Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Paso 1

Escribe $y = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} - 4}$ como ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} - 4)}^{1}}$

Paso 2.4

Simplifica.

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} - 4}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} - 4}$

Paso 2.5.2

Mueve $3$ a la izquierda de ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} - 4}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Paso 2.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 4$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Paso 2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Paso 2.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 4$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Paso 2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Paso 2.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Paso 2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Paso 2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Paso 2.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Paso 2.11

Combina fracciones.

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Paso 2.11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Paso 2.11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{{(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Paso 2.11.3

Mueve ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Paso 2.11.4

Combina $\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{3}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{x^{2} - 4}$

Paso 2.12

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{x^{2} - 4}$

Paso 2.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{x^{2} - 4}$

Paso 2.14

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{x^{2} - 4}$

Paso 2.15

Combina fracciones.

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Paso 2.15.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{x^{2} - 4}$

Paso 2.15.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 2 \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} - 4}$

Paso 2.15.3

Combina $- 2$ y $\frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} - 4}$

Paso 2.15.4

Combina $\frac{- 2 x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 x^{3} x}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 2.16

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 (x^{1} x^{3})}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 2.17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 x^{1 + 3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 2.18

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 x^{4}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 2.19

Factoriza $2$ de $- 2 x^{4}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{2 (- x^{4})}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 2.20

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.20.1

Factoriza $2$ de $2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{2 (- x^{4})}{2 ({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} - 4}$

Paso 2.20.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{2 (- x^{4})}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 2.20.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 2.21

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 2.22

Combina $3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ y $- \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ mediante un denominador común.

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Paso 2.22.1

Mueve ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 2.22.2

Para escribir $3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 2.22.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 2.23

Multiplica ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.23.1

Mueve ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} ({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 2.23.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 2.23.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 2.23.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{2}} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 2.23.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{1} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 2.24

Simplifica $3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{1}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 2.25

Reescribe $\frac{\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$ como un producto.

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 4}$

Paso 2.26

Multiplica $\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x^{2} - 4}$ .

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 4)}$

Paso 2.27

Multiplica ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} - 4$ sumando los exponentes.

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Paso 2.27.1

Multiplica ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} - 4$ .

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Paso 2.27.1.1

Eleva $x^{2} - 4$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4)}^{1}}$

Paso 2.27.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Paso 2.27.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 2.27.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 2.27.4

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.28

Simplifica.

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Paso 2.28.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot - 4 - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.28.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.28.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.28.2.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.28.2.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 4 - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.28.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} \cdot - 4 - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.28.2.1.1.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot - 4 - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.28.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$\frac{3 x^{4} - 12 x^{2} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.28.2.2

Resta $x^{4}$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{2 x^{4} - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.28.3

Factoriza $2 x^{2}$ de $2 x^{4} - 12 x^{2}$ .

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Paso 2.28.3.1

Factoriza $2 x^{2}$ de $2 x^{4}$ .

$\frac{2 x^{2} (x^{2}) - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.28.3.2

Factoriza $2 x^{2}$ de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (- 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.28.3.3

Factoriza $2 x^{2}$ de $2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (- 6)$ .

$\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}})$

Paso 3.2

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 6)) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{({(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}})}^{2}})$

Paso 3.3

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 6)) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}})$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 6)) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}})$

Paso 3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 6)) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} - 6$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.5

Diferencia.

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Paso 3.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6)) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 6)) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.5.3

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.5.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} (2 x) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.6

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.6.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.6.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.6.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.7.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot x^{3} + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + (x^{2} - 6) (2 x)) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.7.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} - 6$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 \cdot ((x^{2} - 6) x)) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ y $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Paso 3.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.8.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.9

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.10

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.12

Simplifica el numerador.

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Paso 3.12.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.12.2

Resta $2$ de $3$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.13

Combina fracciones.

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Paso 3.13.1

Combina $\frac{3}{2}$ y ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.13.2

Combina $\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} \cdot (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.14

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.16

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.17

Combina fracciones.

