Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 1

Escribe $y = \sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$ como una función.

$f (x) = \sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$ como ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 3 + 2 x - x^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 + 2 x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 + 2 x - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Paso 2.7

Combina fracciones.

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Paso 2.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Paso 2.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Paso 2.7.3

Mueve ${(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + 2 x - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.9

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.11

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.13

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.14

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - (2 x))$

Paso 2.16

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)$

Paso 2.17

Simplifica.

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Paso 2.17.1

Reordena los factores de $\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)$ .

$(2 - 2 x) \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.17.2

Multiplica $2 - 2 x$ por $\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 - 2 x}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.17.3

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 2 x}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.17.4

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- x)}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.17.5

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (1 - x)}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.17.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.17.6.1

Factoriza $2$ de $2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (1 - x)}{2 ({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 2.17.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (1 - x)}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.17.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1 - x$ y $g (x) = {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.4

Diferencia.

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Paso 3.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x)) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.4.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- x)) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 1) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.4.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.4.6.3

Reescribe $- 1 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como $- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 3 + 2 x - x^{2}$ .

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Paso 3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 + 2 x - x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 + 2 x - x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.10

Combina fracciones.

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Paso 3.10.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.10.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.10.3

Mueve ${(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.11

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + 2 x - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.12

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.13

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.14

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.16

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.17

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - \frac{d}{d x} x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.18

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - (2 x)))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.19

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - 2 x))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.20

Simplifica.

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Paso 3.20.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot 1 + x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - 2 x))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.20.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.20.2.1

Sea $u_{2} = {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u_{2}$ por todos los casos de ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{{u_{2}}^{2} + x^{2} - 2 x + 1}{u_{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.20.2.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{{({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + x^{2} - 2 x + 1}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.20.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.20.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.20.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{2} - 2 x + 1}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.20.2.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.20.2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{- \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{2} - 2 x + 1}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.20.2.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{- \frac{(3 + 2 x - x^{2}) + x^{2} - 2 x + 1}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.20.2.3.2

Simplifica.

$f'' (x) = \frac{- \frac{3 + 2 x - x^{2} + x^{2} - 2 x + 1}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.20.2.3.3

Suma $3$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{2 x - x^{2} + x^{2} - 2 x + 4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.20.2.3.4

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{- x^{2} + x^{2} + 0 + 4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.20.2.3.5

Suma $- x^{2}$ y $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{0 + 0 + 4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.20.2.3.6

Suma $0$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{0 + 4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.20.2.3.7

Suma $0$ y $4$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.20.3

Combina los términos.

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Paso 3.20.3.1

Reescribe $\frac{- \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$ como un producto.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3 + 2 x - x^{2}}$

Paso 3.20.3.2

Multiplica $\frac{1}{3 + 2 x - x^{2}}$ por $\frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{(3 + 2 x - x^{2}) {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.20.3.3

Multiplica $3 + 2 x - x^{2}$ por ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.20.3.3.1

Multiplica $3 + 2 x - x^{2}$ por ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.20.3.3.1.1

Eleva $3 + 2 x - x^{2}$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{(3 + 2 x - x^{2}) {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.20.3.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Paso 3.20.3.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 3.20.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Paso 3.20.3.3.4

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$ como ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 3 + 2 x - x^{2}$ .

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Paso 5.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 + 2 x - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Paso 5.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 + 2 x - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Paso 5.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Paso 5.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Paso 5.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Paso 5.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Paso 5.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Paso 5.1.7

Combina fracciones.

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Paso 5.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Paso 5.1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Paso 5.1.7.3

Mueve ${(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Paso 5.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + 2 x - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Paso 5.1.9

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Paso 5.1.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Paso 5.1.11

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Paso 5.1.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Paso 5.1.13

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Paso 5.1.14

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - \frac{d}{d x} x^{2})$

Paso 5.1.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - (2 x))$

Paso 5.1.16

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - 2 x)$

Paso 5.1.17

Simplifica.

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Paso 5.1.17.1

Reordena los factores de $\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)$ .

$f' (x) = (2 - 2 x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 5.1.17.2

Multiplica $2 - 2 x$ por $\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 - 2 x}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.17.3

Factoriza $2$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 1 - 2 x}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.17.4

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 1 + 2 (- x)}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.17.5

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (- x)$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x)}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.17.6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.17.6.1

Factoriza $2$ de $2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x)}{2 ({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 5.1.17.6.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{2 (1 - x)}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.17.6.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 6.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 - x = 0$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 6.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 1$

Paso 6.3.2

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.3.2.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.3.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 7.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{1 - x}{\sqrt{{(3 + 2 x - x^{2})}^{1}}}$

Paso 7.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{1 - x}{\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}}$

Paso 7.2

Establece el denominador en $\frac{1 - x}{\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{3 + 2 x - x^{2}} = 0$

Paso 7.3

Resuelve $x$

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Paso 7.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 7.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$ como ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.2.2.1

Simplifica ${({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 7.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 7.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(3 + 2 x - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.2

Simplifica.

$3 + 2 x - x^{2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 + 2 x - x^{2} = 0$

Paso 7.3.3

Resuelve $x$

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Paso 7.3.3.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.3.3.1.1

Factoriza $- 1$ de $3 + 2 x - x^{2}$ .

