Cálculo Ejemplos

$y = 3 \arccos (x^{6})$

Paso 1

Escribe $y = 3 \arccos (x^{6})$ como una función.

$f (x) = 3 \arccos (x^{6})$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \arccos (x^{6})$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\arccos (x^{6})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\arccos (x^{6})]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arccos (x)$ y $g (x) = x^{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{6}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 2.2.2

La derivada de $\arccos (u)$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$3 (- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{6}$ .

$3 (- \frac{1}{\sqrt{1 - {(x^{6})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{6})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{6 \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$3 (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{12}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 2.3.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{12}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 2.3.2.2

Combina $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ y $- 3$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{1 - x^{12}}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Paso 2.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{\sqrt{1 - x^{12}}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$- \frac{3}{\sqrt{1 - x^{12}}} (6 x^{5})$

Paso 2.3.4

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.4.1

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- 6 \frac{3}{\sqrt{1 - x^{12}}} x^{5}$

Paso 2.3.4.2

Combina $- 6$ y $\frac{3}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ .

$\frac{- 6 \cdot 3}{\sqrt{1 - x^{12}}} x^{5}$

Paso 2.3.4.3

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$\frac{- 18}{\sqrt{1 - x^{12}}} x^{5}$

Paso 2.3.4.4

Combina $\frac{- 18}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ y $x^{5}$ .

$\frac{- 18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}}$

Paso 2.3.4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - x^{12}}$ como ${(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{18 x^{5}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 3.1.2

Como $- 18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{18 x^{5}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $- 18 \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{d}{d x} \frac{x^{5}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{{({(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.3

Multiplica los exponentes en ${({(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{12}}$

Paso 3.4

Simplifica.

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{12}}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{12}}$

Paso 3.5.2

Mueve $5$ a la izquierda de ${(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 \cdot ({(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{12}}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 - x^{12}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - x^{12}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Paso 3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x^{12}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Paso 3.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Paso 3.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Paso 3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Paso 3.10

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Paso 3.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Paso 3.11

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Paso 3.11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 - x^{12})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{{(1 - x^{12})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Paso 3.11.3

Mueve ${(1 - x^{12})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Paso 3.11.4

Combina $\frac{1}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{5}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{12})}{1 - x^{12}}$

Paso 3.12

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{12}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{12}]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Paso 3.13

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Paso 3.14

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{12}]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{12})}{1 - x^{12}}$

Paso 3.15

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{12}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{12}]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{12})}{1 - x^{12}}$

Paso 3.16

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.16.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + 1 (\frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot \frac{d}{d x} (x^{12})}{1 - x^{12}}$

Paso 3.16.2

Multiplica $\frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{12})}{1 - x^{12}}$

Paso 3.17

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 12$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (12 x^{11})}{1 - x^{12}}$

Paso 3.18

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.18.1

Combina $12$ y $\frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x^{11}}{1 - x^{12}}$

Paso 3.18.2

Combina $\frac{12 x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{11}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 x^{5} x^{11}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Paso 3.19

Multiplica $x^{5}$ por $x^{11}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.19.1

Mueve $x^{11}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 (x^{11} x^{5})}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Paso 3.19.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 x^{11 + 5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Paso 3.19.3

Suma $11$ y $5$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 x^{16}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Paso 3.20

Factoriza $2$ de $12 x^{16}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{2 (6 x^{16})}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Paso 3.21

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.21.1

Factoriza $2$ de $2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{2 (6 x^{16})}{2 ({(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}})}}{1 - x^{12}}$

Paso 3.21.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{2 (6 x^{16})}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Paso 3.21.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{6 x^{16}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Paso 3.22

Reordena $1$ y $- x^{12}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Paso 3.23

Para escribir $5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Paso 3.24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Paso 3.25

Multiplica ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.25.1

Mueve ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} ({(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Paso 3.25.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Paso 3.25.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Paso 3.25.4

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{2}{2}} + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Paso 3.25.5

Divide $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Paso 3.26

Simplifica $5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{1}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Paso 3.27

Reescribe $\frac{\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$ como un producto.

