Cálculo Ejemplos

$y = \frac{5}{x^{2} - 8 x - 63}$

Paso 1

Escribe $y = \frac{5}{x^{2} - 8 x - 63}$ como una función.

$f (x) = \frac{5}{x^{2} - 8 x - 63}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5}{x^{2} - 8 x - 63}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 8 x - 63}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 8 x - 63}]$

Paso 2.1.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2} - 8 x - 63}$ como ${(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 1}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2} - 8 x - 63$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 8 x - 63$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 8 x - 63$ .

$5 (- {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5 ({(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 8 x - 63$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63]$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63])$

Paso 2.3.4

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 63])$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 63])$

Paso 2.3.6

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [- 63])$

Paso 2.3.7

Como $- 63$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 63$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 + 0)$

Paso 2.3.8

Suma $2 x - 8$ y $0$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8)$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Combina $- 5$ y $\frac{1}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ .

$\frac{- 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$

Paso 2.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$

Paso 2.4.3

Reordena los factores de $- \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$ .

$- (2 x - 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 2.4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$(- (2 x) - - 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 2.4.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(- 2 x - - 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 2.4.6

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$(- 2 x + 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 2.4.7

Multiplica $- 2 x + 8$ por $\frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ .

$\frac{(- 2 x + 8) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 2.4.8

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.8.1

Factoriza $2$ de $- 2 x + 8$ .

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Paso 2.4.8.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{(2 (- x) + 8) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 2.4.8.1.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{(2 (- x) + 2 (4)) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 2.4.8.1.3

Factoriza $2$ de $2 (- x) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- x + 4) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 2.4.8.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{10 (- x + 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 2.4.9

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{10 (- (x) + 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 2.4.10

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{10 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 2.4.11

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{10 (- (x - 4))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 2.4.12

Reescribe $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{10 (- 1 (x - 4))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 2.4.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} \frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 4$ y $g (x) = {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{({(x^{2} - 8 x - 63)}^{2})}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 8 x - 63)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Paso 3.3.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Paso 3.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Paso 3.3.5.2

Multiplica ${(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} - 8 x - 63$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 8 x - 63$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} - (x - 4) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} - (x - 4) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 8 x - 63$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} - (x - 4) (2 (x^{2} - 8 x - 63) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Paso 3.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} - 2 (x - 4) ((x^{2} - 8 x - 63) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Paso 3.5.2

Factoriza $x^{2} - 8 x - 63$ de ${(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} - 2 (x - 4) ((x^{2} - 8 x - 63) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$ .

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $x^{2} - 8 x - 63$ de ${(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{(x^{2} - 8 x - 63) (x^{2} - 8 x - 63) - 2 (x - 4) ((x^{2} - 8 x - 63) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Paso 3.5.2.2

Factoriza $x^{2} - 8 x - 63$ de $- 2 (x - 4) ((x^{2} - 8 x - 63) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{(x^{2} - 8 x - 63) (x^{2} - 8 x - 63) + (x^{2} - 8 x - 63) (- 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63)))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Paso 3.5.2.3

Factoriza $x^{2} - 8 x - 63$ de $(x^{2} - 8 x - 63) (x^{2} - 8 x - 63) + (x^{2} - 8 x - 63) (- 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63]))$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{(x^{2} - 8 x - 63) (x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63)))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Paso 3.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.1

Factoriza $x^{2} - 8 x - 63$ de ${(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{(x^{2} - 8 x - 63) (x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63)))}{(x^{2} - 8 x - 63) {(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.6.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - 10 \frac{(x^{2} - 8 x - 63) (x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63)))}{(x^{2} - 8 x - 63) {(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.6.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 8 x - 63$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.9

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.11

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (- 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.12

Como $- 63$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 63$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8 + 0)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.13

Combina fracciones.

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Paso 3.13.1

Suma $2 x - 8$ y $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.13.2

Combina $- 10$ y $\frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 10 (x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.13.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{10 (x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14

Simplifica.

