Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt[3]{8 - x^{3}}$

Paso 1

Escribe $y = \sqrt[3]{8 - x^{3}}$ como una función.

$f (x) = \sqrt[3]{8 - x^{3}}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{8 - x^{3}}$ como ${(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = 8 - x^{3}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 - x^{3}$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Paso 2.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Paso 2.7

Combina fracciones.

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Paso 2.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Paso 2.7.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Paso 2.7.3

Mueve ${(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $8 - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Paso 2.9

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Paso 2.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- (3 x^{2}))$

Paso 2.13

Simplifica los términos.

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Paso 2.13.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- 3 x^{2})$

Paso 2.13.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 3}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} x^{2}$

Paso 2.13.3

Combina $\frac{- 3}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.13.4

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.14

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.14.1

Factoriza $3$ de $3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 ({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Paso 2.14.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 2}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de ${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot ({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = 8 - x^{3}$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 - x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 - x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.6

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 3.8.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.8.2

Resta $3$ de $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.9

Combina fracciones.

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Paso 3.9.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.9.2

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(8 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2 {(8 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.9.3

Mueve ${(8 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.9.4

Combina $\frac{2}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ y $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{3})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.10

Según la regla de la suma, la derivada de $8 - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.11

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.12

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{3})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.13

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{3})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.14

Multiplica.

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Paso 3.14.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + 1 (\frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}) \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.14.2

Multiplica $\frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot (3 x^{2})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.16

Combina fracciones.

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Paso 3.16.1

Combina $3$ y $\frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{3 (2 x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.16.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{6 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.16.3

Combina $\frac{6 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ y $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{6 x^{2} x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.17

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.17.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{6 (x^{2} x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.17.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{6 x^{2 + 2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.17.3

Suma $2$ y $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{6 x^{4}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.18

Factoriza $3$ de $6 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{3 (2 x^{4})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.19

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.19.1

Factoriza $3$ de $3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{3 (2 x^{4})}{3 ({(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.19.2

Cancela el factor común.

Paso 3.19.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{2 x^{4}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.20

Reordena $8$ y $- x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.21

Para escribir $2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.22

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.23

Multiplica ${(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.23.1

Mueve ${(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x ({(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}} {(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.23.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.23.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{1 + 2}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.23.4

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{3}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.23.5

Divide $3$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.24

Simplifica $2 x {(- x^{3} + 8)}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.25

Reescribe $\frac{\frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ como un producto.

$f'' (x) = - (\frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}) + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.26

Multiplica $\frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}} {(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.27

Reordena los términos.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}} {(- x^{3} + 8)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.28

Multiplica ${(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(- x^{3} + 8)}^{\frac{4}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.28.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.28.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1 + 4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.28.3

Suma $1$ y $4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.29

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 3.30

Simplifica la expresión.

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Paso 3.30.1

Multiplica $\frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ por $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Paso 3.30.2

Suma $- \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3.31

Simplifica.

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Paso 3.31.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3}) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3.31.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.31.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.31.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot (- 1 x \cdot x^{3}) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3.31.2.1.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.31.2.1.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot (- 1 (x^{3} x)) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3.31.2.1.2.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 3.31.2.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot (- 1 (x^{3} x)) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3.31.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot (- 1 x^{3 + 1}) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3.31.2.1.2.3

Suma $3$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot (- 1 x^{4}) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3.31.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{4} + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3.31.2.1.4

Multiplica $8$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{4} + 16 x + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3.31.2.2

Combina los términos opuestos en $- 2 x^{4} + 16 x + 2 x^{4}$ .

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Paso 3.31.2.2.1

Suma $- 2 x^{4}$ y $2 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x + 0}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3.31.2.2.2

Suma $16 x$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{8 - x^{3}}$ como ${(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

Paso 5.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = 8 - x^{3}$ .

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Paso 5.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Paso 5.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 - x^{3}$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Paso 5.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Paso 5.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Paso 5.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Paso 5.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Paso 5.1.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Paso 5.1.7

Combina fracciones.

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Paso 5.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Paso 5.1.7.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Paso 5.1.7.3

Mueve ${(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Paso 5.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $8 - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Paso 5.1.9

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Paso 5.1.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 5.1.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 5.1.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- (3 x^{2}))$

Paso 5.1.13

Simplifica los términos.

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Paso 5.1.13.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- 3 x^{2})$

Paso 5.1.13.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 3}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} x^{2}$

Paso 5.1.13.3

Combina $\frac{- 3}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.1.13.4

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.1.14

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.14.1

Factoriza $3$ de $3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 ({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Paso 5.1.14.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.1.14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.1.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Paso 6.2

Establece el numerador igual a cero.

$x^{2} = 0$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 6.3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 6.3.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 6.3.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 6.3.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 6.3.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}}$

Paso 7.2

Establece el denominador en $\frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}} = 0$

Paso 7.3

Resuelve $x$

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Paso 7.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Paso 7.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 7.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}$ como ${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

${({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 7.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 7.3.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 7.3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.3.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 7.3.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(8 - x^{3})}^{2} = 0^{3}$

Paso 7.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

${(8 - x^{3})}^{2} = 0$

Paso 7.3.3

Resuelve $x$

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Paso 7.3.3.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.3.3.1.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

${(2^{3} - x^{3})}^{2} = 0$

Paso 7.3.3.1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 2$ y $b = x$ .

