Cálculo Ejemplos

$y = \frac{9}{\sqrt{x}}$

Paso 1

Escribe $y = \frac{9}{\sqrt{x}}$ como una función.

$f (x) = \frac{9}{\sqrt{x}}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Paso 2.3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Paso 2.3.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Paso 2.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$9 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Paso 2.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 2.6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Paso 2.8.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Paso 2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Paso 2.10

Combina $x^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Paso 2.11

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$- 9 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Paso 2.12

Combina $- 9$ y $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 9 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Paso 2.13

Simplifica la expresión.

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Paso 2.13.1

Mueve $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 9}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.13.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Como $- \frac{9}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ como ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$

Paso 3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 3.2.2.2.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}$

Paso 3.2.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 3}{2}}$

Paso 3.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{3}{2}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

Paso 3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 3.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

Paso 3.7.2

Resta $2$ de $- 3$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

Paso 3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

Paso 3.9

Combina $x^{- \frac{5}{2}}$ y $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

Paso 3.10

Multiplica.

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Paso 3.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{9}{2}) \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Paso 3.10.2

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Paso 3.11

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{9 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{2 \cdot 2}$

Paso 3.12

Multiplica.

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Paso 3.12.1

Multiplica $3$ por $9$ .

$f'' (x) = \frac{27 x^{- \frac{5}{2}}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.12.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{27 x^{- \frac{5}{2}}}{4}$

Paso 3.12.3

Mueve $x^{- \frac{5}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{27}{4 x^{\frac{5}{2}}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 5

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 6

No hay extremos locales

Paso 7