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Paso 3.14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10 (x^{2} - 8 x - 63 + (- 2 x - 2 \cdot - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} + 10 (- 8 x) + 10 \cdot - 63 + 10 ((- 2 x - 2 \cdot - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.14.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.14.3.1.1

Multiplica $- 8$ por $10$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x + 10 \cdot - 63 + 10 ((- 2 x - 2 \cdot - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.3.1.2

Multiplica $10$ por $- 63$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 ((- 2 x - 2 \cdot - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 ((- 2 x + 8) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.3.1.4

Expande $(- 2 x + 8) (2 x - 8)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.14.3.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 2 x (2 x - 8) + 8 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.3.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 8 + 8 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.3.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 8 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.3.1.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.14.3.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.14.3.1.5.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 2 \cdot (2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 8 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.3.1.5.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.14.3.1.5.1.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 2 \cdot (2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 8 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.3.1.5.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 2 \cdot (2 x^{2}) - 2 x \cdot - 8 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.3.1.5.1.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 4 x^{2} - 2 x \cdot - 8 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.3.1.5.1.4

Multiplica $- 8$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 4 x^{2} + 16 x + 8 (2 x) + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.3.1.5.1.5

Multiplica $2$ por $8$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 4 x^{2} + 16 x + 16 x + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.3.1.5.1.6

Multiplica $8$ por $- 8$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 4 x^{2} + 16 x + 16 x - 64)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.3.1.5.2

Suma $16 x$ y $16 x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 4 x^{2} + 32 x - 64)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.3.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 4 x^{2}) + 10 (32 x) + 10 \cdot - 64}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.3.1.7

Simplifica.

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Paso 3.14.3.1.7.1

Multiplica $- 4$ por $10$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 - 40 x^{2} + 10 (32 x) + 10 \cdot - 64}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.3.1.7.2

Multiplica $32$ por $10$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 - 40 x^{2} + 320 x + 10 \cdot - 64}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.3.1.7.3

Multiplica $10$ por $- 64$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 - 40 x^{2} + 320 x - 640}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.3.2

Resta $40 x^{2}$ de $10 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 30 x^{2} - 80 x - 630 + 320 x - 640}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.3.3

Suma $- 80 x$ y $320 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 30 x^{2} + 240 x - 630 - 640}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.3.4

Resta $640$ de $- 630$ .

$f'' (x) = - \frac{- 30 x^{2} + 240 x - 1270}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.4

Factoriza $10$ de $- 30 x^{2} + 240 x - 1270$ .

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Paso 3.14.4.1

Factoriza $10$ de $- 30 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- 3 x^{2}) + 240 x - 1270}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.4.2

Factoriza $10$ de $240 x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- 3 x^{2}) + 10 (24 x) - 1270}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.4.3

Factoriza $10$ de $- 1270$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- 3 x^{2}) + 10 (24 x) + 10 (- 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.4.4

Factoriza $10$ de $10 (- 3 x^{2}) + 10 (24 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- 3 x^{2} + 24 x) + 10 (- 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.4.5

Factoriza $10$ de $10 (- 3 x^{2} + 24 x) + 10 (- 127)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- 3 x^{2} + 24 x - 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.5

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2}) + 24 x - 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.6

Factoriza $- 1$ de $24 x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2}) - (- 24 x) - 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.7

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - (- 24 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2} - 24 x) - 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.8

Reescribe $- 127$ como $- 1 (127)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2} - 24 x) - 1 \cdot 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.9

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2} - 24 x) - 1 (127)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2} - 24 x + 127))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.10

Reescribe $- (3 x^{2} - 24 x + 127)$ como $- 1 (3 x^{2} - 24 x + 127)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- 1 (3 x^{2} - 24 x + 127))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{2} - 24 x + 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 3.14.12

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{10 (3 x^{2} - 24 x + 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}})$

Paso 3.14.13

Multiplica $\frac{10 (3 x^{2} - 24 x + 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{2} - 24 x + 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 5.1.1.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5}{x^{2} - 8 x - 63}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 8 x - 63}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 8 x - 63}]$

Paso 5.1.1.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2} - 8 x - 63}$ como ${(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 1}]$

Paso 5.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2} - 8 x - 63$ .

