Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt[3]{4 x^{2} - 12 x}$

Paso 1

Escribe $y = \sqrt[3]{4 x^{2} - 12 x}$ como una función.

$f (x) = \sqrt[3]{4 x^{2} - 12 x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{4 x^{2} - 12 x}$ como ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = 4 x^{2} - 12 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x^{2} - 12 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x^{2} - 12 x$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Paso 2.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Paso 2.7

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Paso 2.7.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Paso 2.7.3

Mueve ${(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} - 12 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Paso 2.9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Paso 2.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Paso 2.11

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Paso 2.12

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x - 12 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x - 12 \cdot 1)$

Paso 2.14

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x - 12)$

Paso 2.15

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.1

Reordena los factores de $\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x - 12)$ .

$(8 x - 12) \frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.15.2

Multiplica $8 x - 12$ por $\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{8 x - 12}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.15.3

Factoriza $4$ de $8 x - 12$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.3.1

Factoriza $4$ de $8 x$ .

$\frac{4 (2 x) - 12}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.15.3.2

Factoriza $4$ de $- 12$ .

$\frac{4 (2 x) + 4 (- 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.15.3.3

Factoriza $4$ de $4 (2 x) + 4 (- 3)$ .

$\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Como $\frac{4}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 3}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 x - 3}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}})$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x - 3$ y $g (x) = {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 3) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{({(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 3) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 3) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 3) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} (2 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.3.6

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} (2 + 0) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.3.7

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.7.1

Suma $2$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} \cdot 2 - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.3.7.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \cdot {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = 4 x^{2} - 12 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x^{2} - 12 x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x^{2} - 12 x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3} \cdot {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3} \cdot {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.6

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3} \cdot {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3} \cdot {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.8

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3} \cdot {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.8.2

Resta $3$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3} \cdot {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.9

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3} \cdot {(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.9.2

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.9.3

Mueve ${(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.10

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} - 12 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.11

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x)))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.13

Multiplica $2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x + \frac{d}{d x} (- 12 x)))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.14

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12 \frac{d}{d x} x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12 \cdot 1))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.16

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.16.1

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.16.2

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} (8 x - 12))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12)))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + (- (2 x) + 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12)))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 ((- (2 x) + 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12)))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.3.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- (2 x) + 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12)))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.3.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- 2 x + 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12)))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- 2 x + 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12)))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.3

Multiplica $\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}$ por $8 x - 12$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- 2 x + 3) (\frac{2 (8 x - 12)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.3.4.1

Factoriza $4$ de $8 x - 12$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.3.4.1.1

Factoriza $4$ de $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- 2 x + 3) (\frac{2 (4 (2 x) - 12)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.4.1.2

Factoriza $4$ de $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- 2 x + 3) (\frac{2 (4 (2 x) + 4 (- 3))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.4.1.3

Factoriza $4$ de $4 (2 x) + 4 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- 2 x + 3) (\frac{2 (4 (2 x - 3))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- 2 x + 3) (\frac{2 \cdot (4 (2 x - 3))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- 2 x + 3) (\frac{8 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.5

Multiplica $- 2 x + 3$ por $\frac{8 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{(- 2 x + 3) (8 (2 x - 3))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.3.6.1

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{(- (2 x) + 3) \cdot (8 (2 x - 3))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.6.2

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{(- (2 x) - 1 \cdot - 3) \cdot (8 (2 x - 3))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.6.3

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{- (2 x - 3) \cdot (8 (2 x - 3))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.6.4

Reescribe $- (2 x - 3)$ como $- 1 (2 x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{- 1 (2 x - 3) \cdot (8 (2 x - 3))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.6.5

Eleva $2 x - 3$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{- 1 \cdot (8 ((2 x - 3) (2 x - 3)))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.6.6

Eleva $2 x - 3$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{- 1 \cdot (8 ((2 x - 3) (2 x - 3)))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.6.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{- 1 \cdot (8 {(2 x - 3)}^{1 + 1})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.6.8

