Cálculo Ejemplos

$y = - 3 x + \sin (6 x)$

Paso 1

Escribe $y = - 3 x + \sin (6 x)$ como una función.

$f (x) = - 3 x + \sin (6 x)$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 x + \sin (6 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3 + \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x$ .

$- 3 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2.3.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$- 3 + \cos (u) \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x$ .

$- 3 + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2.3.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 + \cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 + \cos (6 x) (6 \cdot 1)$

Paso 2.3.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$- 3 + \cos (6 x) \cdot 6$

Paso 2.3.5

Mueve $6$ a la izquierda de $\cos (6 x)$ .

$- 3 + 6 \cos (6 x)$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 + 6 \cos (6 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [6 \cos (6 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3) + \frac{d}{d x} (6 \cos (6 x))$

Paso 3.1.2

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (6 \cos (6 x))$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 \cos (6 x)]$ .

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Paso 3.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 \cos (6 x)$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 6 \frac{d}{d x} (\cos (6 x))$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (6 x))$

Paso 3.2.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (6 x))$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} (6 x))$

Paso 3.2.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- \sin (6 x) (6 \cdot 1))$

Paso 3.2.5

Multiplica $6$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- \sin (6 x) \cdot 6)$

Paso 3.2.6

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- 6 \sin (6 x))$

Paso 3.2.7

Multiplica $- 6$ por $6$ .

$f'' (x) = 0 - 36 \sin (6 x)$

Paso 3.3

Resta $36 \sin (6 x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 36 \sin (6 x)$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 3 + 6 \cos (6 x) = 0$

Paso 5

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$6 \cos (6 x) = 3$

Paso 6

Divide cada término en $6 \cos (6 x) = 3$ por $6$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $6 \cos (6 x) = 3$ por $6$ .

$\frac{6 \cos (6 x)}{6} = \frac{3}{6}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 \cos (6 x)}{6} = \frac{3}{6}$

Paso 6.2.1.2

Divide $\cos (6 x)$ por $1$ .

$\cos (6 x) = \frac{3}{6}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 6.3.1.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\cos (6 x) = \frac{3 (1)}{6}$

Paso 6.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\cos (6 x) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Paso 6.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\cos (6 x) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Paso 6.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\cos (6 x) = \frac{1}{2}$

Paso 7

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$6 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Paso 8

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$6 x = \frac{π}{3}$

Paso 9

Divide cada término en $6 x = \frac{π}{3}$ por $6$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $6 x = \frac{π}{3}$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{\frac{π}{3}}{6}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\frac{π}{3}}{6}$

Paso 9.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{6}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{6}$

Paso 9.3.2

Multiplica $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{6}$ .

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Paso 9.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{1}{6}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 6}$

Paso 9.3.2.2

Multiplica $3$ por $6$ .

$x = \frac{π}{18}$

Paso 10

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$6 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 11

Resuelve $x$

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Paso 11.1

Simplifica.

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Paso 11.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$6 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 11.1.2

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$6 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 11.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 11.1.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 x = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 11.1.5

Resta $π$ de $6 π$ .

$6 x = \frac{5 π}{3}$

Paso 11.2

Divide cada término en $6 x = \frac{5 π}{3}$ por $6$ y simplifica.

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Paso 11.2.1

Divide cada término en $6 x = \frac{5 π}{3}$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{\frac{5 π}{3}}{6}$

Paso 11.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 11.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\frac{5 π}{3}}{6}$

Paso 11.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{6}$

Paso 11.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{6}$

Paso 11.2.3.2

Multiplica $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{6}$ .

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Paso 11.2.3.2.1

Multiplica $\frac{5 π}{3}$ por $\frac{1}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 6}$

Paso 11.2.3.2.2

Multiplica $3$ por $6$ .

$x = \frac{5 π}{18}$

Paso 12

La solución a la ecuación $6 x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{18}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 36 \sin (6 (\frac{π}{18}))$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 14.1.1

Factoriza $6$ de $18$ .

$- 36 \sin (6 \frac{π}{6 (3)})$

Paso 14.1.2

Cancela el factor común.

$- 36 \sin (6 \frac{π}{6 \cdot 3})$

Paso 14.1.3

Reescribe la expresión.

$- 36 \sin (\frac{π}{3})$

Paso 14.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 36 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 14.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.3.1

Factoriza $2$ de $- 36$ .

$2 (- 18) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 14.3.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 18 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 14.3.3

Reescribe la expresión.

$- 18 \sqrt{3}$

Paso 15

$x = \frac{π}{18}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{π}{18}$ es un máximo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{18}$ .

