Cálculo Ejemplos

$y = \frac{11 x}{1 + 0.25 x^{2}}$

Paso 1

Escribe $y = \frac{11 x}{1 + 0.25 x^{2}}$ como una función.

$f (x) = \frac{11 x}{1 + 0.25 x^{2}}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{11 x}{1 + 0.25 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $11 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}}]$ .

$11 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 1 + 0.25 x^{2}$ .

$11 \frac{(1 + 0.25 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$11 \frac{(1 + 0.25 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.3.2

Multiplica $1 + 0.25 x^{2}$ por $1$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 0.25 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.3.6

Como $0.25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0.25 x^{2}$ con respecto a $x$ es $0.25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0.25 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.3.7

Multiplica $0.25$ por $- 1$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x (2 x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.3.9

Multiplica $2$ por $- 0.25$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x \cdot x}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x^{1} x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{1 + 1}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.7

Suma $1$ y $1$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.8

Resta $0.5 x^{2}$ de $0.25 x^{2}$ .

$11 \frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.9

Combina $11$ y $\frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{11 (1 - 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.10

Simplifica.

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Paso 2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{11 \cdot 1 + 11 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.10.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.10.2.1

Multiplica $11$ por $1$ .

$\frac{11 + 11 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.10.2.2

Multiplica $- 0.25$ por $11$ .

$\frac{11 - 2.75 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.10.3

Reordena los términos.

$\frac{- 2.75 x^{2} + 11}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.10.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.4.1

Factoriza $2.75$ de $- 2.75 x^{2} + 11$ .

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Paso 2.10.4.1.1

Factoriza $2.75$ de $- 2.75 x^{2}$ .

$\frac{2.75 (- x^{2}) + 11}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.10.4.1.2

Factoriza $2.75$ de $11$ .

$\frac{2.75 (- x^{2}) + 2.75 (4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.10.4.1.3

Factoriza $2.75$ de $2.75 (- x^{2}) + 2.75 (4)$ .

$\frac{2.75 (- x^{2} + 4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.10.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2.75 (- x^{2} + 2^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.10.4.3

Reordena $- x^{2}$ y $2^{2}$ .

$\frac{2.75 (2^{2} - x^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.10.4.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2$ y $b = x$ .

$\frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.10.5

Simplifica el denominador.

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Paso 2.10.5.1

Factoriza $0.25$ de $0.25 x^{2} + 1$ .

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Paso 2.10.5.1.1

Factoriza $0.25$ de $0.25 x^{2}$ .

$\frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2}) + 1)}^{2}}$

Paso 2.10.5.1.2

Factoriza $0.25$ de $1$ .

$\frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4)}^{2}}$

Paso 2.10.5.1.3

Factoriza $0.25$ de $0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4$ .

$\frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2} + 4))}^{2}}$

Paso 2.10.5.2

Aplica la regla del producto a $0.25 (x^{2} + 4)$ .

$\frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{0.25}^{2} {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 2.10.5.3

Eleva $0.25$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 2.10.6

Factoriza $2.75$ de $2.75 (2 + x) (2 - x)$ .

$\frac{2.75 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 2.10.7

Factoriza $0.0625$ de $0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$\frac{2.75 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 ({(x^{2} + 4)}^{2})}$

Paso 2.10.8

Separa las fracciones.

$\frac{2.75}{0.0625} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 2.10.9

Divide $2.75$ por $0.0625$ .

$44 \frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 2.10.10

Combina $44$ y $\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Como $44$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $44 \frac{d}{d x} [\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 44 \frac{d}{d x} (\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Paso 3.2

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 + x) (2 - x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}})$

Paso 3.3

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 + x) (2 - x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2 \cdot 2}})$

Paso 3.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 + x) (2 - x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 3.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 2 + x$ y $g (x) = 2 - x$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) \frac{d}{d x} (2 - x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 3.5

Diferencia.

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Paso 3.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- x)) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 3.5.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 3.5.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) \frac{d}{d x} (- x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 3.5.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (- \frac{d}{d x} x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 3.5.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (- 1 \cdot 1) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 3.5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) \cdot - 1 + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 3.5.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $2 + x$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 1 \cdot (2 + x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 3.5.6.3

Reescribe $- 1 (2 + x)$ como $- (2 + x)$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 3.5.7

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (x))) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 3.5.8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) (0 + \frac{d}{d x} (x))) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 3.5.9

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 3.5.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) \cdot 1) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 3.5.11

Multiplica $2 - x$ por $1$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 4$ .