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{- 1 \cdot (8 {(2 x - 3)}^{2})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.6.9

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{- 8 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (- \frac{8 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.8

Multiplica $4 (- \frac{8 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.3.8.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - 4 \frac{8 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.8.2

Combina $- 4$ y $\frac{8 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 4 (8 {(2 x - 3)}^{2})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.8.3

Multiplica $8$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 32 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - \frac{32 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.10

Para escribir $8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{32 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.11

Combina $8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}$ y $\frac{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{32 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{\frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}) - 32 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.13

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 {(2 x - 3)}^{2} + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14

Reescribe $\frac{- 32 {(2 x - 3)}^{2} + 3 \cdot 8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}$ en forma factorizada.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.3.14.1

Reescribe ${(2 x - 3)}^{2}$ como $(2 x - 3) (2 x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 ((2 x - 3) (2 x - 3)) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.2

Expande $(2 x - 3) (2 x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.3.14.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (2 x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3)) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x - 3)) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.3.14.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.3.14.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.3.14.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.3.1.4

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (4 x^{2} - 6 x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (4 x^{2} - 6 x - 6 x - 3 \cdot - 3) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.3.1.6

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (4 x^{2} - 6 x - 6 x + 9) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.3.2

Resta $6 x$ de $- 6 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (4 x^{2} - 12 x + 9) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (4 x^{2}) - 32 (- 12 x) - 32 \cdot 9 + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.3.14.5.1

Multiplica $4$ por $- 32$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} - 32 (- 12 x) - 32 \cdot 9 + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.5.2

Multiplica $- 12$ por $- 32$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 32 \cdot 9 + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.5.3

Multiplica $- 32$ por $9$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.6

Multiplica ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.3.14.6.1

Mueve ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 3 \cdot (8 ({(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.6.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1 + 2}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.6.4

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{3}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.6.5

Divide $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 3 \cdot (8 (4 x^{2} - 12 x))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.7

Simplifica $3 \cdot 8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 3 \cdot (8 (4 x^{2} - 12 x))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.8

Multiplica $3$ por $8$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 24 (4 x^{2} - 12 x)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.9

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 24 (4 x^{2}) + 24 (- 12 x)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.10

Multiplica $4$ por $24$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 96 x^{2} + 24 (- 12 x)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.11

Multiplica $- 12$ por $24$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 96 x^{2} - 288 x}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.12

Suma $- 128 x^{2}$ y $96 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 x^{2} + 384 x - 288 - 288 x}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.13

Resta $288 x$ de $384 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 x^{2} + 96 x - 288}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.14

Factoriza $32$ de $- 32 x^{2} + 96 x - 288$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.3.14.14.1

Factoriza $32$ de $- 32 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{32 (- x^{2}) + 96 x - 288}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.14.2

Factoriza $32$ de $96 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{32 (- x^{2}) + 32 (3 x) - 288}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.14.3

Factoriza $32$ de $- 288$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{32 (- x^{2}) + 32 (3 x) + 32 (- 9)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.14.4

Factoriza $32$ de $32 (- x^{2}) + 32 (3 x)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{32 (- x^{2} + 3 x) + 32 (- 9)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.3.14.14.5

Factoriza $32$ de $32 (- x^{2} + 3 x) + 32 (- 9)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.4

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.4.1

Reescribe $\frac{\frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$ como un producto.