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Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{18}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{18}) = - 3 \frac{π}{18} + \sin (6 (\frac{π}{18}))$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

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Paso 16.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 16.2.1.1.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$f (\frac{π}{18}) = 3 (- 1) (\frac{π}{18}) + \sin (6 (\frac{π}{18}))$

Paso 16.2.1.1.2

Factoriza $3$ de $18$ .

$f (\frac{π}{18}) = 3 \cdot (- 1 \frac{π}{3 \cdot 6}) + \sin (6 (\frac{π}{18}))$

Paso 16.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{18}) = 3 \cdot (- 1 \frac{π}{3 \cdot 6}) + \sin (6 (\frac{π}{18}))$

Paso 16.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{18}) = - 1 \frac{π}{6} + \sin (6 (\frac{π}{18}))$

Paso 16.2.1.2

Reescribe $- 1 \frac{π}{6}$ como $- \frac{π}{6}$ .

$f (\frac{π}{18}) = - \frac{π}{6} + \sin (6 (\frac{π}{18}))$

Paso 16.2.1.3

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 16.2.1.3.1

Factoriza $6$ de $18$ .

$f (\frac{π}{18}) = - \frac{π}{6} + \sin (6 (\frac{π}{6 (3)}))$

Paso 16.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{18}) = - \frac{π}{6} + \sin (6 (\frac{π}{6 \cdot 3}))$

Paso 16.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{18}) = - \frac{π}{6} + \sin (\frac{π}{3})$

Paso 16.2.1.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{18}) = - \frac{π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 16.2.2

La respuesta final es $- \frac{π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = - \frac{π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{5 π}{18}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 36 \sin (6 (\frac{5 π}{18}))$

Paso 18

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 18.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 18.1.1

Factoriza $6$ de $18$ .

$- 36 \sin (6 \frac{5 π}{6 (3)})$

Paso 18.1.2

Cancela el factor común.

$- 36 \sin (6 \frac{5 π}{6 \cdot 3})$

Paso 18.1.3

Reescribe la expresión.

$- 36 \sin (\frac{5 π}{3})$

Paso 18.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$- 36 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Paso 18.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 36 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 18.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 18.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ al numerador.

$- 36 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 18.4.2

Factoriza $2$ de $- 36$ .

$2 (- 18) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 18.4.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 18 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 18.4.4

Reescribe la expresión.

$- 18 (- \sqrt{3})$

Paso 18.5

Multiplica $- 1$ por $- 18$ .

$18 \sqrt{3}$

Paso 19

$x = \frac{5 π}{18}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{5 π}{18}$ es un mínimo local

Paso 20

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{5 π}{18}$ .

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Paso 20.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5 π}{18}$ en la expresión.

$f (\frac{5 π}{18}) = - 3 \frac{5 π}{18} + \sin (6 (\frac{5 π}{18}))$

Paso 20.2

Simplifica el resultado.

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Paso 20.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 20.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 20.2.1.1.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 3 (- 1) (\frac{5 π}{18}) + \sin (6 (\frac{5 π}{18}))$

Paso 20.2.1.1.2

Factoriza $3$ de $18$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 3 \cdot (- 1 \frac{5 π}{3 \cdot 6}) + \sin (6 (\frac{5 π}{18}))$

Paso 20.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 π}{18}) = 3 \cdot (- 1 \frac{5 π}{3 \cdot 6}) + \sin (6 (\frac{5 π}{18}))$

Paso 20.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 π}{18}) = - 1 \frac{5 π}{6} + \sin (6 (\frac{5 π}{18}))$

Paso 20.2.1.2

Reescribe $- 1 \frac{5 π}{6}$ como $- \frac{5 π}{6}$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = - \frac{5 π}{6} + \sin (6 (\frac{5 π}{18}))$

Paso 20.2.1.3

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 20.2.1.3.1

Factoriza $6$ de $18$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = - \frac{5 π}{6} + \sin (6 (\frac{5 π}{6 (3)}))$

Paso 20.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 π}{18}) = - \frac{5 π}{6} + \sin (6 (\frac{5 π}{6 \cdot 3}))$

Paso 20.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 π}{18}) = - \frac{5 π}{6} + \sin (\frac{5 π}{3})$

Paso 20.2.1.4

$f (\frac{5 π}{18}) = - \frac{5 π}{6} - \sin (\frac{π}{3})$

Paso 20.2.1.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = - \frac{5 π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 20.2.2

La respuesta final es $- \frac{5 π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = - \frac{5 π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 21

Estos son los extremos locales de $f (x) = - 3 x + \sin (6 x)$ .

$(\frac{π}{18}, - \frac{π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ es un máximo local

$(\frac{5 π}{18}, - \frac{5 π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2})$ es un mínimo local

Paso 22