$f'' (x) = - 18 (\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 - x^{12}})$

Paso 3.28

Multiplica $\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{1 - x^{12}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} (1 - x^{12})}$

Paso 3.29

Reordena los términos.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x^{12} + 1)}$

Paso 3.30

Multiplica ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $- x^{12} + 1$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.30.1

Multiplica ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $- x^{12} + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.30.1.1

Eleva $- x^{12} + 1$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x^{12} + 1)}$

Paso 3.30.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Paso 3.30.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 3.30.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 3.30.4

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.31

Combina $- 18$ y $\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 18 (5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.32

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.33

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.33.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{4} (- x^{12}) + 5 x^{4} \cdot 1 + 6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.33.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{4} (- x^{12})) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.33.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.33.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.33.3.1.1

Multiplica $x^{4}$ por $x^{12}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.33.3.1.1.1

Mueve $x^{12}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (5 (x^{12} x^{4}) \cdot - 1) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.33.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{12 + 4} \cdot - 1) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.33.3.1.1.3

Suma $12$ y $4$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{16} \cdot - 1) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.33.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (- 5 x^{16}) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.33.3.1.3

Multiplica $- 5$ por $18$ .

$f'' (x) = - \frac{- 90 x^{16} + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.33.3.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 90 x^{16} + 18 (5 x^{4}) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.33.3.1.5

Multiplica $5$ por $18$ .

$f'' (x) = - \frac{- 90 x^{16} + 90 x^{4} + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.33.3.1.6

Multiplica $6$ por $18$ .

$f'' (x) = - \frac{- 90 x^{16} + 90 x^{4} + 108 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.33.3.2

Suma $- 90 x^{16}$ y $108 x^{16}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{16} + 90 x^{4}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.33.4

Factoriza $18 x^{4}$ de $18 x^{16} + 90 x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.33.4.1

Factoriza $18 x^{4}$ de $18 x^{16}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{4} (x^{12}) + 90 x^{4}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.33.4.2

Factoriza $18 x^{4}$ de $90 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{4} (x^{12}) + 18 x^{4} (5)}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.33.4.3

Factoriza $18 x^{4}$ de $18 x^{4} (x^{12}) + 18 x^{4} (5)$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{4} (x^{12} + 5)}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}} = 0$

Paso 5

Establece el numerador igual a cero.

$18 x^{5} = 0$

Paso 6

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Divide cada término en $18 x^{5} = 0$ por $18$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Divide cada término en $18 x^{5} = 0$ por $18$ .

$\frac{18 x^{5}}{18} = \frac{0}{18}$

Paso 6.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.2.1

Cancela el factor común de $18$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{18 x^{5}}{18} = \frac{0}{18}$

Paso 6.1.2.1.2

Divide $x^{5}$ por $1$ .

$x^{5} = \frac{0}{18}$

Paso 6.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.3.1

Divide $0$ por $18$ .

$x^{5} = 0$

Paso 6.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[5]{0}$

Paso 6.3

Simplifica $\sqrt[5]{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Reescribe $0$ como $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Paso 6.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 7

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{18 {(0)}^{4} ({(0)}^{12} + 5)}{{(- {(0)}^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{18 \cdot 0^{4} (0 + 5)}{{(- 0^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 8.1.2

Suma $0$ y $5$ .

$- \frac{18 \cdot 0^{4} \cdot 5}{{(- 0^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 8.1.3

Multiplica $5$ por $18$ .

$- \frac{90 \cdot 0^{4}}{{(- 0^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 8.1.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{90 \cdot 0}{{(- 0^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 8.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{90 \cdot 0}{{(- 0 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- \frac{90 \cdot 0}{{(0 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 8.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$- \frac{90 \cdot 0}{1^{\frac{3}{2}}}$

Paso 8.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{90 \cdot 0}{1}$

Paso 8.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Multiplica $90$ por $0$ .

$- \frac{0}{1}$

Paso 8.3.2

Divide $0$ por $1$ .

$- 0$

Paso 8.3.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0$

Paso 9

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 9.2

Sustituye cualquier número, como $- 0.5$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $- \frac{18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.5$ en la expresión.

$f' (- 0.5) = - \frac{18 {(- 0.5)}^{5}}{\sqrt{1 - {(- 0.5)}^{12}}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Eleva $- 0.5$ a la potencia de $5$ .

$f' (- 0.5) = - \frac{18 \cdot - 0.03125}{\sqrt{1 - {(- 0.5)}^{12}}}$

Paso 9.2.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.2.1

Eleva $- 0.5$ a la potencia de $12$ .

$f' (- 0.5) = - \frac{18 \cdot - 0.03125}{\sqrt{1 - 1 \cdot 0.00024414}}$

Paso 9.2.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $0.00024414$ .

$f' (- 0.5) = - \frac{18 \cdot - 0.03125}{\sqrt{1 - 0.00024414}}$

Paso 9.2.2.2.3

Resta $0.00024414$ de $1$ .

$f' (- 0.5) = - \frac{18 \cdot - 0.03125}{\sqrt{0.99975585}}$

Paso 9.2.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.3.1

Multiplica $18$ por $- 0.03125$ .