$f'' (x) = \frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.4.2

Multiplica $\frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}})}$

Paso 3.17.4.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.17.4.4

Multiplica ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.4.4.1

Mueve ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{9 ({(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}$

Paso 3.17.4.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

Paso 3.17.4.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

Paso 3.17.4.4.4

Suma $4$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3.17.5

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- (x^{2}) + 3 x - 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3.17.6

Factoriza $- 1$ de $3 x$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- (x^{2}) - (- 3 x) - 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3.17.7

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 3 x)$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- (x^{2} - 3 x) - 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3.17.8

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- (x^{2} - 3 x) - 1 \cdot 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3.17.9

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 3 x) - 1 (9)$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- (x^{2} - 3 x + 9))}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3.17.10

Reescribe $- (x^{2} - 3 x + 9)$ como $- 1 (x^{2} - 3 x + 9)$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- 1 (x^{2} - 3 x + 9))}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3.17.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{32 (x^{2} - 3 x + 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{4 x^{2} - 12 x}$ como ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}]$

Paso 5.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = 4 x^{2} - 12 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x^{2} - 12 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Paso 5.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x^{2} - 12 x$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Paso 5.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Paso 5.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Paso 5.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Paso 5.1.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Paso 5.1.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Paso 5.1.7

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Paso 5.1.7.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Paso 5.1.7.3

Mueve ${(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Paso 5.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} - 12 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Paso 5.1.9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Paso 5.1.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Paso 5.1.11

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Paso 5.1.12

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x - 12 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x - 12 \cdot 1)$

Paso 5.1.14

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x - 12)$

Paso 5.1.15

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.15.1

Reordena los factores de $\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x - 12)$ .

$(8 x - 12) \frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.1.15.2

Multiplica $8 x - 12$ por $\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{8 x - 12}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.1.15.3

Factoriza $4$ de $8 x - 12$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.15.3.1

Factoriza $4$ de $8 x$ .

$\frac{4 (2 x) - 12}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.1.15.3.2

Factoriza $4$ de $- 12$ .

$\frac{4 (2 x) + 4 (- 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.1.15.3.3

Factoriza $4$ de $4 (2 x) + 4 (- 3)$ .

$f' (x) = \frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Paso 6.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 (2 x - 3) = 0$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Divide cada término en $4 (2 x - 3) = 0$ por $4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.1

Divide cada término en $4 (2 x - 3) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 (2 x - 3)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 6.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (2 x - 3)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 6.3.1.2.1.2

Divide $2 x - 3$ por $1$ .

$2 x - 3 = \frac{0}{4}$

Paso 6.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$2 x - 3 = 0$

Paso 6.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 3$

Paso 6.3.3

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 6.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 6.3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{4 (2 x - 3)}{3 \sqrt[3]{{(4 x^{2} - 12 x)}^{2}}}$

Paso 7.2

Establece el denominador en $\frac{4 (2 x - 3)}{3 \sqrt[3]{{(4 x^{2} - 12 x)}^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt[3]{{(4 x^{2} - 12 x)}^{2}} = 0$

Paso 7.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt[3]{{(4 x^{2} - 12 x)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 7.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{{(4 x^{2} - 12 x)}^{2}}$ como ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 7.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.2.1

Simplifica ${(3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 7.3.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 {({(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 7.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 7.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 7.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 {(4 x^{2} - 12 x)}^{2} = 0^{3}$

Paso 7.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$27 {(4 x^{2} - 12 x)}^{2} = 0$

Paso 7.3.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.1.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{2} - 12 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.1.1.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{2}$ .

$27 {(4 x (x) - 12 x)}^{2} = 0$

Paso 7.3.3.1.1.2

Factoriza $4 x$ de $- 12 x$ .

$27 {(4 x (x) + 4 x (- 3))}^{2} = 0$

Paso 7.3.3.1.1.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (x) + 4 x (- 3)$ .

$27 {(4 x (x - 3))}^{2} = 0$

Paso 7.3.3.1.2

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.1.2.1

Aplica la regla del producto a $4 x (x - 3)$ .

$27 ({(4 x)}^{2} {(x - 3)}^{2}) = 0$

Paso 7.3.3.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$27 {(4 x)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 7.3.3.1.3

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.1.3.1

Aplica la regla del producto a $4 x$ .