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Paso 7.3.3.1.1.1

Reordena la expresión.

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Paso 7.3.3.1.1.1.1

Mueve $3$ .

$2 x - x^{2} + 3 = 0$

Paso 7.3.3.1.1.1.2

Reordena $2 x$ y $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Paso 7.3.3.1.1.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Paso 7.3.3.1.1.3

Factoriza $- 1$ de $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Paso 7.3.3.1.1.4

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Paso 7.3.3.1.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Paso 7.3.3.1.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Paso 7.3.3.1.2

Factoriza.

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Paso 7.3.3.1.2.1

Factoriza $x^{2} - 2 x - 3$ con el método AC.

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Paso 7.3.3.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 7.3.3.1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Paso 7.3.3.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Paso 7.3.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 7.3.3.3

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.3.3.3.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 7.3.3.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 7.3.3.4

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.3.3.4.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 7.3.3.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 7.3.3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x - 3) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 1$

Paso 7.4

Establece el radicando en $\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 + 2 x - x^{2} < 0$

Paso 7.5

Resuelve $x$

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Paso 7.5.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$3 + 2 x - x^{2} = 0$

Paso 7.5.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.2.1

Factoriza $- 1$ de $3 + 2 x - x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.2.1.1

Reordena la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.2.1.1.1

Mueve $3$ .

$2 x - x^{2} + 3 = 0$

Paso 7.5.2.1.1.2

Reordena $2 x$ y $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Paso 7.5.2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Paso 7.5.2.1.3

Factoriza $- 1$ de $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Paso 7.5.2.1.4

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Paso 7.5.2.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Paso 7.5.2.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Paso 7.5.2.2

Factoriza.

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Paso 7.5.2.2.1

Factoriza $x^{2} - 2 x - 3$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 7.5.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Paso 7.5.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Paso 7.5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 7.5.4

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.5.4.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 7.5.4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 7.5.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 7.5.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 7.5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x - 3) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 1$

Paso 7.5.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < 3$

$x > 3$

Paso 7.5.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 7.5.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$3 + 2 (- 4) - {(- 4)}^{2} < 0$

Paso 7.5.8.1.3

$- 21$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 7.5.8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.5.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 7.5.8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$3 + 2 (0) - {(0)}^{2} < 0$

Paso 7.5.8.2.3

$3$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 7.5.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.5.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 7.5.8.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$3 + 2 (6) - {(6)}^{2} < 0$

Paso 7.5.8.3.3

$- 21$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 7.5.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadero

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadero

Paso 7.5.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 1$ o $x > 3$

Paso 7.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq - 1, x \geq 3$

$(- \infty, - 1] \cup [3, \infty)$

$x \leq - 1, x \geq 3$

$(- \infty, - 1] \cup [3, \infty)$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 1, - 1, 3$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{4}{{(3 + 2 (1) - {(1)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica el denominador.

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Paso 10.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$- \frac{4}{{(3 + 2 - 1^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{4}{{(3 + 2 - 1 \cdot 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{4}{{(3 + 2 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.2

Suma $3$ y $2$ .

$- \frac{4}{{(5 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.3

Resta $1$ de $5$ .

$- \frac{4}{4^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{4}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.5

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 10.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.1.6.1

Cancela el factor común.

$- \frac{4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 10.1.6.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{4}{2^{3}}$

Paso 10.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{4}{8}$

Paso 10.2

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

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Paso 10.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$- \frac{4 (1)}{8}$

Paso 10.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Paso 10.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Paso 10.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2}$

Paso 11

$x = 1$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 1$ es un máximo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 1$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \sqrt{3 + 2 (1) - {(1)}^{2}}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (1) = \sqrt{3 + 2 - {(1)}^{2}}$

Paso 12.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \sqrt{3 + 2 - 1 \cdot 1}$

Paso 12.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = \sqrt{3 + 2 - 1}$

Paso 12.2.4

Suma $3$ y $2$ .

$f (1) = \sqrt{5 - 1}$

Paso 12.2.5

Resta $1$ de $5$ .

$f (1) = \sqrt{4}$

Paso 12.2.6

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (1) = \sqrt{2^{2}}$

Paso 12.2.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (1) = 2$

Paso 12.2.8

La respuesta final es $2$ .

$y = 2$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{4}{{(3 + 2 (- 1) - {(- 1)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.1.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{4}{{(3 - 2 - {(- 1)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14.1.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 14.1.2.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Paso 14.1.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{4}{{(3 - 2 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14.1.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{4}{{(3 - 2 + {(- 1)}^{1 + 2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14.1.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{4}{{(3 - 2 + {(- 1)}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{4}{{(3 - 2 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 14.2.1

Resta $2$ de $3$ .

$- \frac{4}{{(1 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 14.2.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$- \frac{4}{0^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14.2.2.2

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$- \frac{4}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14.2.2.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 14.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.2.3.1

Cancela el factor común.

$- \frac{4}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 14.2.3.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{4}{0^{3}}$

Paso 14.2.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{4}{0}$

Paso 14.2.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- \frac{4}{0}$

Paso 14.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 15

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 16