Cálculo Ejemplos

$y = \frac{3}{2} \cdot \sin (x + \frac{π}{3})$

Paso 1

Escribe $y = \frac{3}{2} \cdot \sin (x + \frac{π}{3})$ como una función.

$f (x) = \frac{3}{2} \cdot \sin (x + \frac{π}{3})$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{2} \cdot \sin (x + \frac{π}{3})$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x + \frac{π}{3})]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x + \frac{π}{3})]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x + \frac{π}{3}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + \frac{π}{3}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{3}])$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\frac{3}{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{3}])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + \frac{π}{3}$ .

$\frac{3}{2} (\cos (x + \frac{π}{3}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{3}])$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Combina $\cos (x + \frac{π}{3})$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{\cos (x + \frac{π}{3}) \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{3}]$

Paso 2.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (x + \frac{π}{3})$ .

$\frac{3 \cdot \cos (x + \frac{π}{3})}{2} \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{3}]$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \frac{π}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{3}]$ .

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{3}])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{3}])$

Paso 2.3.5

Como $\frac{π}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{π}{3}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2} (1 + 0)$

Paso 2.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2} \cdot 1$

Paso 2.3.6.2

Multiplica $\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2}$ por $1$ .

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x + \frac{π}{3})]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (x + \frac{π}{3}))$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x + \frac{π}{3}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + \frac{π}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{3}))$

Paso 3.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{3}))$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + \frac{π}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (x + \frac{π}{3}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{3}))$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $\sin (x + \frac{π}{3})$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (x + \frac{π}{3})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{3})$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \frac{π}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (x + \frac{π}{3})}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{3}))$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (x + \frac{π}{3})}{2} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{3}))$

Paso 3.3.4

Como $\frac{π}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{π}{3}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (x + \frac{π}{3})}{2} \cdot (1 + 0)$

Paso 3.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (x + \frac{π}{3})}{2} \cdot 1$

Paso 3.3.5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (x + \frac{π}{3})}{2}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2} = 0$

Paso 5

Establece el numerador igual a cero.

$3 \cos (x + \frac{π}{3}) = 0$

Paso 6

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 6.1

Divide cada término en $3 \cos (x + \frac{π}{3}) = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.1.1

Divide cada término en $3 \cos (x + \frac{π}{3}) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 6.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 6.1.2.1.2

Divide $\cos (x + \frac{π}{3})$ por $1$ .

$\cos (x + \frac{π}{3}) = \frac{0}{3}$

Paso 6.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$\cos (x + \frac{π}{3}) = 0$

Paso 6.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x + \frac{π}{3} = \arccos (0)$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}$

Paso 6.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.4.1

Resta $\frac{π}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{π}{2} - \frac{π}{3}$

Paso 6.4.2

Para escribir $\frac{π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 6.4.3

Para escribir $- \frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.4.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.4.4.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.4.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.4.4.3

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Paso 6.4.4.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Paso 6.4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 3 - π \cdot 2}{6}$

Paso 6.4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.6.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π \cdot 2}{6}$

Paso 6.4.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{3 π - 2 π}{6}$

Paso 6.4.6.3

Resta $2 π$ de $3 π$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 6.5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x + \frac{π}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 6.6

Resuelve $x$

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Paso 6.6.1

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 6.6.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{3} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.6.1.2

Combina fracciones.

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Paso 6.6.1.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.6.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x + \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 6.6.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.6.1.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x + \frac{π}{3} = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 6.6.1.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x + \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}$

Paso 6.6.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.6.2.1

Resta $\frac{π}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{3}$

Paso 6.6.2.2

Para escribir $\frac{3 π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 6.6.2.3

Para escribir $- \frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.6.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.6.2.4.1

Multiplica $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.6.2.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.6.2.4.3

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Paso 6.6.2.4.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Paso 6.6.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{3 π \cdot 3 - π \cdot 2}{6}$

Paso 6.6.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.6.2.6.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$x = \frac{9 π - π \cdot 2}{6}$

Paso 6.6.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{9 π - 2 π}{6}$

Paso 6.6.2.6.3

Resta $2 π$ de $9 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Paso 6.7

La solución a la ecuación $x + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Paso 7

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{6}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{3 \sin ((\frac{π}{6}) + \frac{π}{3})}{2}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Para escribir $\frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})}{2}$

