Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 1

Escribe $y = \sqrt{x^{4} - 3 x + 5}$ como una función.

$f (x) = \sqrt{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{4} - 3 x + 5}$ como ${(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{4} - 3 x + 5$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4} - 3 x + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4} - 3 x + 5$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Paso 2.7

Combina fracciones.

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Paso 2.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Paso 2.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{4} - 3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Paso 2.7.3

Mueve ${(x^{4} - 3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 3 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 2.10

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 2.12

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 3 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 2.13

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 3 + 0)$

Paso 2.14

Suma $4 x^{3} - 3$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 3)$

Paso 2.15

Simplifica.

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Paso 2.15.1

Reordena los factores de $\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 3)$ .

$(4 x^{3} - 3) \frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.15.2

Multiplica $4 x^{3} - 3$ por $\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 x^{3} - 3}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x^{3} - 3}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3} - 3}{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{3} - 3}{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 4 x^{3} - 3$ y $g (x) = {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 x^{3} - 3) - (4 x^{3} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.3

Multiplica los exponentes en ${({(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 x^{3} - 3) - (4 x^{3} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común.

Paso 3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 x^{3} - 3) - (4 x^{3} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.4

Simplifica.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 x^{3} - 3) - (4 x^{3} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.5

Diferencia.

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Paso 3.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (4 x^{3} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.5.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (4 x^{3} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (4 x^{3} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.5.4

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3)) - (4 x^{3} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.5.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (12 x^{2} + 0) - (4 x^{3} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.6.1

Suma $12 x^{2}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (12 x^{2}) - (4 x^{3} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.5.6.2

Mueve $12$ a la izquierda de ${(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 \cdot ({(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2}) - (4 x^{3} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{4} - 3 x + 5$ .

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Paso 3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4} - 3 x + 5$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{4} - 3 x + 5))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{4} - 3 x + 5))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4} - 3 x + 5$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{4} - 3 x + 5))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{4} - 3 x + 5))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{4} - 3 x + 5))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{4} - 3 x + 5))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 3.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{4} - 3 x + 5))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{4} - 3 x + 5))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.11

Combina fracciones.

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Paso 3.11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{4} - 3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{4} - 3 x + 5))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{4} - 3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} - 3 x + 5))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.11.3

Mueve ${(x^{4} - 3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} - 3 x + 5))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.12

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 3 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (5)))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (5)))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.14

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5)))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5)))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.16

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3} - 3 + \frac{d}{d x} (5)))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.17

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3} - 3 + 0))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.18

Suma $4 x^{3} - 3$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3} - 3))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.19

Eleva $4 x^{3} - 3$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (4 x^{3} - 3) \frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.20

Eleva $4 x^{3} - 3$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (4 x^{3} - 3) \frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.21

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{1 + 1} \frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.22

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2} \frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.23

Combina $\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ y ${(4 x^{3} - 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{{(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.24

Para escribir $12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} \cdot \frac{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.25

Combina $12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ y $\frac{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} (2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.26

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} (2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}) - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.27

Multiplica $2$ por $12$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{24 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.28

Multiplica ${(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.28.1

Mueve ${(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{24 ({(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.28.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{24 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.28.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{24 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.28.4

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{24 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{2}{2}} x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.28.5

Divide $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.29

Simplifica $24 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{1} x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Paso 3.30

Reescribe $\frac{\frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$ como un producto.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{4} - 3 x + 5})$

Paso 3.31

Multiplica $\frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x^{4} - 3 x + 5}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} - 3 x + 5)}$

Paso 3.32

Eleva $x^{4} - 3 x + 5$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 ((x^{4} - 3 x + 5) {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 3.33

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Paso 3.34

Simplifica la expresión.

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Paso 3.34.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 3.34.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Paso 3.34.3

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.35

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 (2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}})}$

Paso 3.36

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37

Simplifica.