$27 (4^{2} x^{2}) {(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 7.3.3.1.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$27 \cdot (4^{2} x^{2} {(x - 3)}^{2}) = 0$

Paso 7.3.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 7.3.3.3

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.3.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 7.3.3.3.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.3.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 7.3.3.3.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 7.3.3.3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 7.3.3.3.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 7.3.3.4

Establece ${(x - 3)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.4.1

Establece ${(x - 3)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 7.3.3.4.2

Resuelve ${(x - 3)}^{2} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.4.2.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 7.3.3.4.2.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 7.3.3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $27 \cdot (4^{2} x^{2} {(x - 3)}^{2}) = 0$ verdadera.

$x = 0, 3$

Paso 7.4

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = 0, x = 3$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{3}{2}, 0, 3$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{3}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{32 ({(\frac{3}{2})}^{2} - 3 (\frac{3}{2}) + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{32 (\frac{3^{2}}{2^{2}} - 3 (\frac{3}{2}) + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{32 (\frac{9}{2^{2}} - 3 (\frac{3}{2}) + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{32 (\frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2}) + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.1.4

Multiplica $- 3 (\frac{3}{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.4.1

Combina $- 3$ y $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{32 (\frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.1.4.2

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$- \frac{32 (\frac{9}{4} + \frac{- 9}{2} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{32 (\frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.1.6

Para escribir $- \frac{9}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{32 (\frac{9}{4} - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.1.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.7.1

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{32 (\frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.1.7.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{32 (\frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{32 (\frac{9 - 9 \cdot 2}{4} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.1.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.9.1

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$- \frac{32 (\frac{9 - 18}{4} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.1.9.2

Resta $18$ de $9$ .

$- \frac{32 (\frac{- 9}{4} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.1.10

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{32 (\frac{- 9}{4} + 9 \cdot \frac{4}{4})}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.1.11

Combina $9$ y $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{32 (\frac{- 9}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4})}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.1.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{32 \frac{- 9 + 9 \cdot 4}{4}}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.1.13

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.13.1

Multiplica $9$ por $4$ .

$- \frac{32 \frac{- 9 + 36}{4}}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.1.13.2

Suma $- 9$ y $36$ .

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(4 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(4 \frac{9}{2^{2}} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(4 (\frac{9}{4}) - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(4 (\frac{9}{4}) - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(9 - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $- 12$ .

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(9 + 2 (- 6) \frac{3}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(9 + 2 \cdot - 6 \frac{3}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(9 - 6 \cdot 3)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.2.1.6

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(9 - 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.2.2

Resta $18$ de $9$ .

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(- 9)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.3

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.1

Combina $32$ y $\frac{27}{4}$ .

$- \frac{\frac{32 \cdot 27}{4}}{9 {(- 9)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.3.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.1

Multiplica $32$ por $27$ .

$- \frac{\frac{864}{4}}{9 {(- 9)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.3.2.2

Divide $864$ por $4$ .

$- \frac{216}{9 {(- 9)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.3.3

Factoriza $9$ de $216$ .

$- \frac{9 \cdot 24}{9 {(- 9)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.4

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.1

Factoriza $9$ de $9 {(- 9)}^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{9 \cdot 24}{9 ({(- 9)}^{\frac{5}{3}})}$

Paso 10.4.2

Cancela el factor común.

$- \frac{9 \cdot 24}{9 {(- 9)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.4.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{24}{{(- 9)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 11

$x = \frac{3}{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{3}{2}$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{3}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2})}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{4 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) - 12 (\frac{3}{2})}$

Paso 12.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{4 (\frac{9}{2^{2}}) - 12 (\frac{3}{2})}$

Paso 12.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{4 (\frac{9}{4}) - 12 (\frac{3}{2})}$

Paso 12.2.2

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{4 (\frac{9}{4}) - 12 (\frac{3}{2})}$

Paso 12.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{9 - 12 (\frac{3}{2})}$

Paso 12.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 12$ .