${((2 - x) (2^{2} + 2 x + x^{2}))}^{2} = 0$

Paso 7.3.3.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

${((2 - x) (4 + 2 x + x^{2}))}^{2} = 0$

Paso 7.3.3.1.4

Aplica la regla del producto a $(2 - x) (4 + 2 x + x^{2})$ .

${(2 - x)}^{2} {(4 + 2 x + x^{2})}^{2} = 0$

Paso 7.3.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(2 - x)}^{2} = 0$

${(4 + 2 x + x^{2})}^{2} = 0$

Paso 7.3.3.3

Establece ${(2 - x)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.3.3.3.1

Establece ${(2 - x)}^{2}$ igual a $0$ .

${(2 - x)}^{2} = 0$

Paso 7.3.3.3.2

Resuelve ${(2 - x)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 7.3.3.3.2.1

Establece $2 - x$ igual a $0$ .

$2 - x = 0$

Paso 7.3.3.3.2.2

Resuelve $x$

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Paso 7.3.3.3.2.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 2$

Paso 7.3.3.3.2.2.2

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 7.3.3.3.2.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 7.3.3.3.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.3.3.2.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 7.3.3.3.2.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 7.3.3.3.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.3.3.2.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Paso 7.3.3.4

Establece ${(4 + 2 x + x^{2})}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.3.3.4.1

Establece ${(4 + 2 x + x^{2})}^{2}$ igual a $0$ .

${(4 + 2 x + x^{2})}^{2} = 0$

Paso 7.3.3.4.2

Resuelve ${(4 + 2 x + x^{2})}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 7.3.3.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$4 + 2 x + x^{2} = \pm \sqrt{0}$

Paso 7.3.3.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 7.3.3.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$4 + 2 x + x^{2} = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 7.3.3.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$4 + 2 x + x^{2} = \pm 0$

Paso 7.3.3.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$4 + 2 x + x^{2} = 0$

Paso 7.3.3.4.2.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.3.3.4.2.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.4.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.3.4.2.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 7.3.3.4.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.5.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.5.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.5.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.3.3.4.2.5.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.5.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.5.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 7.3.3.4.2.5.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 7.3.3.4.2.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 7.3.3.4.2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.3.4.2.6.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 7.3.3.4.2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.6.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.6.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.6.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.3.3.4.2.6.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.6.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.6.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.6.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 7.3.3.4.2.6.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 7.3.3.4.2.6.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Paso 7.3.3.4.2.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 7.3.3.4.2.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.3.4.2.7.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 7.3.3.4.2.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.7.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.7.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.7.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.7.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.7.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.3.3.4.2.7.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.7.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.7.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.7.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.3.4.2.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 7.3.3.4.2.7.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 7.3.3.4.2.7.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 7.3.3.4.2.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 7.3.3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(2 - x)}^{2} {(4 + 2 x + x^{2})}^{2} = 0$ verdadera.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 7.4

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = 2$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0, 2$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{16 (0)}{{(- {(0)}^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Multiplica $16$ por $0$ .

$- \frac{0}{{(- 0^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{0}{{(- 0 + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- \frac{0}{{(0 + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.2.2

Suma $0$ y $8$ .

$- \frac{0}{8^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.2.3

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$- \frac{0}{{(2^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.2.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{0}{2^{3 (\frac{5}{3})}}$

Paso 10.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.2.5.1

Cancela el factor común.

$- \frac{0}{2^{3 (\frac{5}{3})}}$

Paso 10.2.5.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{0}{2^{5}}$

Paso 10.2.6

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$- \frac{0}{32}$

Paso 10.3

Simplifica la expresión.

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Paso 10.3.1

Divide $0$ por $32$ .

$- 0$

Paso 10.3.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0$

Paso 11

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 11.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 11.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 11.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{{(8 - {(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.2.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{4}{{(8 - {(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.2.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.2.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 2) = - \frac{4}{{(8 + 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.2.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = - \frac{4}{{(8 + 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.2.2.2.2

Suma $8$ y $8$ .

$f' (- 2) = - \frac{4}{16^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.2.2.3

La respuesta final es $- \frac{4}{16^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{4}{16^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.3

Sustituye cualquier número, como $1$ , del intervalo $(0, 2)$ en la primera derivada $- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 11.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{{(8 - {(1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = - \frac{1}{{(8 - 1^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.3.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.3.2.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = - \frac{1}{{(8 - 1 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.3.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{{(8 - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.3.2.2.2

Resta $1$ de $8$ .

$f' (1) = - \frac{1}{7^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.3.2.3

La respuesta final es $- \frac{1}{7^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{1}{7^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.4

Sustituye cualquier número, como $4$ , del intervalo $(2, \infty)$ en la primera derivada $- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = - \frac{{(4)}^{2}}{{(8 - {(4)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.4.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(8 - 4^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.4.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.4.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.4.2.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(8 - 1 \cdot 64)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.4.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(8 - 64)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.4.2.2.2

Resta $64$ de $8$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(- 56)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.4.2.3

La respuesta final es $- \frac{16}{{(- 56)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{16}{{(- 56)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.5

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = 0$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 11.6

No se obtuvieron máximos ni mínimos locales para $f (x) = \sqrt[3]{8 - x^{3}}$ .

No hay máximos ni mínimos locales

Paso 12