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Paso 3.37.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{(24 x^{4} + 24 (- 3 x) + 24 \cdot 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{24 x^{4} x^{2} + 24 (- 3 x) x^{2} + 24 \cdot (5 x^{2}) - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.37.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.37.3.1.1

Multiplica $x^{4}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.37.3.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{24 (x^{2} x^{4}) + 24 (- 3 x) x^{2} + 24 \cdot (5 x^{2}) - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{24 x^{2 + 4} + 24 (- 3 x) x^{2} + 24 \cdot (5 x^{2}) - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.1.1.3

Suma $2$ y $4$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} + 24 (- 3 x) x^{2} + 24 \cdot (5 x^{2}) - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.37.3.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} + 24 (- 3 (x^{2} x)) + 24 \cdot (5 x^{2}) - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.37.3.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} + 24 (- 3 (x^{2} x)) + 24 \cdot (5 x^{2}) - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} + 24 (- 3 x^{2 + 1}) + 24 \cdot (5 x^{2}) - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.1.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} + 24 (- 3 x^{3}) + 24 \cdot (5 x^{2}) - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.1.3

Multiplica $- 3$ por $24$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 24 \cdot (5 x^{2}) - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.1.4

Multiplica $24$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.1.5

Reescribe ${(4 x^{3} - 3)}^{2}$ como $(4 x^{3} - 3) (4 x^{3} - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - ((4 x^{3} - 3) (4 x^{3} - 3))}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.1.6

Expande $(4 x^{3} - 3) (4 x^{3} - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.37.3.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - (4 x^{3} (4 x^{3} - 3) - 3 (4 x^{3} - 3))}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - (4 x^{3} (4 x^{3}) + 4 x^{3} \cdot - 3 - 3 (4 x^{3} - 3))}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - (4 x^{3} (4 x^{3}) + 4 x^{3} \cdot - 3 - 3 (4 x^{3}) - 3 \cdot - 3)}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.1.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.37.3.1.7.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.37.3.1.7.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - (4 \cdot (4 x^{3} x^{3}) + 4 x^{3} \cdot - 3 - 3 (4 x^{3}) - 3 \cdot - 3)}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.1.7.1.2

Multiplica $x^{3}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.37.3.1.7.1.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - (4 \cdot (4 (x^{3} x^{3})) + 4 x^{3} \cdot - 3 - 3 (4 x^{3}) - 3 \cdot - 3)}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.1.7.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - (4 \cdot (4 x^{3 + 3}) + 4 x^{3} \cdot - 3 - 3 (4 x^{3}) - 3 \cdot - 3)}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.1.7.1.2.3

Suma $3$ y $3$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - (4 \cdot (4 x^{6}) + 4 x^{3} \cdot - 3 - 3 (4 x^{3}) - 3 \cdot - 3)}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.1.7.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - (16 x^{6} + 4 x^{3} \cdot - 3 - 3 (4 x^{3}) - 3 \cdot - 3)}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.1.7.1.4

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - (16 x^{6} - 12 x^{3} - 3 (4 x^{3}) - 3 \cdot - 3)}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.1.7.1.5

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - (16 x^{6} - 12 x^{3} - 12 x^{3} - 3 \cdot - 3)}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.1.7.1.6

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - (16 x^{6} - 12 x^{3} - 12 x^{3} + 9)}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.1.7.2

Resta $12 x^{3}$ de $- 12 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - (16 x^{6} - 24 x^{3} + 9)}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - (16 x^{6}) - (- 24 x^{3}) - 1 \cdot 9}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.1.9

Simplifica.

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Paso 3.37.3.1.9.1

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - 16 x^{6} - (- 24 x^{3}) - 1 \cdot 9}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.1.9.2

Multiplica $- 24$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - 16 x^{6} + 24 x^{3} - 1 \cdot 9}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.1.9.3

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - 16 x^{6} + 24 x^{3} - 9}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.2

Resta $16 x^{6}$ de $24 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} + 24 x^{3} - 9}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.37.3.3

Suma $- 72 x^{3}$ y $24 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{6} - 48 x^{3} + 120 x^{2} - 9}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{4 x^{3} - 3}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{4} - 3 x + 5}$ como ${(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 5.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{4} - 3 x + 5$ .

