Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{x + 1}$

Paso 1

Escribe $y = \frac{1}{x + 1}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reescribe $\frac{1}{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 1}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$- {(x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- {(x + 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(x + 1)}^{- 2} (1 + 0)$

Paso 2.3.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$- {(x + 1)}^{- 2} \cdot 1$

Paso 2.3.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- {(x + 1)}^{- 2}$

Paso 2.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ como ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(x + 1)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{- 2} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = x + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$f'' (x) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 ({(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (1)) + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 1)}^{- 3} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 1)}^{- 3} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 3.4.7

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.7.1

Multiplica $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ por $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 1)}^{- 3} + 0$

Paso 3.4.7.2

Suma $2 {(x + 1)}^{- 3}$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 1)}^{- 3}$

Paso 3.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{{(x + 1)}^{3}})$

Paso 3.5.2

Combina $2$ y $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} = 0$

Paso 5

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 6

No hay extremos locales

Paso 7