Paso 8.1.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.1.2.1

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})}{2}$

Paso 8.1.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 2}{6})}{2}$

Paso 8.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{3 \sin (\frac{π + π \cdot 2}{6})}{2}$

Paso 8.1.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.4.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{6})}{2}$

Paso 8.1.4.2

Suma $π$ y $2 π$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 π}{6})}{2}$

Paso 8.1.5

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.5.1

Factoriza $3$ de $3 π$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 (π)}{6})}{2}$

Paso 8.1.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.5.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{2}$

Paso 8.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{3 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{2}$

Paso 8.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{3 \sin (\frac{π}{2})}{2}$

Paso 8.1.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{2}$

Paso 8.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$- \frac{3}{2}$

Paso 9

$x = \frac{π}{6}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{π}{6}$ es un máximo local

Paso 10

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{6}$ .

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Paso 10.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{6}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin ((\frac{π}{6}) + \frac{π}{3})$

Paso 10.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.1

Para escribir $\frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Paso 10.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.1

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

Paso 10.2.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 2}{6})$

Paso 10.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{π + π \cdot 2}{6})$

Paso 10.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.4.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{6})$

Paso 10.2.4.2

Suma $π$ y $2 π$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{6})$

Paso 10.2.5

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.5.1

Factoriza $3$ de $3 π$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 (π)}{6})$

Paso 10.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.5.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Paso 10.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Paso 10.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})$

Paso 10.2.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot 1$

Paso 10.2.7

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2}$

Paso 10.2.8

La respuesta final es $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{7 π}{6}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{3 \sin ((\frac{7 π}{6}) + \frac{π}{3})}{2}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 12.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.1

Para escribir $\frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})}{2}$

Paso 12.1.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.2.1

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})}{2}$

Paso 12.1.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π \cdot 2}{6})}{2}$

Paso 12.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{3 \sin (\frac{7 π + π \cdot 2}{6})}{2}$

Paso 12.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1.4.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{7 π + 2 \cdot π}{6})}{2}$

Paso 12.1.4.2

Suma $7 π$ y $2 π$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{9 π}{6})}{2}$

Paso 12.1.5

Cancela el factor común de $9$ y $6$ .

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Paso 12.1.5.1

Factoriza $3$ de $9 π$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 (3 π)}{6})}{2}$

Paso 12.1.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.5.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{2}$

Paso 12.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{3 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{2}$

Paso 12.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{3 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Paso 12.1.6

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$- \frac{3 (- \sin (\frac{π}{2}))}{2}$

Paso 12.1.7

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- \frac{3 (- 1 \cdot 1)}{2}$

Paso 12.1.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{3 \cdot - 1}{2}$

Paso 12.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \frac{- 3}{2}$

Paso 12.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{3}{2}$

Paso 12.3

Multiplica $- - \frac{3}{2}$ .

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Paso 12.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2})$

Paso 12.3.2

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$\frac{3}{2}$

Paso 13

$x = \frac{7 π}{6}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{7 π}{6}$ es un mínimo local

Paso 14

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{7 π}{6}$ .

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Paso 14.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{7 π}{6}$ en la expresión.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin ((\frac{7 π}{6}) + \frac{π}{3})$

Paso 14.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1

Para escribir $\frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Paso 14.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 14.2.2.1

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

Paso 14.2.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π \cdot 2}{6})$

Paso 14.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{7 π + π \cdot 2}{6})$

Paso 14.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 14.2.4.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{7 π + 2 \cdot π}{6})$

Paso 14.2.4.2

Suma $7 π$ y $2 π$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{9 π}{6})$

Paso 14.2.5

Cancela el factor común de $9$ y $6$ .

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Paso 14.2.5.1

Factoriza $3$ de $9 π$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 (3 π)}{6})$

Paso 14.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.2.5.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

Paso 14.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

Paso 14.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.2.6

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))$

Paso 14.2.7

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Paso 14.2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot - 1$

Paso 14.2.9

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 14.2.9.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3 \cdot - 1}{2}$

Paso 14.2.9.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

Paso 14.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{3}{2}$

Paso 14.2.11

La respuesta final es $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Paso 15

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{3}{2} \cdot \sin (x + \frac{π}{3})$ .

$(\frac{π}{6}, \frac{3}{2})$ es un máximo local

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{3}{2})$ es un mínimo local

Paso 16