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Paso 5.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4} - 3 x + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Paso 5.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4} - 3 x + 5$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Paso 5.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Paso 5.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Paso 5.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Paso 5.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Paso 5.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Paso 5.1.7

Combina fracciones.

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Paso 5.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Paso 5.1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{4} - 3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Paso 5.1.7.3

Mueve ${(x^{4} - 3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Paso 5.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 3 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 5.1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 5.1.10

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 5.1.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 5.1.12

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 3 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 5.1.13

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 3 + 0)$

Paso 5.1.14

Suma $4 x^{3} - 3$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 3)$

Paso 5.1.15

Simplifica.

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Paso 5.1.15.1

Reordena los factores de $\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 3)$ .

$(4 x^{3} - 3) \frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.15.2

Multiplica $4 x^{3} - 3$ por $\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 3}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{4 x^{3} - 3}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 x^{3} - 3}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{4 x^{3} - 3}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{4 x^{3} - 3}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 6.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 x^{3} - 3 = 0$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 6.3.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} = 3$

Paso 6.3.2

Divide cada término en $4 x^{3} = 3$ por $4$ y simplifica.

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Paso 6.3.2.1

Divide cada término en $4 x^{3} = 3$ por $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{3}{4}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{3}{4}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{3}{4}$

Paso 6.3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{\frac{3}{4}}$

Paso 6.3.4

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ .

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Paso 6.3.4.1

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$

Paso 6.3.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 6.3.4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.3.4.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 6.3.4.3.2

Eleva $\sqrt[3]{4}$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 6.3.4.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Paso 6.3.4.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Paso 6.3.4.3.5

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ como $4$ .

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Paso 6.3.4.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 6.3.4.3.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 6.3.4.3.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Paso 6.3.4.3.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.4.3.5.4.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Paso 6.3.4.3.5.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Paso 6.3.4.3.5.5

Evalúa el exponente.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Paso 6.3.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.4.4.1

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Paso 6.3.4.4.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{16}}{4}$

Paso 6.3.4.4.3

Reescribe $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

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Paso 6.3.4.4.3.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Paso 6.3.4.4.3.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Paso 6.3.4.4.4

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Paso 6.3.4.4.5

Combina exponentes.

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Paso 6.3.4.4.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{3 \cdot 2}}{4}$

Paso 6.3.4.4.5.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{4}$

Paso 6.3.4.5

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 6.3.4.5.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt[3]{6}$ .

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{6})}{4}$

Paso 6.3.4.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.4.5.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.3.4.5.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.3.4.5.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{8 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{6} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$\frac{8 \frac{{\sqrt[3]{6}}^{6}}{2^{6}} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.2.1

Reescribe ${\sqrt[3]{6}}^{6}$ como $6^{2}$ .

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Paso 10.1.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{6}$ como $6^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{8 \frac{{(6^{\frac{1}{3}})}^{6}}{2^{6}} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \frac{6^{\frac{1}{3} \cdot 6}}{2^{6}} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.2.1.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $6$ .

$\frac{8 \frac{6^{\frac{6}{3}}}{2^{6}} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.2.1.4

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 10.1.2.1.4.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{8 \frac{6^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}{2^{6}} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.1.2.1.4.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{8 \frac{6^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}{2^{6}} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{8 \frac{6^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}{2^{6}} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8 \frac{6^{\frac{2}{1}}}{2^{6}} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.2.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{8 \frac{6^{2}}{2^{6}} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.2.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{8 \frac{36}{2^{6}} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $6$ .

$\frac{8 (\frac{36}{64}) - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.4

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 10.1.4.1

Factoriza $8$ de $64$ .

$\frac{8 \frac{36}{8 (8)} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{8 \frac{36}{8 \cdot 8} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{36}{8} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.5

Cancela el factor común de $36$ y $8$ .

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Paso 10.1.5.1

Factoriza $4$ de $36$ .