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Paso 3.17.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (2 x))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.17.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - 2 \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} \cdot ((x^{2} - 6) x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.17.3

Combina $- 2$ y $\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{- 2 (3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} \cdot ((x^{2} - 6) x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.17.4

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{- 6 ({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} \cdot ((x^{2} - 6) x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.17.5

Combina $x$ y $\frac{- 6 ({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{x (- 6 ({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}))}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.18

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{x^{2} x (- 6 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.19

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{x^{2 + 1} (- 6 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.20

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{x^{3} (- 6 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.21

Factoriza $2$ de $x^{3} (- 6 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{2 (x^{3} (- 3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.22

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.22.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{2 (x^{3} (- 3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1)} \cdot (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.22.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{2 (x^{3} (- 3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot 1} \cdot (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.22.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{x^{3} (- 3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}{1} \cdot (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.22.4

Divide $x^{3} (- 3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + x^{3} (- 3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.23

Factoriza ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + x^{3} (- 3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}) (x^{2} - 6)$ .

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Paso 3.23.1

Reordena la expresión.

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Paso 3.23.1.1

Mueve $x^{2} - 6$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) + x^{3} (- 3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.23.1.2

Reordena $x^{3}$ y $- 3$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 \cdot (x^{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 6))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.23.2

Factoriza ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6))$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{2}} (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6))) - 3 \cdot (x^{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 6))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.23.3

Factoriza ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ de $- 3 \cdot x^{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 6)$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{2}} (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6))) + {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (- 3 \cdot (x^{3} (x^{2} - 6)))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.23.4

Factoriza ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{2}} (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6))) + {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (- 3 \cdot x^{3} (x^{2} - 6))$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{2}} (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 \cdot (x^{3} (x^{2} - 6)))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.24

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.24.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{2}} (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 \cdot (x^{3} (x^{2} - 6)))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.24.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 \cdot (x^{3} (x^{2} - 6)))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.25

Simplifica.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 \cdot (x^{3} (x^{2} - 6)))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 3.26

Mueve ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}})$

Paso 3.27

Multiplica ${(x^{2} - 4)}^{3}$ por ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.27.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3 - \frac{1}{2}}})$

Paso 3.27.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}})$

Paso 3.27.3

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}})$

Paso 3.27.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3 \cdot 2 - 1}{2}}})$

Paso 3.27.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.27.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{6 - 1}{2}}})$

Paso 3.27.5.2

Resta $1$ de $6$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}})$

Paso 3.28

Combina $2$ y $\frac{(x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29

Simplifica.

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Paso 3.29.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot - 6) - 3 x^{3} (x^{2} - 6))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot - 6) - 3 x^{3} x^{2} - 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot - 6)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.29.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.29.4.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.29.4.1.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.29.4.1.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 (x^{2} x) + 2 x \cdot - 6)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.29.4.1.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 (x^{2} x) + 2 x \cdot - 6)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot - 6)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 x \cdot - 6)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.1.2

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x^{3} - 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.2

Suma $2 x^{3}$ y $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (4 x^{3} - 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.3

Expande $(x^{2} - 4) (4 x^{3} - 12 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.29.4.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} (4 x^{3} - 12 x) - 4 (4 x^{3} - 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 12 x) - 4 (4 x^{3} - 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 12 x) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.29.4.1.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.29.4.1.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 12 x) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.4.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.29.4.1.4.1.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (- 12 x) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{3 + 2} + x^{2} (- 12 x) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.4.1.2.3

Suma $3$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} + x^{2} (- 12 x) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.4.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} - 12 x^{2} x - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.4.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.29.4.1.4.1.4.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} - 12 (x \cdot x^{2}) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.4.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.29.4.1.4.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} - 12 (x \cdot x^{2}) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.4.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} - 12 x^{1 + 2} - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.4.1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} - 12 x^{3} - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.4.1.5

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} - 12 x^{3} - 16 x^{3} - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.4.1.6

Multiplica $- 12$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} - 12 x^{3} - 16 x^{3} + 48 x) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.4.2

Resta $16 x^{3}$ de $- 12 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} - 28 x^{3} + 48 x) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5}) + 2 (- 28 x^{3}) + 2 (48 x) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.6

Simplifica.