$f' (- 0.5) = - \frac{- 0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$

Paso 9.2.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$

Paso 9.2.2.4

Multiplica $\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$ por $\frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}} \cdot \frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$

Paso 9.2.2.5

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.5.1

Multiplica $\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$ por $\frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

Paso 9.2.2.5.2

Eleva $\sqrt{0.99975585}$ a la potencia de $1$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

Paso 9.2.2.5.3

Eleva $\sqrt{0.99975585}$ a la potencia de $1$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

Paso 9.2.2.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{\sqrt{0.99975585}}^{1 + 1}}$

Paso 9.2.2.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{\sqrt{0.99975585}}^{2}}$

Paso 9.2.2.5.6

Reescribe ${\sqrt{0.99975585}}^{2}$ como $0.99975585$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{0.99975585}$ como ${0.99975585}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{({0.99975585}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.2.2.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.2.2.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.2.2.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.2.2.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{0.99975585}$

Paso 9.2.2.5.6.5

Evalúa el exponente.

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{0.99975585}$

Paso 9.2.2.6

Multiplica $0.5625$ por $\sqrt{0.99975585}$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.56243133}{0.99975585}$

Paso 9.2.2.7

Divide $0.56243133$ por $0.99975585$ .

$f' (- 0.5) = - (- 1 \cdot 0.56256867)$

Paso 9.2.2.8

Multiplica $- (- 1 \cdot 0.56256867)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.8.1

Multiplica $- 1$ por $0.56256867$ .

$f' (- 0.5) = 0.56256867$

Paso 9.2.2.8.2

Multiplica $- 1$ por $- 0.56256867$ .

$f' (- 0.5) = 0.56256867$

Paso 9.2.2.9

La respuesta final es $0.56256867$ .

$0.56256867$

Paso 9.3

Sustituye cualquier número, como $0.5$ , del intervalo $(0, \infty)$ en la primera derivada $- \frac{18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.5$ en la expresión.

$f' (0.5) = - \frac{18 {(0.5)}^{5}}{\sqrt{1 - {(0.5)}^{12}}}$

Paso 9.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.2.1

Eleva $0.5$ a la potencia de $5$ .

$f' (0.5) = - \frac{18 \cdot 0.03125}{\sqrt{1 - {0.5}^{12}}}$

Paso 9.3.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.2.2.1

Eleva $0.5$ a la potencia de $12$ .

$f' (0.5) = - \frac{18 \cdot 0.03125}{\sqrt{1 - 1 \cdot 0.00024414}}$

Paso 9.3.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $0.00024414$ .

$f' (0.5) = - \frac{18 \cdot 0.03125}{\sqrt{1 - 0.00024414}}$

Paso 9.3.2.2.3

Resta $0.00024414$ de $1$ .

$f' (0.5) = - \frac{18 \cdot 0.03125}{\sqrt{0.99975585}}$

Paso 9.3.2.3

Multiplica $18$ por $0.03125$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$

Paso 9.3.2.4

Multiplica $\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$ por $\frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$ .

$f' (0.5) = - (\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}} \cdot \frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}})$

Paso 9.3.2.5

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.2.5.1

Multiplica $\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$ por $\frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

Paso 9.3.2.5.2

Eleva $\sqrt{0.99975585}$ a la potencia de $1$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

Paso 9.3.2.5.3

Eleva $\sqrt{0.99975585}$ a la potencia de $1$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

Paso 9.3.2.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{\sqrt{0.99975585}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.2.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{\sqrt{0.99975585}}^{2}}$

Paso 9.3.2.5.6

Reescribe ${\sqrt{0.99975585}}^{2}$ como $0.99975585$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.2.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{0.99975585}$ como ${0.99975585}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{({0.99975585}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.2.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.2.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.2.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.2.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.2.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{0.99975585}$

Paso 9.3.2.5.6.5

Evalúa el exponente.

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{0.99975585}$

Paso 9.3.2.6

Multiplica $0.5625$ por $\sqrt{0.99975585}$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.56243133}{0.99975585}$

Paso 9.3.2.7

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.2.7.1

Divide $0.56243133$ por $0.99975585$ .

$f' (0.5) = - 1 \cdot 0.56256867$

Paso 9.3.2.7.2

Multiplica $- 1$ por $0.56256867$ .

$f' (0.5) = - 0.56256867$

Paso 9.3.2.8

La respuesta final es $- 0.56256867$ .

$- 0.56256867$

Paso 9.4

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un máximo local.

$x = 0$ es un máximo local

Paso 10