Cálculo Ejemplos

$y = \frac{- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x}{x^{2} + 1}$

Paso 1

Escribe $y = \frac{- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x}{x^{2} + 1}$ como una función.

$f (x) = \frac{- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x}{x^{2} + 1}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = - 3 x^{5} + 3 x^{2} - x$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x] - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.2

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{5}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.4

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.7

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - \frac{d}{d x} [x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1 \cdot 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.11

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.13

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.14

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.14.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.14.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - 2 (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) + (- 2 (- 3 x^{5}) - 2 (3 x^{2}) - 2 (- x)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1.1

Expande $(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{x^{2} (- 15 x^{4}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 15 x^{2} x^{4} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.3.1.2.2.1

Mueve $x^{4}$ .

$\frac{- 15 (x^{4} x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 15 x^{4 + 2} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.2.2.3

Suma $4$ y $2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.2.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.3.1.2.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.2.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.3.3.1.2.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.2.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.2.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - 1 \cdot x^{2} + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.2.6

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.2.7

Multiplica $- 15 x^{4}$ por $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.2.8

Multiplica $6 x$ por $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.3

Multiplica $x^{5}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.3.1.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 (x \cdot x^{5})) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{5}$ .

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Paso 2.3.3.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 (x^{1} x^{5})) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{1 + 5}) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.3.3

Suma $1$ y $5$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{6}) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 (x \cdot x^{2})) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.3.3.1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 (x^{1} x^{2})) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{1 + 2}) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{3}) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.6

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.7

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.3.1.7.1

Mueve $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- (x \cdot x))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.7.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.8

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.2

Combina los términos opuestos en $- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Resta $6 x^{3}$ de $6 x^{3}$ .

$\frac{- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} + 0 + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.2.2

Suma $- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6}$ y $0$ .

$\frac{- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.3

Suma $- 15 x^{6}$ y $6 x^{6}$ .

$\frac{- 9 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.4

Suma $- x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$\frac{- 9 x^{6} + x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.4

Reordena los términos.

$\frac{- 9 x^{6} - 15 x^{4} + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.5

Factoriza $- 1$ de $- 9 x^{6}$ .

$\frac{- (9 x^{6}) - 15 x^{4} + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.6

Factoriza $- 1$ de $- 15 x^{4}$ .

$\frac{- (9 x^{6}) - (15 x^{4}) + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.7

Factoriza $- 1$ de $- (9 x^{6}) - (15 x^{4})$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4}) + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.8

Factoriza $- 1$ de $x^{2}$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.9

Factoriza $- 1$ de $- (9 x^{6} + 15 x^{4}) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.10

Factoriza $- 1$ de $6 x$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) - (- 6 x) - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.11

Factoriza $- 1$ de $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) - (- 6 x)$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.12

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.13

Factoriza $- 1$ de $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.14

Reescribe $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)$ como $- 1 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.2

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{6}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (9 x^{6}) + \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{6}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (9 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (9 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.5

Multiplica $6$ por $9$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.6

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15 x^{4}$ con respecto a $x$ es $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.8

Multiplica $4$ por $15$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.11

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.12

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.14

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6 + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.15

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6 + 0) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.16

Suma $54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.5.2

Factoriza $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6)) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.5.2.2

Factoriza $x^{2} + 1$ de $- 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6)) + (x^{2} + 1) (- 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.5.2.3

Factoriza $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6)) + (x^{2} + 1) (- 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.1

Factoriza $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.6.2

Cancela el factor común.

Paso 3.6.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.10

Simplifica la expresión.

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Paso 3.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.10.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 3.12

Simplifica la expresión.

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Paso 3.12.1

Multiplica $\frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ por $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + 0$

Paso 3.12.2

Suma $- \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13

Simplifica.