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Paso 3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) (2 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 3.7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.7.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 3.7.2

Factoriza $x^{2} + 4$ de ${(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ .

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Paso 3.7.2.1

Factoriza $x^{2} + 4$ de ${(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x)$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x)) - 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 3.7.2.2

Factoriza $x^{2} + 4$ de $- 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x)) + (x^{2} + 4) (- 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 3.7.2.3

Factoriza $x^{2} + 4$ de $(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x)) + (x^{2} + 4) (- 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]))$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 3.8

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.8.1

Factoriza $x^{2} + 4$ de ${(x^{2} + 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.8.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.8.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.11

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.12

Combina fracciones.

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Paso 3.12.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.12.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.12.3

Combina $44$ y $\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- 1 \cdot 2 - x + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- 1 \cdot 2 - x + 2 - x) + (- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- 1 \cdot 2 - x + 2 - x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- 2 - x + 2 - x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.2

Combina los términos opuestos en $- 2 - x + 2 - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.4.1.2.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- x + 0 - x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.2.2

Suma $- x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- x - x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.3

Resta $x$ de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- 2 x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{44 (x^{2} (- 2 x) + 4 (- 2 x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 x^{2} x + 4 (- 2 x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.6

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 x^{2} x - 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.4.1.7.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 (x \cdot x^{2}) - 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.7.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.4.1.7.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 (x \cdot x^{2}) - 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 x^{1 + 2} - 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.7.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 x^{3} - 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 x^{3}) + 44 (- 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.9

Multiplica $- 2$ por $44$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} + 44 (- 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.10

Multiplica $- 8$ por $44$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.11

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 8 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.12

Expande $(- 8 - 4 x) (2 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.4.1.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 8 (2 - x) - 4 x (2 - x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 8 \cdot 2 - 8 (- x) - 4 x (2 - x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 8 \cdot 2 - 8 (- x) - 4 x \cdot 2 - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.13

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.13.4.1.13.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.4.1.13.1.1

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 - 8 (- x) - 4 x \cdot 2 - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.13.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 8 x - 4 x \cdot 2 - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.13.1.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.13.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 \cdot (- 1 x \cdot x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.13.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.13.4.1.13.1.5.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 \cdot (- 1 (x \cdot x))) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.13.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 \cdot (- 1 x^{2})) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.13.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 8 x - 8 x + 4 x^{2}) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.13.2

Resta $8 x$ de $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 0 + 4 x^{2}) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.13.3

Suma $- 16$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 4 x^{2}) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.14

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 (- 16 x + 4 x^{2} x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.15

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.13.4.1.15.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 (- 16 x + 4 (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.15.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.13.4.1.15.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 (- 16 x + 4 (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.15.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 (- 16 x + 4 x^{1 + 2})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.15.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 (- 16 x + 4 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.16

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 (- 16 x) + 44 (4 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.17

Multiplica $- 16$ por $44$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x - 704 x + 44 (4 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.1.18

Multiplica $4$ por $44$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x - 704 x + 176 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.2

Suma $- 88 x^{3}$ y $176 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{88 x^{3} - 352 x - 704 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.4.3

Resta $704 x$ de $- 352 x$ .

$f'' (x) = \frac{88 x^{3} - 1056 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.5

Factoriza $88 x$ de $88 x^{3} - 1056 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.5.1

Factoriza $88 x$ de $88 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{88 x (x^{2}) - 1056 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.5.2

Factoriza $88 x$ de $- 1056 x$ .

$f'' (x) = \frac{88 x (x^{2}) + 88 x (- 12)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 3.13.5.3

Factoriza $88 x$ de $88 x (x^{2}) + 88 x (- 12)$ .

$f'' (x) = \frac{88 x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Como $11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{11 x}{1 + 0.25 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $11 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}}]$ .

$f' (x) = 11 \frac{d}{d x} (\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}})$

Paso 5.1.2

$f' (x) = 11 (\frac{(1 + 0.25 x^{2}) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (1 + 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Paso 5.1.3

Diferencia.