$\frac{\frac{4 (9)}{8} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.1.5.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 2} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 2} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{9}{2} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.6

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 48 \frac{{\sqrt[3]{6}}^{3}}{2^{3}} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.7

Reescribe ${\sqrt[3]{6}}^{3}$ como $6$ .

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Paso 10.1.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{6}$ como $6^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 48 \frac{{(6^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 48 \frac{6^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.7.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 48 \frac{6^{\frac{3}{3}}}{2^{3}} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.7.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{9}{2} - 48 \frac{6^{\frac{3}{3}}}{2^{3}} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{9}{2} - 48 \frac{6^{1}}{2^{3}} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.7.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\frac{9}{2} - 48 \frac{6}{2^{3}} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.8

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 48 (\frac{6}{8}) + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.9

Cancela el factor común de $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.9.1

Factoriza $8$ de $- 48$ .

$\frac{\frac{9}{2} + 8 (- 6) \frac{6}{8} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.9.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{9}{2} + 8 \cdot - 6 \frac{6}{8} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.9.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{9}{2} - 6 \cdot 6 + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.10

Multiplica $- 6$ por $6$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 36 + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.11

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 36 + 120 \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{2^{2}} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.12

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.12.1

Reescribe ${\sqrt[3]{6}}^{2}$ como $\sqrt[3]{6^{2}}$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 36 + 120 \frac{\sqrt[3]{6^{2}}}{2^{2}} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.12.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 36 + 120 \frac{\sqrt[3]{36}}{2^{2}} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.13

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 36 + 120 \frac{\sqrt[3]{36}}{4} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.14

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.14.1

Factoriza $4$ de $120$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 36 + 4 (30) \frac{\sqrt[3]{36}}{4} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.14.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{9}{2} - 36 + 4 \cdot 30 \frac{\sqrt[3]{36}}{4} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{9}{2} - 36 + 30 \sqrt[3]{36} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.15

Para escribir $- 36$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 36 \cdot \frac{2}{2} + 30 \sqrt[3]{36} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.16

Combina $- 36$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{9}{2} + \frac{- 36 \cdot 2}{2} + 30 \sqrt[3]{36} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{9 - 36 \cdot 2}{2} + 30 \sqrt[3]{36} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.18

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.18.1

Multiplica $- 36$ por $2$ .

$\frac{\frac{9 - 72}{2} + 30 \sqrt[3]{36} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.18.2

Resta $72$ de $9$ .

$\frac{\frac{- 63}{2} + 30 \sqrt[3]{36} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.19

Para escribir $- 9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{- 63}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2} + 30 \sqrt[3]{36}}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.20

Combina $- 9$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{- 63}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + 30 \sqrt[3]{36}}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- 63 - 9 \cdot 2}{2} + 30 \sqrt[3]{36}}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.22

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.22.1

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$\frac{\frac{- 63 - 18}{2} + 30 \sqrt[3]{36}}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.22.2

Resta $18$ de $- 63$ .

$\frac{\frac{- 81}{2} + 30 \sqrt[3]{36}}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.23

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{81}{2} + 30 \sqrt[3]{36}}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.24

Para escribir $30 \sqrt[3]{36}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \frac{81}{2} + 30 \sqrt[3]{36} \cdot \frac{2}{2}}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.25

Combina $30 \sqrt[3]{36}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \frac{81}{2} + \frac{30 \sqrt[3]{36} \cdot 2}{2}}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.26

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- 81 + 30 \sqrt[3]{36} \cdot 2}{2}}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.27

Multiplica $2$ por $30$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{{\sqrt[3]{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.1.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.2.1

Reescribe ${\sqrt[3]{6}}^{4}$ como $\sqrt[3]{6^{4}}$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{\sqrt[3]{6^{4}}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.1.2.2

Eleva $6$ a la potencia de $4$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{\sqrt[3]{1296}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.1.2.3

Reescribe $1296$ como $6^{3} \cdot 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.2.3.1

Factoriza $216$ de $1296$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{\sqrt[3]{216 (6)}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.1.2.3.2