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Paso 3.29.4.1.6.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 2 (- 28 x^{3}) + 2 (48 x) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.6.2

Multiplica $- 28$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 56 x^{3} + 2 (48 x) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.6.3

Multiplica $48$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 56 x^{3} + 96 x + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.7

Multiplica $x^{3}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.29.4.1.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 56 x^{3} + 96 x + 2 (- 3 (x^{2} x^{3})) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 56 x^{3} + 96 x + 2 (- 3 x^{2 + 3}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.7.3

Suma $2$ y $3$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 56 x^{3} + 96 x + 2 (- 3 x^{5}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.8

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 56 x^{3} + 96 x - 6 x^{5} + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.9

Multiplica $- 6$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 56 x^{3} + 96 x - 6 x^{5} + 2 (18 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.1.10

Multiplica $18$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 56 x^{3} + 96 x - 6 x^{5} + 36 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.2

Resta $6 x^{5}$ de $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 56 x^{3} + 96 x + 36 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.4.3

Suma $- 56 x^{3}$ y $36 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 20 x^{3} + 96 x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.5

Factoriza $2 x$ de $2 x^{5} - 20 x^{3} + 96 x$ .

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Paso 3.29.5.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 20 x^{3} + 96 x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.5.2

Factoriza $2 x$ de $- 20 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 10 x^{2}) + 96 x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.5.3

Factoriza $2 x$ de $96 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 10 x^{2}) + 2 x (48)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.5.4

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{4}) + 2 x (- 10 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 10 x^{2}) + 2 x (48)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.29.5.5

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{4} - 10 x^{2}) + 2 x (48)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 10 x^{2} + 48)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} - 4}$ como ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 5.1.2

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} - 4)}^{1}}$

Paso 5.1.4

Simplifica.

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 5.1.5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.5.2

Mueve $3$ a la izquierda de ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Paso 5.1.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 4$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 4$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.10

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.11

Combina fracciones.

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Paso 5.1.11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{{(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.11.3

Mueve ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.11.4

Combina $\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{3}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.12

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.14

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.15

Combina fracciones.

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Paso 5.1.15.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.15.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 2 \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.15.3

Combina $- 2$ y $\frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.15.4

Combina $\frac{- 2 x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 x^{3} x}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.16

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 (x^{1} x^{3})}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 x^{1 + 3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.18

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 x^{4}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.19

Factoriza $2$ de $- 2 x^{4}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{2 (- x^{4})}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.20

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.20.1

Factoriza $2$ de $2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{2 (- x^{4})}{2 ({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.20.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{2 (- x^{4})}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.20.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.21

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.22

Combina $3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ y $- \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ mediante un denominador común.

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Paso 5.1.22.1

Mueve ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.22.2

Para escribir $3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.22.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.23

Multiplica ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.23.1

Mueve ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} ({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.23.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.23.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.23.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{2}} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.23.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{1} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.24

Simplifica $3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{1}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.25

Reescribe $\frac{\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$ como un producto.

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 4}$

Paso 5.1.26

Multiplica $\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x^{2} - 4}$ .

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 4)}$

Paso 5.1.27

Multiplica ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} - 4$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.27.1

Multiplica ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} - 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.27.1.1

Eleva $x^{2} - 4$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4)}^{1}}$

Paso 5.1.27.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Paso 5.1.27.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 5.1.27.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 5.1.27.4

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.1.28

Simplifica.

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Paso 5.1.28.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot - 4 - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.1.28.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.28.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.28.2.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.28.2.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 4 - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.1.28.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} \cdot - 4 - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.1.28.2.1.1.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot - 4 - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.1.28.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$\frac{3 x^{4} - 12 x^{2} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.1.28.2.2

Resta $x^{4}$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{2 x^{4} - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.1.28.3

Factoriza $2 x^{2}$ de $2 x^{4} - 12 x^{2}$ .

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Paso 5.1.28.3.1

Factoriza $2 x^{2}$ de $2 x^{4}$ .

$\frac{2 x^{2} (x^{2}) - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.1.28.3.2

Factoriza $2 x^{2}$ de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (- 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.1.28.3.3

Factoriza $2 x^{2}$ de $2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (- 6)$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 6.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 x^{2} (x^{2} - 6) = 0$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 6.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

Paso 6.3.2

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.3.2.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 6.3.2.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 6.3.2.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 6.3.2.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 6.3.2.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 6.3.2.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 6.3.2.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 6.3.3

Establece $x^{2} - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.3.3.1

Establece $x^{2} - 6$ igual a $0$ .