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Paso 5.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 8 x - 63$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Paso 5.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 8 x - 63$ .

$5 (- {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Paso 5.1.3

Diferencia.

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Paso 5.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5 ({(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Paso 5.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 8 x - 63$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63]$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63])$

Paso 5.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63])$

Paso 5.1.3.4

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 63])$

Paso 5.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 63])$

Paso 5.1.3.6

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [- 63])$

Paso 5.1.3.7

Como $- 63$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 63$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 + 0)$

Paso 5.1.3.8

Suma $2 x - 8$ y $0$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8)$

Paso 5.1.4

Simplifica.

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Paso 5.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$

Paso 5.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 5.1.4.2.1

Combina $- 5$ y $\frac{1}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ .

$\frac{- 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$

Paso 5.1.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$

Paso 5.1.4.3

Reordena los factores de $- \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$ .

$- (2 x - 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 5.1.4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$(- (2 x) - - 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 5.1.4.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(- 2 x - - 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 5.1.4.6

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$(- 2 x + 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 5.1.4.7

Multiplica $- 2 x + 8$ por $\frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ .

$\frac{(- 2 x + 8) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 5.1.4.8

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.4.8.1

Factoriza $2$ de $- 2 x + 8$ .

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Paso 5.1.4.8.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{(2 (- x) + 8) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 5.1.4.8.1.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{(2 (- x) + 2 (4)) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 5.1.4.8.1.3

Factoriza $2$ de $2 (- x) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- x + 4) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 5.1.4.8.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{10 (- x + 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 5.1.4.9

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{10 (- (x) + 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 5.1.4.10

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{10 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 5.1.4.11

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{10 (- (x - 4))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 5.1.4.12

Reescribe $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{10 (- 1 (x - 4))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 5.1.4.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ .

$- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} = 0$

Paso 6.2

Establece el numerador igual a cero.

$10 (x - 4) = 0$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 6.3.1

Divide cada término en $10 (x - 4) = 0$ por $10$ y simplifica.

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Paso 6.3.1.1

Divide cada término en $10 (x - 4) = 0$ por $10$ .

$\frac{10 (x - 4)}{10} = \frac{0}{10}$

Paso 6.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 6.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 (x - 4)}{10} = \frac{0}{10}$

Paso 6.3.1.2.1.2

Divide $x - 4$ por $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{10}$

Paso 6.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1.3.1

Divide $0$ por $10$ .

$x - 4 = 0$

Paso 6.3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

Establece el denominador en $\frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} = 0$

Paso 7.2

Resuelve $x$

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Paso 7.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x^{2} - 8 x - 63 = \pm \sqrt{0}$

Paso 7.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 7.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x^{2} - 8 x - 63 = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x^{2} - 8 x - 63 = \pm 0$

Paso 7.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x^{2} - 8 x - 63 = 0$

Paso 7.2.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.2.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 8$ y $c = - 63$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 63)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.5

Simplifica.

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Paso 7.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.5.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 63$ .

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Paso 7.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 63$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 252}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.5.1.3

Suma $64$ y $252$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{316}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.5.1.4

Reescribe $316$ como $2^{2} \cdot 79$ .

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Paso 7.2.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $316$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (79)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 79}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2}$

Paso 7.2.5.3

Simplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{79}$

Paso 7.2.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 7.2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.6.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 63$ .

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Paso 7.2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 63$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 252}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.6.1.3

Suma $64$ y $252$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{316}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.6.1.4

Reescribe $316$ como $2^{2} \cdot 79$ .

