Cálculo Ejemplos

$y = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$

Paso 1

Escribe $y = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ como una función.

$f (x) = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$e^{x} - 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$e^{x} - 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} - 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 2.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 2.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 2.3.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$e^{x} - 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 2.3.7

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$e^{x} - 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 2.3.8

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \cdot 1$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4$

Paso 2.5

Reordena los términos.

$3 e^{- x} + e^{x} - 4$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 e^{- x} + e^{x} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 e^{- x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 3.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 3.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 3.2.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 3.2.7

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 3.2.8

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 3.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x} + 0$

Paso 3.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Suma $- 3 e^{- x} + e^{x}$ y $0$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x}$

Paso 3.5.2

Reordena los términos.

$f'' (x) = e^{x} - 3 e^{- x}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 5.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 \frac{d}{d x} e^{- x} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 5.1.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 5.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 5.1.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 5.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 5.1.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 5.1.3.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 5.1.3.7

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 5.1.3.8

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 5.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.4.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \frac{d}{d x} x$

Paso 5.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \cdot 1$

Paso 5.1.4.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4$

Paso 5.1.5

Reordena los términos.

$f' (x) = 3 e^{- x} + e^{x} - 4$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 e^{- x} + e^{x} - 4$ .

$3 e^{- x} + e^{x} - 4$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$

Paso 6.2

Reescribe $e^{- x}$ como exponenciación.

$3 {(e^{x})}^{- 1} + e^{x} - 4 = 0$

Paso 6.3

Sustituye $u$ por $e^{x}$ .

$3 u^{- 1} + u - 4 = 0$

Paso 6.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{u}) + u - 4 = 0$

Paso 6.4.2

Combina $3$ y $\frac{1}{u}$ .

$\frac{3}{u} + u - 4 = 0$

Paso 6.5

Reordena $\frac{3}{u}$ y $u$ .

$u + \frac{3}{u} - 4 = 0$

Paso 6.6

Resuelve $u$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, u, 1, 1$

Paso 6.6.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$u$

Paso 6.6.2

Multiplica cada término en $u + \frac{3}{u} - 4 = 0$ por $u$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.2.1

Multiplica cada término en $u + \frac{3}{u} - 4 = 0$ por $u$ .

$u \cdot u + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

Paso 6.6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.2.2.1.1

Multiplica $u$ por $u$ .

$u^{2} + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

Paso 6.6.2.2.1.2

Cancela el factor común de $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$u^{2} + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

Paso 6.6.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$u^{2} + 3 - 4 u = 0 u$

Paso 6.6.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.2.3.1

Multiplica $0$ por $u$ .

$u^{2} + 3 - 4 u = 0$

Paso 6.6.3

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.3.1

Factoriza $u^{2} + 3 - 4 u$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 3, - 1$

Paso 6.6.3.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

Paso 6.6.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

$u - 1 = 0$

Paso 6.6.3.3

Establece $u - 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.3.3.1

Establece $u - 3$ igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

Paso 6.6.3.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 3$

Paso 6.6.3.4

Establece $u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.3.4.1

Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Paso 6.6.3.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

Paso 6.6.3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 3) (u - 1) = 0$ verdadera.

$u = 3, 1$

Paso 6.7

Sustituye $3$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$3 = e^{x}$

Paso 6.8

Resuelve $3 = e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = 3$ .

$e^{x} = 3$

Paso 6.8.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Paso 6.8.3

Expande el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Paso 6.8.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Paso 6.8.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (3)$

Paso 6.9

Sustituye $1$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$1 = e^{x}$

Paso 6.10

Resuelve $1 = e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.10.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = 1$ .

$e^{x} = 1$

Paso 6.10.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Paso 6.10.3

Expande el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.10.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Paso 6.10.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Paso 6.10.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (1)$

Paso 6.10.4

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 6.11

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \ln (3), 0$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = \ln (3), 0$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = \ln (3)$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$e^{\ln (3)} - 3 e^{- (\ln (3))}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$3 - 3 e^{- (\ln (3))}$

Paso 10.1.2

Simplifica $- (\ln (3))$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$3 - 3 e^{\ln (3^{- 1})}$

Paso 10.1.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$3 - 3 \cdot 3^{- 1}$

Paso 10.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 - 3 \cdot \frac{1}{3}$

Paso 10.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.5.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$3 + 3 (- 1) \cdot \frac{1}{3}$

Paso 10.1.5.2

Cancela el factor común.

$3 + 3 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{3}$

Paso 10.1.5.3

Reescribe la expresión.

$3 - 1$

Paso 10.2

Resta $1$ de $3$ .

$2$

Paso 11

$x = \ln (3)$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \ln (3)$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = \ln (3)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $\ln (3)$ en la expresión.

$f (\ln (3)) = e^{\ln (3)} - 3 e^{- (\ln (3))} - 4 \ln (3)$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (3)) = 3 - 3 e^{- (\ln (3))} - 4 \ln (3)$

Paso 12.2.1.2

Simplifica $- (\ln (3))$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$f (\ln (3)) = 3 - 3 e^{\ln (3^{- 1})} - 4 \ln (3)$

Paso 12.2.1.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (3)) = 3 - 3 \cdot 3^{- 1} - 4 \ln (3)$

Paso 12.2.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\ln (3)) = 3 - 3 \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

Paso 12.2.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.5.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$f (\ln (3)) = 3 + 3 (- 1) \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

Paso 12.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$f (\ln (3)) = 3 + 3 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

Paso 12.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - 4 \ln (3)$

Paso 12.2.1.6

Simplifica $- 4 \ln (3)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - \ln (3^{4})$

Paso 12.2.1.7

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - \ln (81)$

Paso 12.2.2

Resta $1$ de $3$ .

$f (\ln (3)) = 2 - \ln (81)$

Paso 12.2.3

La respuesta final es $2 - \ln (81)$ .

$y = 2 - \ln (81)$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$e^{0} - 3 e^{- (0)}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1 - 3 e^{- (0)}$

Paso 14.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$1 - 3 e^{0}$

Paso 14.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1 - 3 \cdot 1$

Paso 14.1.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$1 - 3$

Paso 14.2

Resta $3$ de $1$ .

$- 2$

Paso 15

$x = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0$ es un máximo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = e^{0} - 3 e^{- (0)} - 4 \cdot 0$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f (0) = 1 - 3 e^{- (0)} - 4 \cdot 0$

Paso 16.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 1 - 3 e^{0} - 4 \cdot 0$

Paso 16.2.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f (0) = 1 - 3 \cdot 1 - 4 \cdot 0$

Paso 16.2.1.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f (0) = 1 - 3 - 4 \cdot 0$

Paso 16.2.1.5

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$f (0) = 1 - 3 + 0$

Paso 16.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.2.1

Resta $3$ de $1$ .

$f (0) = - 2 + 0$

Paso 16.2.2.2

Suma $- 2$ y $0$ .

$f (0) = - 2$

Paso 16.2.3

La respuesta final es $- 2$ .

$y = - 2$

Paso 17

Estos son los extremos locales de $f (x) = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ .

$(\ln (3), 2 - \ln (81))$ es un mínimo local

$(0, - 2)$ es un máximo local

Paso 18