$x^{2} - 6 = 0$

Paso 6.3.3.2

Resuelve $x^{2} - 6 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.3.3.2.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 6$

Paso 6.3.3.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{6}$

Paso 6.3.3.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.3.3.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{6}$

Paso 6.3.3.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{6}$

Paso 6.3.3.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Paso 6.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x^{2} (x^{2} - 6) = 0$ verdadera.

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Paso 6.4

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ sea verdadera.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}}$

Paso 7.2

Establece el denominador en $\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}} = 0$

Paso 7.3

Resuelve $x$

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Paso 7.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}}^{2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 7.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}$ como ${(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

${({(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Paso 7.3.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x^{2} - 4)}^{3} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

${(x^{2} - 4)}^{3} = 0$

Paso 7.3.3

Resuelve $x$

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Paso 7.3.3.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.3.3.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

${(x^{2} - 2^{2})}^{3} = 0$

Paso 7.3.3.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

${((x + 2) (x - 2))}^{3} = 0$

Paso 7.3.3.1.3

Aplica la regla del producto a $(x + 2) (x - 2)$ .

${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3} = 0$

Paso 7.3.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 2)}^{3} = 0$

${(x - 2)}^{3} = 0$

Paso 7.3.3.3

Establece ${(x + 2)}^{3}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.3.3.3.1

Establece ${(x + 2)}^{3}$ igual a $0$ .

${(x + 2)}^{3} = 0$

Paso 7.3.3.3.2

Resuelve ${(x + 2)}^{3} = 0$ en $x$ .

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Paso 7.3.3.3.2.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 7.3.3.3.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 7.3.3.4

Establece ${(x - 2)}^{3}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.3.3.4.1

Establece ${(x - 2)}^{3}$ igual a $0$ .

${(x - 2)}^{3} = 0$

Paso 7.3.3.4.2

Resuelve ${(x - 2)}^{3} = 0$ en $x$ .

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Paso 7.3.3.4.2.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 7.3.3.4.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 7.3.3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3} = 0$ verdadera.

$x = - 2, 2$

Paso 7.4

Establece el radicando en $\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x^{2} - 4)}^{3} < 0$

Paso 7.5

Resuelve $x$

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Paso 7.5.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt[3]{{(x^{2} - 4)}^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Paso 7.5.2

Simplifica la ecuación.

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Paso 7.5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.5.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$x^{2} - 4 < \sqrt[3]{0}$

Paso 7.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.5.2.2.1

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 7.5.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x^{2} - 4 < \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 7.5.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x^{2} - 4 < 0$

Paso 7.5.3

Suma $4$ a ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} < 4$

Paso 7.5.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{4}$

Paso 7.5.5

Simplifica la ecuación.

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Paso 7.5.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.5.5.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | < \sqrt{4}$

Paso 7.5.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.5.5.2.1

Simplifica $\sqrt{4}$ .

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Paso 7.5.5.2.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$| x | < \sqrt{2^{2}}$

Paso 7.5.5.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | < | 2 |$

Paso 7.5.5.2.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$| x | < 2$

Paso 7.5.6

Escribe $| x | < 2$ como una función definida por partes.

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Paso 7.5.6.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 7.5.6.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x < 2$

Paso 7.5.6.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 7.5.6.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x < 2$

Paso 7.5.6.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x < 2 & x \geq 0 \\ - x < 2 & x < 0 \end{cases}$

Paso 7.5.7

Obtén la intersección de $x < 2$ y $x \geq 0$ .

$0 \leq x < 2$

Paso 7.5.8

Resuelve $- x < 2$ cuando $x < 0$ .

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Paso 7.5.8.1

Divide cada término en $- x < 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 7.5.8.1.1

Divide cada término de $- x < 2$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{2}{- 1}$

Paso 7.5.8.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.5.8.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} > \frac{2}{- 1}$

Paso 7.5.8.1.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x > \frac{2}{- 1}$

Paso 7.5.8.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.5.8.1.3.1

Divide $2$ por $- 1$ .

