Cálculo Ejemplos

$h (y) = \arctan (y^{2})$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \arctan (y)$ y $g (y) = y^{2}$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(y^{2})}^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{1 + y^{4}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + y^{4}} (2 y)$

Paso 1.2.3

Combina fracciones.

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Paso 1.2.3.1

Combina $2$ y $\frac{1}{1 + y^{4}}$ .

$\frac{2}{1 + y^{4}} y$

Paso 1.2.3.2

Combina $\frac{2}{1 + y^{4}}$ y $y$ .

$\frac{2 y}{1 + y^{4}}$

Paso 1.2.3.3

Reordena los términos.

$\frac{2 y}{y^{4} + 1}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{2 y}{y^{4} + 1}$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [\frac{y}{y^{4} + 1}]$ .

$h'' (y) = 2 \frac{d}{d y} (\frac{y}{y^{4} + 1})$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = y^{4} + 1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{(y^{4} + 1) \frac{d}{d y} (y) - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{(y^{4} + 1) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 2.3.2

Multiplica $y^{4} + 1$ por $1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{4} + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (\frac{d}{d y} (y^{4}) + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3} + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 2.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3} + 0)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 2.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.6.1

Suma $4 y^{3}$ y $0$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3})}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 2.3.6.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y \cdot y^{3}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 2.4

Multiplica $y$ por $y^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.1

Mueve $y^{3}$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 (y^{3} y)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 2.4.2

Multiplica $y^{3}$ por $y$ .

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Paso 2.4.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 (y^{3} y)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y^{3 + 1}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 2.4.3

Suma $3$ y $1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y^{4}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 2.5

Resta $4 y^{4}$ de $y^{4}$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{- 3 y^{4} + 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 2.6

Combina $2$ y $\frac{- 3 y^{4} + 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.7

Simplifica.

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Paso 2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2 \cdot 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.7.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.2.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$h'' (y) = \frac{- 6 y^{4} + 2 \cdot 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.7.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$h'' (y) = \frac{- 6 y^{4} + 2}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.7.3

Factoriza $2$ de $- 6 y^{4} + 2$ .

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Paso 2.7.3.1

Factoriza $2$ de $- 6 y^{4}$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.7.3.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2 (1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.7.3.3

Factoriza $2$ de $2 (- 3 y^{4}) + 2 (1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.7.4

Factoriza $- 1$ de $- 3 y^{4}$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4}) + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.7.5

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4}) - 1 \cdot - 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.7.6

Factoriza $- 1$ de $- (3 y^{4}) - 1 (- 1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4} - 1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.7.7

Reescribe $- (3 y^{4} - 1)$ como $- 1 (3 y^{4} - 1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 1 (3 y^{4} - 1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.7.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$h'' (y) = - \frac{2 (3 y^{4} - 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{2 y}{y^{4} + 1} = 0$

Paso 4

Establece el numerador igual a cero.

$2 y = 0$

Paso 5

Divide cada término en $2 y = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $2 y = 0$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{0}{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$y = 0$

Paso 6

Evalúa la segunda derivada en $y = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 7

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 7.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$- \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 7.1.3

Resta $1$ de $0$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

Paso 7.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Paso 7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{- 2}{1}$

Paso 7.3.2

Divide $- 2$ por $1$ .

$- - 2$

Paso 7.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2$

Paso 8

$y = 0$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$y = 0$ es un mínimo local

Paso 9

Obtén el valor de y cuando $y = 0$ .

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $y$ con $0$ en la expresión.

$h (0) = \arctan ({(0)}^{2})$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$h (0) = \arctan (0)$

Paso 9.2.2

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$h (0) = 0$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 10

Estos son los extremos locales de $h (y) = \arctan (y^{2})$ .

$(0, 0)$ es un mínimo local

Paso 11