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Paso 3.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) + (- 4 (9 x^{6}) - 4 (15 x^{4}) - 4 (- x^{2}) - 4 (- 6 x) - 4 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.13.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.13.3.1.1

Expande $(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (54 x^{5}) + x^{2} (60 x^{3}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.3.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} x^{5} + x^{2} (60 x^{3}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{5}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.3.1.2.2.1

Mueve $x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (x^{5} x^{2}) + x^{2} (60 x^{3}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{5 + 2} + x^{2} (60 x^{3}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.2.2.3

Suma $5$ y $2$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + x^{2} (60 x^{3}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.2.4

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.3.1.2.4.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.2.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{3 + 2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.2.4.3

Suma $3$ y $2$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.2.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.2.6

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.3.1.2.6.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.2.6.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.3.1.2.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

Paso 3.13.3.1.2.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.2.6.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.2.7

Mueve $- 6$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} - 6 \cdot x^{2} + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.2.8

Multiplica $54 x^{5}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 54 x^{5} + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.2.9

Multiplica $60 x^{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 54 x^{5} + 60 x^{3} + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.2.10

Multiplica $- 2 x$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.2.11

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.3

Suma $60 x^{5}$ y $54 x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 60 x^{3} - 2 x - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.4

Suma $- 2 x^{3}$ y $60 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.5

Multiplica $x^{6}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 4 (9 (x \cdot x^{6})) - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x^{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.3.1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 4 (9 (x \cdot x^{6})) - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 4 (9 x^{1 + 6}) - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.5.3

Suma $1$ y $6$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 4 (9 x^{7}) - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.6

Multiplica $9$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.7

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.3.1.7.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 4 (15 (x \cdot x^{4})) - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.7.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.3.1.7.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 4 (15 (x \cdot x^{4})) - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 4 (15 x^{1 + 4}) - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.7.3

Suma $1$ y $4$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 4 (15 x^{5}) - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.8

Multiplica $15$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.9

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.3.1.9.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 4 (- (x \cdot x^{2})) - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.9.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.3.1.9.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 4 (- (x \cdot x^{2})) - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.9.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 4 (- x^{1 + 2}) - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.9.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 4 (- x^{3}) - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.10

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 4 x^{3} - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.11

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.3.1.11.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 4 x^{3} - 4 (- 6 (x \cdot x)) - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.11.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 4 x^{3} - 4 (- 6 x^{2}) - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.12

Multiplica $- 6$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 4 x^{3} + 24 x^{2} - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.1.13

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 4 x^{3} + 24 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.2

Resta $36 x^{7}$ de $54 x^{7}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 60 x^{5} + 4 x^{3} + 24 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.3

Resta $60 x^{5}$ de $114 x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{7} + 54 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 + 4 x^{3} + 24 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.4

Suma $58 x^{3}$ y $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{7} + 54 x^{5} + 62 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 + 24 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.5

Suma $- 6 x^{2}$ y $24 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{7} + 54 x^{5} + 62 x^{3} + 18 x^{2} - 2 x - 6 - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3.6

Resta $4 x$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{7} + 54 x^{5} + 62 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.4

Factoriza $2$ de $18 x^{7} + 54 x^{5} + 62 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x - 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.4.1

Factoriza $2$ de $18 x^{7}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 54 x^{5} + 62 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.4.2

Factoriza $2$ de $54 x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5}) + 62 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.4.3

Factoriza $2$ de $62 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5}) + 2 (31 x^{3}) + 18 x^{2} - 6 x - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.4.4

Factoriza $2$ de $18 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5}) + 2 (31 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) - 6 x - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.4.5

Factoriza $2$ de $- 6 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5}) + 2 (31 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (- 3 x) - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.4.6

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5}) + 2 (31 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.4.7

Factoriza $2$ de $2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7} + 27 x^{5}) + 2 (31 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.4.8

Factoriza $2$ de $2 (9 x^{7} + 27 x^{5}) + 2 (31 x^{3})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.4.9

Factoriza $2$ de $2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3}) + 2 (9 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.4.10

Factoriza $2$ de $2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (- 3 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3} + 9 x^{2} - 3 x) + 2 (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13.4.11

Factoriza $2$ de $2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3} + 9 x^{2} - 3 x) + 2 (- 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3} + 9 x^{2} - 3 x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x] - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.2.2

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{5}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.2.4

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.2.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.2.7

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.2.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - \frac{d}{d x} [x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1 \cdot 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.2.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.2.11

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.2.13

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.2.14

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.2.14.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.2.14.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - 2 (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3

Simplifica.