$x > - 2$

Paso 7.5.8.2

Obtén la intersección de $x > - 2$ y $x < 0$ .

$- 2 < x < 0$

Paso 7.5.9

Obtén la unión de las soluciones.

$- 2 < x < 2$

Paso 7.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$- 2 \leq x \leq 2$

$[- 2, 2]$

$- 2 \leq x \leq 2$

$[- 2, 2]$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = \sqrt{6}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2 (\sqrt{6}) ({(\sqrt{6})}^{4} - 10 {(\sqrt{6})}^{2} + 48)}{{({(\sqrt{6})}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.1

Reescribe ${\sqrt{6}}^{4}$ como $6^{2}$ .

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Paso 10.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{6} ({(6^{\frac{1}{2}})}^{4} - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{6} (6^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\frac{2 \sqrt{6} (6^{\frac{4}{2}} - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.1.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \sqrt{6} (6^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.1.1.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \sqrt{6} (6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.1.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{6} (6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.1.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{6} (6^{\frac{2}{1}} - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.1.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{2 \sqrt{6} (6^{2} - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 \sqrt{6} (36 - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.1.3

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{6} (36 - 10 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6^{1} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.1.3.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6 + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.1.4

Multiplica $- 10$ por $6$ .

$\frac{2 \sqrt{6} (36 - 60 + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.1.5

Resta $60$ de $36$ .

$\frac{2 \sqrt{6} (- 24 + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.1.6

Suma $- 24$ y $48$ .

$\frac{2 \sqrt{6} \cdot 24}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.1.7

Multiplica $24$ por $2$ .

$\frac{48 \sqrt{6}}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{48 \sqrt{6}}{{({(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{48 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{48 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{2}{2}} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{48 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{2}{2}} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{48 \sqrt{6}}{{(6^{1} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.2.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{48 \sqrt{6}}{{(6 - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.2.2

Resta $4$ de $6$ .

$\frac{48 \sqrt{6}}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 11

$x = \sqrt{6}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \sqrt{6}$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = \sqrt{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $\sqrt{6}$ en la expresión.

$f (\sqrt{6}) = \frac{{(\sqrt{6})}^{3}}{\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} - 4}}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.1

Reescribe ${\sqrt{6}}^{3}$ como $\sqrt{6^{3}}$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{\sqrt{6^{3}}}{\sqrt{{\sqrt{6}}^{2} - 4}}$

Paso 12.2.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{\sqrt{216}}{\sqrt{{\sqrt{6}}^{2} - 4}}$

Paso 12.2.1.3

Reescribe $216$ como $6^{2} \cdot 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.3.1

Factoriza $36$ de $216$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{\sqrt{36 (6)}}{\sqrt{{\sqrt{6}}^{2} - 4}}$

Paso 12.2.1.3.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{\sqrt{6^{2} \cdot 6}}{\sqrt{{\sqrt{6}}^{2} - 4}}$

Paso 12.2.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\sqrt{6}) = \frac{6 \sqrt{6}}{\sqrt{{\sqrt{6}}^{2} - 4}}$

Paso 12.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.2.1

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{6 \sqrt{6}}{\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4}}$

Paso 12.2.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{6 \sqrt{6}}{\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4}}$

Paso 12.2.2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{6 \sqrt{6}}{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4}}$

Paso 12.2.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{6}) = \frac{6 \sqrt{6}}{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4}}$

Paso 12.2.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{6}) = \frac{6 \sqrt{6}}{\sqrt{6 - 4}}$

Paso 12.2.2.1.5

Evalúa el exponente.

$f (\sqrt{6}) = \frac{6 \sqrt{6}}{\sqrt{6 - 4}}$

Paso 12.2.2.2

Resta $4$ de $6$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{6 \sqrt{6}}{\sqrt{2}}$

Paso 12.2.3

Combina $\sqrt{6}$ y $\sqrt{2}$ en un solo radical.

$f (\sqrt{6}) = 6 \sqrt{\frac{6}{2}}$

Paso 12.2.4

Divide $6$ por $2$ .