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{9 + 2 (- 6) (\frac{3}{2})}$

Paso 12.2.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{9 + 2 \cdot (- 6 (\frac{3}{2}))}$

Paso 12.2.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{9 - 6 \cdot 3}$

Paso 12.2.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.4.1

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{9 - 18}$

Paso 12.2.4.2

Resta $18$ de $9$ .

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{- 9}$

Paso 12.2.5

Reescribe $- 9$ como ${(- 1)}^{3} \cdot 9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.5.1

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{- 1 \cdot 9}$

Paso 12.2.5.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 9}$

Paso 12.2.6

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{3}{2}) = - 1 \sqrt[3]{9}$

Paso 12.2.7

Reescribe $- 1 \sqrt[3]{9}$ como $- \sqrt[3]{9}$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \sqrt[3]{9}$

Paso 12.2.8

La respuesta final es $- \sqrt[3]{9}$ .

$y = - \sqrt[3]{9}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 {(4 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 {(4 \cdot 0 - 12 \cdot 0)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 14.1.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 {(0 - 12 \cdot 0)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 14.1.3

Multiplica $- 12$ por $0$ .

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 {(0 + 0)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 14.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

Paso 14.2.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 14.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Paso 14.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.3.1

Cancela el factor común.

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Paso 14.2.3.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 \cdot 0^{5}}$

Paso 14.2.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.4.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 \cdot 0}$

Paso 14.2.4.2

Multiplica $9$ por $0$ .

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{0}$

Paso 14.2.4.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{0}$

Paso 14.2.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{0}$

Paso 14.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 15

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 15.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = \frac{4 (2 (- 2) - 3)}{3 {(4 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.2.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{4 (- 4 - 3)}{3 {(4 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.2.2.1.2

Resta $3$ de $- 4$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 7}{3 {(4 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.2.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 7}{3 {(4 \cdot 4 - 12 \cdot - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.2.2.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 7}{3 {(16 - 12 \cdot - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.2.2.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 7}{3 {(16 + 24)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.2.2.2.2

Suma $16$ y $24$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 7}{3 \cdot 40^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.2.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.3.1

Multiplica $4$ por $- 7$ .

$f' (- 2) = \frac{- 28}{3 \cdot 40^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.2.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 2) = - \frac{28}{3 \cdot 40^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.2.2.4

La respuesta final es $- \frac{28}{3 \cdot 40^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{28}{3 \cdot 40^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.3

Sustituye cualquier número, como $1$ , del intervalo $(0, \frac{3}{2})$ en la primera derivada $\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = \frac{4 (2 (1) - 3)}{3 {(4 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.3.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.3.2.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{4 (2 - 3)}{3 {(4 \cdot 1^{2} - 12 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.3.2.1.2

Resta $3$ de $2$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {(4 \cdot 1^{2} - 12 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.3.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.3.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.3.2.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {(4 \cdot 1 - 12 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.3.2.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {(4 - 12 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.3.2.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {(4 - 12)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.3.2.2.2

Resta $12$ de $4$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {(- 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.3.2.2.3

Reescribe $- 8$ como ${(- 2)}^{3}$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.3.2.2.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Paso 15.3.2.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.3.2.2.5.1

Cancela el factor común.

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Paso 15.3.2.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {(- 2)}^{2}}$

Paso 15.3.2.2.6

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 \cdot 4}$

Paso 15.3.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.3.2.3.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f' (1) = \frac{- 4}{3 \cdot 4}$

Paso 15.3.2.3.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$f' (1) = \frac{- 4}{12}$

Paso 15.3.2.3.3

Cancela el factor común de $- 4$ y $12$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.3.2.3.3.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$f' (1) = \frac{4 (- 1)}{12}$

Paso 15.3.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.3.2.3.3.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}$

Paso 15.3.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}$

Paso 15.3.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (1) = \frac{- 1}{3}$