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Paso 7.2.6.1.4.1

Factoriza $4$ de $316$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (79)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 79}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2}$

Paso 7.2.6.3

Simplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{79}$

Paso 7.2.6.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 4 + \sqrt{79}$

Paso 7.2.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 7.2.7.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.7.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 63$ .

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Paso 7.2.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 63$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 252}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.7.1.3

Suma $64$ y $252$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{316}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.7.1.4

Reescribe $316$ como $2^{2} \cdot 79$ .

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Paso 7.2.7.1.4.1

Factoriza $4$ de $316$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (79)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.7.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 79}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2}$

Paso 7.2.7.3

Simplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{79}$

Paso 7.2.7.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 4 - \sqrt{79}$

Paso 7.2.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 4 + \sqrt{79}, 4 - \sqrt{79}$

Paso 7.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = 4 - \sqrt{79}, x = 4 + \sqrt{79}$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 4$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 4$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{10 (3 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4 + 127)}{{({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{10 (3 \cdot 16 - 24 \cdot 4 + 127)}{{(4^{2} - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Paso 10.1.2

Multiplica $3$ por $16$ .

$\frac{10 (48 - 24 \cdot 4 + 127)}{{(4^{2} - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Paso 10.1.3

Multiplica $- 24$ por $4$ .

$\frac{10 (48 - 96 + 127)}{{(4^{2} - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Paso 10.1.4

Resta $96$ de $48$ .

$\frac{10 (- 48 + 127)}{{(4^{2} - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Paso 10.1.5

Suma $- 48$ y $127$ .

$\frac{10 \cdot 79}{{(4^{2} - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Paso 10.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{10 \cdot 79}{{(16 - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Paso 10.2.2

Multiplica $- 8$ por $4$ .

$\frac{10 \cdot 79}{{(16 - 32 - 63)}^{3}}$

Paso 10.2.3

Resta $32$ de $16$ .

$\frac{10 \cdot 79}{{(- 16 - 63)}^{3}}$

Paso 10.2.4

Resta $63$ de $- 16$ .

$\frac{10 \cdot 79}{{(- 79)}^{3}}$

Paso 10.2.5

Eleva $- 79$ a la potencia de $3$ .

$\frac{10 \cdot 79}{- 493039}$

Paso 10.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 10.3.1

Multiplica $10$ por $79$ .

$\frac{790}{- 493039}$

Paso 10.3.2

Cancela el factor común de $790$ y $- 493039$ .

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Paso 10.3.2.1

Factoriza $79$ de $790$ .

$\frac{79 (10)}{- 493039}$

Paso 10.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.3.2.2.1

Factoriza $79$ de $- 493039$ .

$\frac{79 \cdot 10}{79 \cdot - 6241}$

Paso 10.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{79 \cdot 10}{79 \cdot - 6241}$

Paso 10.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{10}{- 6241}$

Paso 10.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{10}{6241}$

Paso 11

$x = 4$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 4$ es un máximo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 4$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = \frac{5}{{(4)}^{2} - 8 \cdot 4 - 63}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 12.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (4) = \frac{5}{16 - 8 \cdot 4 - 63}$

Paso 12.2.1.2

Multiplica $- 8$ por $4$ .

$f (4) = \frac{5}{16 - 32 - 63}$

Paso 12.2.1.3

Resta $32$ de $16$ .

$f (4) = \frac{5}{- 16 - 63}$

Paso 12.2.1.4

Resta $63$ de $- 16$ .

$f (4) = \frac{5}{- 79}$

Paso 12.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (4) = - \frac{5}{79}$

Paso 12.2.3

La respuesta final es $- \frac{5}{79}$ .

$y = - \frac{5}{79}$

Paso 13

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{5}{x^{2} - 8 x - 63}$ .

$(4, - \frac{5}{79})$ es un máximo local

Paso 14