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Paso 5.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 11 (\frac{(1 + 0.25 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (1 + 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Paso 5.1.3.2

Multiplica $1 + 0.25 x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} (1 + 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Paso 5.1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 0.25 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (0.25 x^{2}))}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Paso 5.1.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} (0.25 x^{2}))}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Paso 5.1.3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} (0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Paso 5.1.3.6

Como $0.25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0.25 x^{2}$ con respecto a $x$ es $0.25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0.25 \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Paso 5.1.3.7

Multiplica $0.25$ por $- 1$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x \frac{d}{d x} x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Paso 5.1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x (2 x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Paso 5.1.3.9

Multiplica $2$ por $- 0.25$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x \cdot x}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Paso 5.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x \cdot x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Paso 5.1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x \cdot x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Paso 5.1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{1 + 1}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Paso 5.1.7

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Paso 5.1.8

Resta $0.5 x^{2}$ de $0.25 x^{2}$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Paso 5.1.9

Combina $11$ y $\frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{11 (1 - 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Paso 5.1.10

Simplifica.

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Paso 5.1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{11 \cdot 1 + 11 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Paso 5.1.10.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.10.2.1

Multiplica $11$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{11 + 11 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Paso 5.1.10.2.2

Multiplica $- 0.25$ por $11$ .

$f' (x) = \frac{11 - 2.75 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Paso 5.1.10.3

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{- 2.75 x^{2} + 11}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.10.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.10.4.1

Factoriza $2.75$ de $- 2.75 x^{2} + 11$ .

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Paso 5.1.10.4.1.1

Factoriza $2.75$ de $- 2.75 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (- x^{2}) + 11}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.10.4.1.2

Factoriza $2.75$ de $11$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (- x^{2}) + 2.75 (4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.10.4.1.3

Factoriza $2.75$ de $2.75 (- x^{2}) + 2.75 (4)$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (- x^{2} + 4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.10.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (- x^{2} + 2^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.10.4.3

Reordena $- x^{2}$ y $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (2^{2} - x^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.10.4.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2$ y $b = x$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.10.5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1.10.5.1

Factoriza $0.25$ de $0.25 x^{2} + 1$ .

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Paso 5.1.10.5.1.1

Factoriza $0.25$ de $0.25 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2}) + 1)}^{2}}$

Paso 5.1.10.5.1.2

Factoriza $0.25$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4)}^{2}}$

Paso 5.1.10.5.1.3

Factoriza $0.25$ de $0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2} + 4))}^{2}}$

Paso 5.1.10.5.2

Aplica la regla del producto a $0.25 (x^{2} + 4)$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{0.25}^{2} {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 5.1.10.5.3

Eleva $0.25$ a la potencia de $2$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 5.1.10.6

Factoriza $2.75$ de $2.75 (2 + x) (2 - x)$ .

$f' (x) = \frac{2.75 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 5.1.10.7

Factoriza $0.0625$ de $0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2.75 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 ({(x^{2} + 4)}^{2})}$

Paso 5.1.10.8

Separa las fracciones.

$f' (x) = \frac{2.75}{0.0625} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 5.1.10.9

Divide $2.75$ por $0.0625$ .

$f' (x) = 44 (\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Paso 5.1.10.10

Combina $44$ y $\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Paso 6.2

Establece el numerador igual a cero.

$44 (2 + x) (2 - x) = 0$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 6.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Paso 6.3.2

Establece $2 + x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.3.2.1

Establece $2 + x$ igual a $0$ .

$2 + x = 0$

Paso 6.3.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 6.3.3

Establece $2 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1

Establece $2 - x$ igual a $0$ .

$2 - x = 0$

Paso 6.3.3.2

Resuelve $2 - x = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 2$

Paso 6.3.3.2.2

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.3.3.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 6.3.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 6.3.3.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 6.3.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Paso 6.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $44 (2 + x) (2 - x) = 0$ verdadera.

$x = - 2, 2$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = - 2, 2$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = - 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{88 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 12)}{{({(- 2)}^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Multiplica $88$ por $- 2$ .