Paso 15.3.2.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (1) = - \frac{1}{3}$

Paso 15.3.2.4

La respuesta final es $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Paso 15.4

Sustituye cualquier número, como $2$ , del intervalo $(\frac{3}{2}, 3)$ en la primera derivada $\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = \frac{4 (2 (2) - 3)}{3 {(4 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.4.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.4.2.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (2) = \frac{4 (4 - 3)}{3 {(4 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.4.2.1.2

Resta $3$ de $4$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {(4 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.4.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.4.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.4.2.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {(4 \cdot 4 - 12 \cdot 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.4.2.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {(16 - 12 \cdot 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.4.2.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $2$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {(16 - 24)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.4.2.2.2

Resta $24$ de $16$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {(- 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.4.2.2.3

Reescribe $- 8$ como ${(- 2)}^{3}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.4.2.2.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Paso 15.4.2.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.4.2.2.5.1

Cancela el factor común.

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Paso 15.4.2.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {(- 2)}^{2}}$

Paso 15.4.2.2.6

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 4}$

Paso 15.4.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.4.2.3.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$f' (2) = \frac{4}{3 \cdot 4}$

Paso 15.4.2.3.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$f' (2) = \frac{4}{12}$

Paso 15.4.2.3.3

Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.4.2.3.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$f' (2) = \frac{4 (1)}{12}$

Paso 15.4.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.4.2.3.3.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Paso 15.4.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Paso 15.4.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (2) = \frac{1}{3}$

Paso 15.4.2.4

La respuesta final es $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 15.5

Sustituye cualquier número, como $6$ , del intervalo $(3, \infty)$ en la primera derivada $\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f' (6) = \frac{4 (2 (6) - 3)}{3 {(4 {(6)}^{2} - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.5.2.1

Factoriza $3$ de $4 (2 (6) - 3)$ .

$f' (6) = \frac{3 (4 (2 \cdot (2) - 1))}{3 {(4 {(6)}^{2} - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.5.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.5.2.2.1

Factoriza $3$ de $3 {(4 {(6)}^{2} - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (6) = \frac{3 (4 (2 \cdot (2) - 1))}{3 ({(4 {(6)}^{2} - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}})}$

Paso 15.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$f' (6) = \frac{3 (4 (2 \cdot (2) - 1))}{3 {(4 {(6)}^{2} - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (6) = \frac{4 (2 \cdot (2) - 1)}{{(4 {(6)}^{2} - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.5.2.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.5.2.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (6) = \frac{4 (4 - 1)}{{(4 \cdot 6^{2} - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.5.2.3.2

Resta $1$ de $4$ .

$f' (6) = \frac{4 \cdot 3}{{(4 \cdot 6^{2} - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.5.2.4

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.5.2.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.5.2.4.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f' (6) = \frac{4 \cdot 3}{{(4 \cdot 36 - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.5.2.4.1.2

Multiplica $4$ por $36$ .

$f' (6) = \frac{4 \cdot 3}{{(144 - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.5.2.4.1.3

Multiplica $- 12$ por $6$ .

$f' (6) = \frac{4 \cdot 3}{{(144 - 72)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.5.2.4.2

Resta $72$ de $144$ .

$f' (6) = \frac{4 \cdot 3}{72^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.5.2.5

Multiplica $4$ por $3$ .

$f' (6) = \frac{12}{72^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.5.2.6

La respuesta final es $\frac{12}{72^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{12}{72^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.6

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = 0$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 15.7

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = \frac{3}{2}$ , $x = \frac{3}{2}$ es un mínimo local.

$x = \frac{3}{2}$ es un mínimo local

Paso 15.8

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = 3$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 15.9

Estos son los extremos locales de $f (x) = \sqrt[3]{4 x^{2} - 12 x}$ .

$x = \frac{3}{2}$ es un mínimo local

Paso 16