Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

Paso 1

Escribe $y = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 2}$ como ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.1.2

Reescribe $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Paso 2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Paso 2.1.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Paso 2.1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Paso 2.7

Combina fracciones.

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Paso 2.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Paso 2.7.2

Combina ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Paso 2.7.3

Mueve ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 2.10

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (2 x + 0)$

Paso 2.11

Simplifica los términos.

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Paso 2.11.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

Paso 2.11.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} x$

Paso 2.11.3

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} x$

Paso 2.11.4

Combina $\frac{- 2}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.11.5

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.12.1

Factoriza $2$ de $2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}$

Paso 2.12.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{2}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

Paso 3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.3

Multiplica ${(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 3.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.8.2

Resta $2$ de $3$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.9

Combina fracciones.

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Paso 3.9.1

Combina $\frac{3}{2}$ y ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.9.2

Combina $\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $x$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.10

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.12

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.13

Combina fracciones.

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Paso 3.13.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.13.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2 \frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.13.3

Combina $- 2$ y $\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 (3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.13.4

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.13.5

Combina $\frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$ y $x$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x) x}{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.14

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{1 + 1})}{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.17

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.18

Factoriza $2$ de $- 6 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.19

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.19.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 (1)}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.19.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.19.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{1}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.19.4

Divide $- 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.20

Factoriza ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

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Paso 3.20.1

Mueve ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 3 x^{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.20.2

Factoriza ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} - 3 x^{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.20.3

Factoriza ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ de $- 3 x^{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x^{2})}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.20.4

Factoriza ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} - 3 x^{2})}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.21

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.21.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} - 3 x^{2})}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.21.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} ((x^{2} + 2) - 3 x^{2})}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.22

Simplifica.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2 - 3 x^{2})}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.23

Resta $3 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.24

Mueve ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{3} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.25

Multiplica ${(x^{2} + 2)}^{3}$ por ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.25.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{3 - \frac{1}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.25.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.25.3

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.25.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3 \cdot 2 - 1}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.25.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.25.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{6 - 1}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.25.5.2

Resta $1$ de $6$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.26

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Paso 3.27

Simplifica la expresión.

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Paso 3.27.1

Multiplica $\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ por $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} + 0$

Paso 3.27.2

Suma $- \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 2}$ como ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 5.1.1.2

Reescribe $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Paso 5.1.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.1.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Paso 5.1.1.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Paso 5.1.1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 5.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Paso 5.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Paso 5.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Paso 5.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Paso 5.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Paso 5.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Paso 5.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Paso 5.1.6.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Paso 5.1.7

Combina fracciones.

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Paso 5.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Paso 5.1.7.2

Combina ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Paso 5.1.7.3

Mueve ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Paso 5.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 5.1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 5.1.10

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (2 x + 0)$

Paso 5.1.11

Simplifica los términos.

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Paso 5.1.11.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

Paso 5.1.11.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} x$

Paso 5.1.11.3

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} x$

Paso 5.1.11.4

Combina $\frac{- 2}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.1.11.5

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.1.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.12.1

Factoriza $2$ de $2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}$

Paso 5.1.12.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.1.12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.1.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 6.2

Establece el numerador igual a cero.

$x = 0$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{- 2 {(0)}^{2} + 2}{{({(0)}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{- 2 \cdot 0 + 2}{{(0^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.1.2

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$- \frac{0 + 2}{{(0^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.1.3

Suma $0$ y $2$ .

$- \frac{2}{{(0^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{2}{{(0 + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$- \frac{2}{2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 10.3

Mueve $2^{1}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{5}{2}} \cdot 2^{- 1}}$

Paso 10.4

Multiplica $2^{\frac{5}{2}}$ por $2^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.4.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{2^{\frac{5}{2} - 1}}$

Paso 10.4.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Paso 10.4.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Paso 10.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Paso 10.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 10.4.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{5 - 2}{2}}}$

Paso 10.4.5.2

Resta $2$ de $5$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11

$x = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0$ es un máximo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{1}{\sqrt{{(0)}^{2} + 2}}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 12.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{1}{\sqrt{0 + 2}}$

Paso 12.2.1.2

Suma $0$ y $2$ .

$f (0) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 12.2.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (0) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 12.2.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 12.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 12.2.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 12.2.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 12.2.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 12.2.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 12.2.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 12.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.2.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 12.2.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 12.2.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.2.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 12.2.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 12.2.3.6.5

Evalúa el exponente.

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 12.2.4

La respuesta final es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 13

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ .

$(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ es un máximo local

Paso 14