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Paso 5.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) + (- 2 (- 3 x^{5}) - 2 (3 x^{2}) - 2 (- x)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.3.3.1.1

Expande $(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{x^{2} (- 15 x^{4}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.3.3.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 15 x^{2} x^{4} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.3.3.1.2.2.1

Mueve $x^{4}$ .

$\frac{- 15 (x^{4} x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 15 x^{4 + 2} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.2.2.3

Suma $4$ y $2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.2.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.3.3.1.2.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.2.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 5.1.3.3.1.2.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.2.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.2.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - 1 \cdot x^{2} + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.2.6

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.2.7

Multiplica $- 15 x^{4}$ por $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.2.8

Multiplica $6 x$ por $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.3

Multiplica $x^{5}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.3.3.1.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 (x \cdot x^{5})) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{5}$ .

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Paso 5.1.3.3.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 (x^{1} x^{5})) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{1 + 5}) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.3.3

Suma $1$ y $5$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{6}) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.3.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 (x \cdot x^{2})) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 5.1.3.3.1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 (x^{1} x^{2})) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{1 + 2}) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{3}) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.6

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.7

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.3.3.1.7.1

Mueve $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- (x \cdot x))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.7.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.8

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.2

Combina los términos opuestos en $- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Paso 5.1.3.3.2.1

Resta $6 x^{3}$ de $6 x^{3}$ .

$\frac{- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} + 0 + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.2.2

Suma $- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6}$ y $0$ .

$\frac{- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.3

Suma $- 15 x^{6}$ y $6 x^{6}$ .

$\frac{- 9 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.4

Suma $- x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$\frac{- 9 x^{6} + x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.4

Reordena los términos.

$\frac{- 9 x^{6} - 15 x^{4} + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.5

Factoriza $- 1$ de $- 9 x^{6}$ .

$\frac{- (9 x^{6}) - 15 x^{4} + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.6

Factoriza $- 1$ de $- 15 x^{4}$ .

$\frac{- (9 x^{6}) - (15 x^{4}) + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.7

Factoriza $- 1$ de $- (9 x^{6}) - (15 x^{4})$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4}) + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.8

Factoriza $- 1$ de $x^{2}$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.9

Factoriza $- 1$ de $- (9 x^{6} + 15 x^{4}) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.10

Factoriza $- 1$ de $6 x$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) - (- 6 x) - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.11

Factoriza $- 1$ de $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) - (- 6 x)$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.12

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.13

Factoriza $- 1$ de $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.14

Reescribe $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)$ como $- 1 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.3.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Paso 6.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x \approx 0.16402146, 0.64778788$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0.16402146, 0.64778788$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 0.16402146$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{2 (9 {(0.16402146)}^{7} + 27 {(0.16402146)}^{5} + 31 {(0.16402146)}^{3} + 9 {(0.16402146)}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({(0.16402146)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.1

Eleva $0.16402146$ a la potencia de $7$ .

$- \frac{2 (9 \cdot 0.00000319 + 27 \cdot {0.16402146}^{5} + 31 \cdot {0.16402146}^{3} + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 10.1.2

Multiplica $9$ por $0.00000319$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 27 \cdot {0.16402146}^{5} + 31 \cdot {0.16402146}^{3} + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 10.1.3

Eleva $0.16402146$ a la potencia de $5$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 27 \cdot 0.00011871 + 31 \cdot {0.16402146}^{3} + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 10.1.4

Multiplica $27$ por $0.00011871$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 31 \cdot {0.16402146}^{3} + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 10.1.5

Eleva $0.16402146$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 31 \cdot 0.00441267 + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 10.1.6

Multiplica $31$ por $0.00441267$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 0.13679296 + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 10.1.7

Eleva $0.16402146$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 0.13679296 + 9 \cdot 0.02690304 - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 10.1.8

Multiplica $9$ por $0.02690304$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 0.13679296 + 0.24212737 - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 10.1.9

Multiplica $- 3$ por $0.16402146$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 0.13679296 + 0.24212737 - 0.4920644 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 10.1.10

Suma $0.00002874$ y $0.00320528$ .

$- \frac{2 (0.00323403 + 0.13679296 + 0.24212737 - 0.4920644 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 10.1.11

Suma $0.00323403$ y $0.13679296$ .

