es un mínimo local

Paso 19