Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} \ln (x)$

Paso 1

Escribe $y = x^{3} \ln (x)$ como una función.

$f (x) = x^{3} \ln (x)$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.3.1

Combina $x^{3}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3.2.2.5

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})$

Paso 2.3.4

Reordena los términos.

$x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} \ln (x))$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (3 x^{2} \ln (x))$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2} \ln (x)]$ .

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Paso 3.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2} \ln (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 \frac{d}{d x} (x^{2} \ln (x))$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 3.2.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (2 x))$

Paso 3.2.5

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) (2 x))$

Paso 3.2.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 3.2.6.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x))$

Paso 3.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x))$

Paso 3.2.6.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x))$

Paso 3.2.6.2.3

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x))$

Paso 3.2.6.2.4

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x}{1} + \ln (x) (2 x))$

Paso 3.2.6.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (x + \ln (x) (2 x))$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 2 x + 3 x + 3 (\ln (x) (2 x))$

Paso 3.3.2

Combina los términos.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 x + 6 (\ln (x) (x))$

Paso 3.3.2.2

Suma $2 x$ y $3 x$ .

$f'' (x) = 5 x + 6 \ln (x) x$

Paso 3.3.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = 6 x \ln (x) + 5 x$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$x^{2} + 3 x^{2} \ln (x) = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 5.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 5.1.3.1

Combina $x^{3}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 5.1.3.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 5.1.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 5.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 5.1.3.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 5.1.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 5.1.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 5.1.3.2.2.5

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 5.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})$

Paso 5.1.3.4

Reordena los términos.

$f' (x) = x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$ .

$x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x^{2} + 3 x^{2} \ln (x) = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x^{2} + 3 x^{2} \ln (x) = 0$

Paso 6.2

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} \ln (x) = - x^{2}$

Paso 6.3

Divide cada término en $3 x^{2} \ln (x) = - x^{2}$ por $3 x^{2}$ y simplifica.

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Paso 6.3.1

Divide cada término en $3 x^{2} \ln (x) = - x^{2}$ por $3 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} \ln (x)}{3 x^{2}} = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2} \ln (x)}{3 x^{2}} = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Paso 6.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} \ln (x)}{x^{2}} = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Paso 6.3.2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 6.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \ln (x)}{x^{2}} = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Paso 6.3.2.2.2

Divide $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 6.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$\ln (x) = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Paso 6.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\ln (x) = \frac{- 1}{3}$

Paso 6.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (x) = - \frac{1}{3}$

Paso 6.4

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{3}}$

Paso 6.5

Reescribe $\ln (x) = - \frac{1}{3}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{3}} = x$

Paso 6.6

Resuelve $x$

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Paso 6.6.1

Reescribe la ecuación como $x = e^{- \frac{1}{3}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{3}}$

Paso 6.6.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

Establece el argumento en $\ln (x)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x \leq 0$

Paso 7.2

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$6 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

Combina $6$ y $\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Paso 10.1.2

Mueve $e^{\frac{1}{3}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} \ln (e^{- \frac{1}{3}}) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Paso 10.1.3

Expande $\ln (e^{- \frac{1}{3}})$ ; para ello, mueve $- \frac{1}{3}$ fuera del logaritmo.

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{3} \ln (e)) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Paso 10.1.4

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{3} \cdot 1) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Paso 10.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{3}) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Paso 10.1.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.1.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3}$ al numerador.

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{- 1}{3} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Paso 10.1.6.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 (2)}{e^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{- 1}{3} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Paso 10.1.6.3

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 2}{e^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{- 1}{3} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Paso 10.1.6.4

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{e^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1 + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Paso 10.1.7

Combina $\frac{2}{e^{\frac{1}{3}}}$ y $- 1$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{e^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Paso 10.1.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2}{e^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Paso 10.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{e^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Paso 10.1.10

Combina $5$ y $\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{1}{3}}} + \frac{5}{e^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.2

Combina fracciones.

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Paso 10.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 + 5}{e^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.2.2

Suma $- 2$ y $5$ .

$\frac{3}{e^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})}^{3} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 12.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1^{3}}{{(e^{\frac{1}{3}})}^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Paso 12.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{1}{3}})}^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Paso 12.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 12.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 12.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{3} \cdot 3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Paso 12.2.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{3} \cdot 3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Paso 12.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Paso 12.2.2.2

Simplifica.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Paso 12.2.3

Mueve $e^{\frac{1}{3}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{3}})$

Paso 12.2.4

Expande $\ln (e^{- \frac{1}{3}})$ ; para ello, mueve $- \frac{1}{3}$ fuera del logaritmo.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot \ln (e))$

Paso 12.2.5

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot 1)$

Paso 12.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{3})$

Paso 12.2.7

Multiplica $\frac{1}{e}$ por $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = - \frac{1}{e \cdot 3}$

Paso 12.2.8

Mueve $3$ a la izquierda de $e$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = - \frac{1}{3 e}$

Paso 12.2.9

La respuesta final es $- \frac{1}{3 e}$ .

$y = - \frac{1}{3 e}$

Paso 13

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{3} \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}, - \frac{1}{3 e})$ es un mínimo local

Paso 14