$- \frac{2 (0.140027 + 0.24212737 - 0.4920644 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 10.1.12

Suma $0.140027$ y $0.24212737$ .

$- \frac{2 (0.38215438 - 0.4920644 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 10.1.13

Resta $0.4920644$ de $0.38215438$ .

$- \frac{2 (- 0.10991002 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 10.1.14

Resta $3$ de $- 0.10991002$ .

$- \frac{2 \cdot - 3.10991002}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 10.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.1

Eleva $0.16402146$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 3.10991002}{{(0.02690304 + 1)}^{3}}$

Paso 10.2.2

Suma $0.02690304$ y $1$ .

$- \frac{2 \cdot - 3.10991002}{{1.02690304}^{3}}$

Paso 10.2.3

Eleva $1.02690304$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{2 \cdot - 3.10991002}{1.08289991}$

Paso 10.3

Simplifica la expresión.

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Paso 10.3.1

Multiplica $2$ por $- 3.10991002$ .

$- \frac{- 6.21982004}{1.08289991}$

Paso 10.3.2

Divide $- 6.21982004$ por $1.08289991$ .

$- - 5.74367024$

Paso 10.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 5.74367024$ .

$5.74367024$

Paso 11

$x = 0.16402146$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 0.16402146$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 0.16402146$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.16402146$ en la expresión.

$f (0.16402146) = \frac{- 3 {(0.16402146)}^{5} + 3 {(0.16402146)}^{2} - (0.16402146)}{{(0.16402146)}^{2} + 1}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.1

Eleva $0.16402146$ a la potencia de $5$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 3 \cdot 0.00011871 + 3 \cdot {0.16402146}^{2} - (0.16402146)}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Paso 12.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $0.00011871$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.00035614 + 3 \cdot {0.16402146}^{2} - (0.16402146)}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Paso 12.2.1.3

Eleva $0.16402146$ a la potencia de $2$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.00035614 + 3 \cdot 0.02690304 - (0.16402146)}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Paso 12.2.1.4

Multiplica $3$ por $0.02690304$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.00035614 + 0.08070912 - (0.16402146)}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Paso 12.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $0.16402146$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.00035614 + 0.08070912 - 0.16402146}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Paso 12.2.1.6

Suma $- 0.00035614$ y $0.08070912$ .

$f (0.16402146) = \frac{0.08035298 - 0.16402146}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Paso 12.2.1.7

Resta $0.16402146$ de $0.08035298$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.08366848}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Paso 12.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.2.1

Eleva $0.16402146$ a la potencia de $2$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.08366848}{0.02690304 + 1}$

Paso 12.2.2.2

Suma $0.02690304$ y $1$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.08366848}{1.02690304}$

Paso 12.2.3

Divide $- 0.08366848$ por $1.02690304$ .

$f (0.16402146) = - 0.08147651$

Paso 12.2.4

La respuesta final es $- 0.08147651$ .

$y = - 0.08147651$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = 0.64778788$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{2 (9 {(0.64778788)}^{7} + 27 {(0.64778788)}^{5} + 31 {(0.64778788)}^{3} + 9 {(0.64778788)}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({(0.64778788)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Simplifica el numerador.

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Paso 14.1.1

Eleva $0.64778788$ a la potencia de $7$ .

$- \frac{2 (9 \cdot 0.04786628 + 27 \cdot {0.64778788}^{5} + 31 \cdot {0.64778788}^{3} + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 14.1.2

Multiplica $9$ por $0.04786628$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 27 \cdot {0.64778788}^{5} + 31 \cdot {0.64778788}^{3} + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 14.1.3

Eleva $0.64778788$ a la potencia de $5$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 27 \cdot 0.11406806 + 31 \cdot {0.64778788}^{3} + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 14.1.4

Multiplica $27$ por $0.11406806$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 31 \cdot {0.64778788}^{3} + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 14.1.5

Eleva $0.64778788$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 31 \cdot 0.27183067 + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 14.1.6

Multiplica $31$ por $0.27183067$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 8.42675077 + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 14.1.7

Eleva $0.64778788$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 8.42675077 + 9 \cdot 0.41962913 - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 14.1.8

Multiplica $9$ por $0.41962913$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 8.42675077 + 3.77666224 - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 14.1.9

Multiplica $- 3$ por $0.64778788$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 8.42675077 + 3.77666224 - 1.94336364 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 14.1.10

Suma $0.43079657$ y $3.07983788$ .

