Cálculo Ejemplos

$y = (\frac{4}{x} + x) (\frac{4}{x} - x)$

Paso 1

Escribe $y = (\frac{4}{x} + x) (\frac{4}{x} - x)$ como una función.

$f (x) = (\frac{4}{x} + x) (\frac{4}{x} - x)$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \frac{4}{x} + x$ y $g (x) = \frac{4}{x} - x$ .

$(\frac{4}{x} + x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} - x] + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{4}{x} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(\frac{4}{x} + x) (\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Paso 2.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4}{x}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(\frac{4}{x} + x) (4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$(\frac{4}{x} + x) (4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Paso 2.2.5

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Paso 2.2.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Paso 2.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1 \cdot 1) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Paso 2.2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Paso 2.2.9

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{4}{x} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.10

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4}{x}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.11

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.13

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 x^{- 2} + 1)$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 \frac{1}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 x^{- 2} + 1)$

Paso 2.3.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 \frac{1}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

Paso 2.3.3

Combina los términos.

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Paso 2.3.3.1

Combina $- 4$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (\frac{- 4}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

Paso 2.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(\frac{4}{x} + x) (- \frac{4}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

Paso 2.3.3.3

Combina $- 4$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- \frac{4}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (\frac{- 4}{x^{2}} + 1)$

Paso 2.3.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(\frac{4}{x} + x) (- \frac{4}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- \frac{4}{x^{2}} + 1)$

Paso 2.3.4

Reordena los términos.

$(- \frac{4}{x^{2}} - 1) (\frac{4}{x} + x) + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Paso 2.3.5

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.5.1

Expande $(- \frac{4}{x^{2}} - 1) (\frac{4}{x} + x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{4}{x^{2}} (\frac{4}{x} + x) - 1 (\frac{4}{x} + x) + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Paso 2.3.5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 (\frac{4}{x} + x) + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Paso 2.3.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Paso 2.3.5.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.5.2.1.1

Multiplica $- \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x}$ .

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Paso 2.3.5.2.1.1.1

Multiplica $\frac{4}{x}$ por $\frac{4}{x^{2}}$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{x \cdot x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Paso 2.3.5.2.1.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$- \frac{16}{x \cdot x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Paso 2.3.5.2.1.1.3

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.5.2.1.1.3.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.3.5.2.1.1.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{16}{x^{1} x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Paso 2.3.5.2.1.1.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{16}{x^{1 + 2}} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Paso 2.3.5.2.1.1.3.2

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Paso 2.3.5.2.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.5.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{x^{2}}$ al numerador.

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Paso 2.3.5.2.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x \cdot x} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Paso 2.3.5.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x \cdot x} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Paso 2.3.5.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x} - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Paso 2.3.5.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{4}{x} - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Paso 2.3.5.2.1.4

Reescribe $- 1 \frac{4}{x}$ como $- \frac{4}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{4}{x} - \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Paso 2.3.5.2.1.5

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{4}{x} - \frac{4}{x} - x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Paso 2.3.5.2.2

Resta $\frac{4}{x}$ de $- \frac{4}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - 2 \frac{4}{x} - x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Paso 2.3.5.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.5.3.1

Multiplica $- 2 \frac{4}{x}$ .

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Paso 2.3.5.3.1.1

Combina $- 2$ y $\frac{4}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 2 \cdot 4}{x} - x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Paso 2.3.5.3.1.2

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 8}{x} - x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Paso 2.3.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Paso 2.3.5.4

Expande $(- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.5.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{4}{x^{2}} (\frac{4}{x} - x) + 1 (\frac{4}{x} - x)$

Paso 2.3.5.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 (\frac{4}{x} - x)$

Paso 2.3.5.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Paso 2.3.5.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.5.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.5.5.1.1

Multiplica $- \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.5.1.1.1

Multiplica $\frac{4}{x}$ por $\frac{4}{x^{2}}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{4 \cdot 4}{x \cdot x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Paso 2.3.5.5.1.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x \cdot x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Paso 2.3.5.5.1.1.3

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.5.1.1.3.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.3.5.5.1.1.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{1} x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Paso 2.3.5.5.1.1.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{1 + 2}} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Paso 2.3.5.5.1.1.3.2

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Paso 2.3.5.5.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.5.5.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{x^{2}}$ al numerador.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Paso 2.3.5.5.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x \cdot x} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Paso 2.3.5.5.1.2.3

Factoriza $x$ de $- x$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x \cdot x} (x \cdot - 1) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Paso 2.3.5.5.1.2.4

Cancela el factor común.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x \cdot x} (x \cdot - 1) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Paso 2.3.5.5.1.2.5

Reescribe la expresión.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x} \cdot - 1 + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Paso 2.3.5.5.1.3

Combina $\frac{- 4}{x}$ y $- 1$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4 \cdot - 1}{x} + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Paso 2.3.5.5.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{4}{x} + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Paso 2.3.5.5.1.5

Multiplica $\frac{4}{x}$ por $1$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{4}{x} + \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Paso 2.3.5.5.1.6

Multiplica $- x$ por $1$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{4}{x} + \frac{4}{x} - x$

Paso 2.3.5.5.2

Suma $\frac{4}{x}$ y $\frac{4}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + 2 \frac{4}{x} - x$

Paso 2.3.5.6

Multiplica $2 \frac{4}{x}$ .

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Paso 2.3.5.6.1

Combina $2$ y $\frac{4}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{2 \cdot 4}{x} - x$

Paso 2.3.5.6.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{8}{x} - x$

Paso 2.3.6

Combina los términos opuestos en $- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{8}{x} - x$ .

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Paso 2.3.6.1

Suma $- \frac{8}{x}$ y $\frac{8}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - x - \frac{16}{x^{3}} + 0 - x$

Paso 2.3.6.2

Suma $- \frac{16}{x^{3}} - x - \frac{16}{x^{3}}$ y $0$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - x - \frac{16}{x^{3}} - x$

Paso 2.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- x - x + \frac{- 16 - 16}{x^{3}}$

Paso 2.3.8

Resta $16$ de $- 16$ .

$- x - x + \frac{- 32}{x^{3}}$

Paso 2.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- x - x - \frac{32}{x^{3}}$

Paso 2.3.10

Resta $x$ de $- x$ .

$- 2 x - \frac{32}{x^{3}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 x - \frac{32}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{32}{x^{3}})$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- \frac{32}{x^{3}})$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{32}{x^{3}})$

Paso 3.2.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{32}{x^{3}})$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{32}{x^{3}}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{32}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $- 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}}$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1}$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 3.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Paso 3.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Paso 3.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Paso 3.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 3.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Paso 3.3.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Paso 3.3.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Paso 3.3.7

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Paso 3.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 2 - 32 (- 3 x^{2 - 6})$

Paso 3.3.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- 3 x^{- 4})$

Paso 3.3.8

Multiplica $- 3$ por $- 32$ .

$f'' (x) = - 2 + 96 x^{- 4}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 + 96 (\frac{1}{x^{4}})$

Paso 3.4.2

Combina $96$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{96}{x^{4}}$

Paso 3.4.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{96}{x^{4}} - 2$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 2 x - \frac{32}{x^{3}} = 0$

Paso 5

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 6

No hay extremos locales

Paso 7