$\frac{- 176 ({(- 2)}^{2} - 12)}{{({(- 2)}^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 10.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 176 ({(- 2)}^{2} - 12)}{{(4 + 4)}^{3}}$

Paso 10.2.2

Suma $4$ y $4$ .

$\frac{- 176 ({(- 2)}^{2} - 12)}{8^{3}}$

Paso 10.2.3

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$\frac{- 176 ({(- 2)}^{2} - 12)}{512}$

Paso 10.3

Simplifica el numerador.

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Paso 10.3.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 176 (4 - 12)}{512}$

Paso 10.3.2

Resta $12$ de $4$ .

$\frac{- 176 \cdot - 8}{512}$

Paso 10.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 10.4.1

Multiplica $- 176$ por $- 8$ .

$\frac{1408}{512}$

Paso 10.4.2

Cancela el factor común de $1408$ y $512$ .

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Paso 10.4.2.1

Factoriza $128$ de $1408$ .

$\frac{128 (11)}{512}$

Paso 10.4.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.2.2.1

Factoriza $128$ de $512$ .

$\frac{128 \cdot 11}{128 \cdot 4}$

Paso 10.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{128 \cdot 11}{128 \cdot 4}$

Paso 10.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{11}{4}$

Paso 11

$x = - 2$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - 2$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = - 2$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = \frac{11 (- 2)}{1 + 0.25 {(- 2)}^{2}}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Multiplica $11$ por $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 22}{1 + 0.25 {(- 2)}^{2}}$

Paso 12.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 12.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 22}{1 + 0.25 \cdot 4}$

Paso 12.2.2.2

Multiplica $0.25$ por $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 22}{1 + 1}$

Paso 12.2.2.3

Suma $1$ y $1$ .

$f (- 2) = \frac{- 22}{2}$

Paso 12.2.3

Divide $- 22$ por $2$ .

$f (- 2) = - 11$

Paso 12.2.4

La respuesta final es $- 11$ .

$y = - 11$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{88 (2) ({(2)}^{2} - 12)}{{({(2)}^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Multiplica $88$ por $2$ .

$\frac{176 (2^{2} - 12)}{{(2^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 14.2

Simplifica el denominador.

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Paso 14.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{176 (2^{2} - 12)}{{(4 + 4)}^{3}}$

Paso 14.2.2

Suma $4$ y $4$ .

$\frac{176 (2^{2} - 12)}{8^{3}}$

Paso 14.2.3

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$\frac{176 (2^{2} - 12)}{512}$

Paso 14.3

Simplifica el numerador.

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Paso 14.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{176 (4 - 12)}{512}$

Paso 14.3.2

Resta $12$ de $4$ .

$\frac{176 \cdot - 8}{512}$

Paso 14.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 14.4.1

Multiplica $176$ por $- 8$ .

$\frac{- 1408}{512}$

Paso 14.4.2

Cancela el factor común de $- 1408$ y $512$ .

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Paso 14.4.2.1

Factoriza $128$ de $- 1408$ .

$\frac{128 (- 11)}{512}$

Paso 14.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.4.2.2.1

Factoriza $128$ de $512$ .

$\frac{128 \cdot - 11}{128 \cdot 4}$

Paso 14.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{128 \cdot - 11}{128 \cdot 4}$

Paso 14.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 11}{4}$

Paso 14.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{11}{4}$

Paso 15

$x = 2$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 2$ es un máximo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = 2$ .

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Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \frac{11 (2)}{1 + 0.25 {(2)}^{2}}$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1

Multiplica $11$ por $2$ .

$f (2) = \frac{22}{1 + 0.25 \cdot 2^{2}}$

Paso 16.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = \frac{22}{1 + 0.25 \cdot 4}$

Paso 16.2.2.2

Multiplica $0.25$ por $4$ .

$f (2) = \frac{22}{1 + 1}$

Paso 16.2.2.3

Suma $1$ y $1$ .

$f (2) = \frac{22}{2}$

Paso 16.2.3

Divide $22$ por $2$ .

$f (2) = 11$

Paso 16.2.4

La respuesta final es $11$ .

$y = 11$

Paso 17

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{11 x}{1 + 0.25 x^{2}}$ .

$(- 2, - 11)$ es un mínimo local

$(2, 11)$ es un máximo local

Paso 18