$f (\sqrt{6}) = 6 \sqrt{3}$

Paso 12.2.5

La respuesta final es $6 \sqrt{3}$ .

$y = 6 \sqrt{3}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = - \sqrt{6}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2 (- \sqrt{6}) ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{({(- \sqrt{6})}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{({(- \sqrt{6})}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{6}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{({(- 1)}^{2} {\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{(1 {\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.2.1.3

Multiplica ${\sqrt{6}}^{2}$ por $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.2.1.4

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{({(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{(6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{(6^{\frac{2}{2}} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.2.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{(6^{\frac{2}{2}} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.2.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{(6^{1} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.2.1.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{(6 - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.2.2

Resta $4$ de $6$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{6}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- 1)}^{4} {\sqrt{6}}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (1 {\sqrt{6}}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.3.3

Multiplica ${\sqrt{6}}^{4}$ por $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({\sqrt{6}}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.3.4

Reescribe ${\sqrt{6}}^{4}$ como $6^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(6^{\frac{1}{2}})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.3.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (6^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.3.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (6^{\frac{4}{2}} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.3.4.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.4.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (6^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.3.4.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.4.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.3.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \sqrt{6} (6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.3.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 \sqrt{6} (6^{\frac{2}{1}} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.3.4.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (6^{2} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.3.5

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.3.6

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{6}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{6}}^{2}) + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.3.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 (1 {\sqrt{6}}^{2}) + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.3.8

Multiplica ${\sqrt{6}}^{2}$ por $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.3.9

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.3.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.3.9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.3.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.9.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.3.9.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6^{1} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.3.9.5

Evalúa el exponente.

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6 + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.3.10

Multiplica $- 10$ por $6$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 60 + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.3.11

Resta $60$ de $36$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (- 24 + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.3.12

Suma $- 24$ y $48$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} \cdot 24}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.3.13

Multiplica $24$ por $- 2$ .

$\frac{- 48 \sqrt{6}}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{48 \sqrt{6}}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 15

$x = - \sqrt{6}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - \sqrt{6}$ es un máximo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = - \sqrt{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \sqrt{6}$ en la expresión.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{{(- \sqrt{6})}^{3}}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{6}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{6}}^{3}}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

Paso 16.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- {\sqrt{6}}^{3}}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

Paso 16.2.1.3

Reescribe ${\sqrt{6}}^{3}$ como $\sqrt{6^{3}}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- \sqrt{6^{3}}}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

Paso 16.2.1.4

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- \sqrt{216}}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

Paso 16.2.1.5

Reescribe $216$ como $6^{2} \cdot 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1.5.1

Factoriza $36$ de $216$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- \sqrt{36 (6)}}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

Paso 16.2.1.5.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

Paso 16.2.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 1 \cdot (6 \sqrt{6})}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

Paso 16.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

Paso 16.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.2.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{6}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{6}}^{2} - 4}}$

Paso 16.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{1 {\sqrt{6}}^{2} - 4}}$

Paso 16.2.2.3

Multiplica ${\sqrt{6}}^{2}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{{\sqrt{6}}^{2} - 4}}$

Paso 16.2.2.4

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4}}$

Paso 16.2.2.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4}}$

Paso 16.2.2.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4}}$

Paso 16.2.2.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.2.4.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4}}$

Paso 16.2.2.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{6 - 4}}$

Paso 16.2.2.4.5

Evalúa el exponente.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{6 - 4}}$

Paso 16.2.2.5

Resta $4$ de $6$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{2}}$

Paso 16.2.3

Combina $\sqrt{6}$ y $\sqrt{2}$ en un solo radical.

$f (- \sqrt{6}) = - 6 \sqrt{\frac{6}{2}}$

Paso 16.2.4

Divide $6$ por $2$ .

$f (- \sqrt{6}) = - 6 \sqrt{3}$

Paso 16.2.5

La respuesta final es $- 6 \sqrt{3}$ .

$y = - 6 \sqrt{3}$

Paso 17

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ .

$(\sqrt{6}, 6 \sqrt{3})$ es un mínimo local

$(- \sqrt{6}, - 6 \sqrt{3})$ es un máximo local

Paso 18