Reescribe $216$ como $6^{3}$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{\sqrt[3]{6^{3} \cdot 6}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.1.2.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{6 \sqrt[3]{6}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{6 \sqrt[3]{6}}{16} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.1.4

Cancela el factor común de $6$ y $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $6 \sqrt[3]{6}$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{16} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 (8)} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 \cdot 8} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.1.5

Combina $- 3$ y $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{- 3 \sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.2

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.1

Multiplica $\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - (\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} \cdot \frac{4}{4}) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.2.2

Multiplica $\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{2 \cdot 4} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.2.3

Escribe $5$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{5}{1})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.2.4

Multiplica $\frac{5}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{5}{1} \cdot \frac{8}{8})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.2.5

Multiplica $\frac{5}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{5 \cdot 8}{8})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.2.6

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8} + \frac{5 \cdot 8}{8})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{3 \sqrt[3]{6} - 3 \sqrt[3]{6} \cdot 4 + 5 \cdot 8}{8})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.4.1

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{3 \sqrt[3]{6} - 12 \sqrt[3]{6} + 5 \cdot 8}{8})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.4.2

Multiplica $5$ por $8$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{3 \sqrt[3]{6} - 12 \sqrt[3]{6} + 40}{8})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.5

Resta $12 \sqrt[3]{6}$ de $3 \sqrt[3]{6}$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{- 9 \sqrt[3]{6} + 40}{8})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.6

Aplica la regla del producto a $\frac{- 9 \sqrt[3]{6} + 40}{8}$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 \frac{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}{8^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 10.3

Combina $4$ y $\frac{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}{8^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{\frac{4 {(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}{8^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 10.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2} \cdot \frac{8^{\frac{3}{2}}}{4 {(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.5

Multiplica $\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2} \cdot \frac{8^{\frac{3}{2}}}{4 {(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$ .

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Paso 10.5.1

Multiplica $\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}$ por $\frac{8^{\frac{3}{2}}}{4 {(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{(- 81 + 60 \sqrt[3]{36}) \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{2 (4 {(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}})}$

Paso 10.5.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{(- 81 + 60 \sqrt[3]{36}) \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{8 {(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.6

Mueve $8^{1}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{(- 81 + 60 \sqrt[3]{36}) \cdot 8^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{- 1}}{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.7

Multiplica $8^{\frac{3}{2}}$ por $8^{- 1}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.7.1

Mueve $8^{- 1}$ .

$\frac{(- 81 + 60 \sqrt[3]{36}) \cdot (8^{- 1} \cdot 8^{\frac{3}{2}})}{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(- 81 + 60 \sqrt[3]{36}) \cdot 8^{- 1 + \frac{3}{2}}}{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.7.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(- 81 + 60 \sqrt[3]{36}) \cdot 8^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.7.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(- 81 + 60 \sqrt[3]{36}) \cdot 8^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.7.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(- 81 + 60 \sqrt[3]{36}) \cdot 8^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}}{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.7.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.7.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{(- 81 + 60 \sqrt[3]{36}) \cdot 8^{\frac{- 2 + 3}{2}}}{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.7.6.2

Suma $- 2$ y $3$ .

$\frac{(- 81 + 60 \sqrt[3]{36}) \cdot 8^{\frac{1}{2}}}{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.8

Reescribe $- 81$ como $- 1 (81)$ .

$\frac{(- 1 (81) + 60 \sqrt[3]{36}) \cdot 8^{\frac{1}{2}}}{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.9

Factoriza $- 1$ de $60 \sqrt[3]{36}$ .

$\frac{(- 1 (81) - (- 60 \sqrt[3]{36})) \cdot 8^{\frac{1}{2}}}{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.10

Factoriza $- 1$ de $- 1 (81) - (- 60 \sqrt[3]{36})$ .