$- \frac{2 (3.51063445 + 8.42675077 + 3.77666224 - 1.94336364 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 14.1.11

Suma $3.51063445$ y $8.42675077$ .

$- \frac{2 (11.93738522 + 3.77666224 - 1.94336364 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 14.1.12

Suma $11.93738522$ y $3.77666224$ .

$- \frac{2 (15.71404747 - 1.94336364 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 14.1.13

Resta $1.94336364$ de $15.71404747$ .

$- \frac{2 (13.77068382 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 14.1.14

Resta $3$ de $13.77068382$ .

$- \frac{2 \cdot 10.77068382}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 14.2

Simplifica el denominador.

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Paso 14.2.1

Eleva $0.64778788$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{2 \cdot 10.77068382}{{(0.41962913 + 1)}^{3}}$

Paso 14.2.2

Suma $0.41962913$ y $1$ .

$- \frac{2 \cdot 10.77068382}{{1.41962913}^{3}}$

Paso 14.2.3

Eleva $1.41962913$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{2 \cdot 10.77068382}{2.86104516}$

Paso 14.3

Simplifica la expresión.

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Paso 14.3.1

Multiplica $2$ por $10.77068382$ .

$- \frac{21.54136765}{2.86104516}$

Paso 14.3.2

Divide $21.54136765$ por $2.86104516$ .

$- 1 \cdot 7.52919523$

Paso 14.3.3

Multiplica $- 1$ por $7.52919523$ .

$- 7.52919523$

Paso 15

$x = 0.64778788$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0.64778788$ es un máximo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = 0.64778788$ .

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Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.64778788$ en la expresión.

$f (0.64778788) = \frac{- 3 {(0.64778788)}^{5} + 3 {(0.64778788)}^{2} - (0.64778788)}{{(0.64778788)}^{2} + 1}$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

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Paso 16.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1.1

Eleva $0.64778788$ a la potencia de $5$ .

$f (0.64778788) = \frac{- 3 \cdot 0.11406806 + 3 \cdot {0.64778788}^{2} - (0.64778788)}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Paso 16.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $0.11406806$ .

$f (0.64778788) = \frac{- 0.3422042 + 3 \cdot {0.64778788}^{2} - (0.64778788)}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Paso 16.2.1.3

Eleva $0.64778788$ a la potencia de $2$ .

$f (0.64778788) = \frac{- 0.3422042 + 3 \cdot 0.41962913 - (0.64778788)}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Paso 16.2.1.4

Multiplica $3$ por $0.41962913$ .

$f (0.64778788) = \frac{- 0.3422042 + 1.25888741 - (0.64778788)}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Paso 16.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $0.64778788$ .

$f (0.64778788) = \frac{- 0.3422042 + 1.25888741 - 0.64778788}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Paso 16.2.1.6

Suma $- 0.3422042$ y $1.25888741$ .

$f (0.64778788) = \frac{0.9166832 - 0.64778788}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Paso 16.2.1.7

Resta $0.64778788$ de $0.9166832$ .

$f (0.64778788) = \frac{0.26889532}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Paso 16.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 16.2.2.1

Eleva $0.64778788$ a la potencia de $2$ .

$f (0.64778788) = \frac{0.26889532}{0.41962913 + 1}$

Paso 16.2.2.2

Suma $0.41962913$ y $1$ .

$f (0.64778788) = \frac{0.26889532}{1.41962913}$

Paso 16.2.3

Divide $0.26889532$ por $1.41962913$ .

$f (0.64778788) = 0.18941237$

Paso 16.2.4

La respuesta final es $0.18941237$ .

$y = 0.18941237$

Paso 17

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x}{x^{2} + 1}$ .

$(0.16402146, - 0.08147651)$ es un mínimo local

$(0.64778788, 0.18941237)$ es un máximo local

Paso 18