$\frac{- 1 (81 - 60 \sqrt[3]{36}) \cdot 8^{\frac{1}{2}}}{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(81 - 60 \sqrt[3]{36}) \cdot 8^{\frac{1}{2}}}{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{{(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{{\sqrt[3]{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Paso 12.2.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.2.1

Reescribe ${\sqrt[3]{6}}^{4}$ como $\sqrt[3]{6^{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{\sqrt[3]{6^{4}}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Paso 12.2.2.2

Eleva $6$ a la potencia de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{\sqrt[3]{1296}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Paso 12.2.2.3

Reescribe $1296$ como $6^{3} \cdot 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.2.3.1

Factoriza $216$ de $1296$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{\sqrt[3]{216 (6)}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Paso 12.2.2.3.2

Reescribe $216$ como $6^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{\sqrt[3]{6^{3} \cdot 6}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Paso 12.2.2.4

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{6 \sqrt[3]{6}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Paso 12.2.3

Simplifica los términos.

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Paso 12.2.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{6 \sqrt[3]{6}}{16} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Paso 12.2.3.2

Cancela el factor común de $6$ y $16$ .

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Paso 12.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $6 \sqrt[3]{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{16} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Paso 12.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 (8)} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Paso 12.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 \cdot 8} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Paso 12.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Paso 12.2.3.3

Combina $- 3$ y $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{- 3 \sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Paso 12.2.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Paso 12.2.4

Para escribir $- \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} \cdot \frac{4}{4} + 5}$

Paso 12.2.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 12.2.5.1

Multiplica $\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{2 \cdot 4} + 5}$

Paso 12.2.5.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8} + 5}$

Paso 12.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{3 \sqrt[3]{6} - 3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8} + 5}$

Paso 12.2.7

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{3 \sqrt[3]{6} - 3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8} + 5 \cdot \frac{8}{8}}$

Paso 12.2.8

Combina $5$ y $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{3 \sqrt[3]{6} - 3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8} + \frac{5 \cdot 8}{8}}$

Paso 12.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{3 \sqrt[3]{6} - 3 \sqrt[3]{6} \cdot 4 + 5 \cdot 8}{8}}$

Paso 12.2.10

Reescribe $\frac{3 \sqrt[3]{6} - 3 \sqrt[3]{6} \cdot 4 + 5 \cdot 8}{8}$ en forma factorizada.

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Paso 12.2.10.1

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{3 \sqrt[3]{6} - 12 \sqrt[3]{6} + 5 \cdot 8}{8}}$

Paso 12.2.10.2

Multiplica $5$ por $8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{3 \sqrt[3]{6} - 12 \sqrt[3]{6} + 40}{8}}$

Paso 12.2.10.3

Resta $12 \sqrt[3]{6}$ de $3 \sqrt[3]{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{- 9 \sqrt[3]{6} + 40}{8}}$

Paso 12.2.11

Reescribe $\sqrt{\frac{- 9 \sqrt[3]{6} + 40}{8}}$ como $\frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40}}{\sqrt{8}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40}}{\sqrt{8}}$

Paso 12.2.12

Simplifica el denominador.

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Paso 12.2.12.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 12.2.12.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40}}{\sqrt{4 (2)}}$

Paso 12.2.12.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Paso 12.2.12.2

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 12.2.13

Multiplica $\frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 12.2.14

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 12.2.14.1

Multiplica $\frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 12.2.14.2

Mueve $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 12.2.14.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 12.2.14.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 12.2.14.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 12.2.14.6

Suma $1$ y $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 12.2.14.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 12.2.14.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.2.14.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 12.2.14.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 12.2.14.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.2.14.7.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 12.2.14.7.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 12.2.14.7.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 12.2.15

Combina con la regla del producto para radicales.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 12.2.16

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40) \cdot 2}}{4}$

Paso 12.2.17

La respuesta final es $\frac{\sqrt{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40) \cdot 2}}{4}$ .

$y = \frac{\sqrt{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40) \cdot 2}}{4}$

Paso 13

Estos son los extremos locales de $f (x) = \sqrt{x^{4} - 3 x + 5}$ .

$(\frac{\sqrt[3]{6}}{2}, \frac{\sqrt{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40) \cdot 2}}{4})$ es un mínimo local

Paso 14