Cálculo Ejemplos

$y = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$

Paso 1

Escribe $y = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$ como una función.

$f (x) = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$ .

$\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 13$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 13 \cos (h x)$ con respecto a $x$ es $- 13 \frac{d}{d x} [\cos (h x)]$ .

$- 13 \frac{d}{d x} [\cos (h x)] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = h x$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $h x$ .

$- 13 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [h x]) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Paso 2.2.2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- 13 (- \sin (h x) \frac{d}{d x} [h x]) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Paso 2.2.3

Como $h$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $h x$ con respecto a $x$ es $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 13 (- \sin (h x) (h \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 13 (- \sin (h x) (h \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Paso 2.2.5

Multiplica $h$ por $1$ .

$- 13 (- \sin (h x) h) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Paso 2.2.6

Multiplica $- 1$ por $- 13$ .

$13 \sin (h x) h + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$ .

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Paso 2.3.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 \sin (h x)$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$ .

$13 \sin (h x) h + 12 \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = h x$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $h x$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [h x])$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) \frac{d}{d x} [h x])$

Paso 2.3.3

Como $h$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $h x$ con respecto a $x$ es $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) (h \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) (h \cdot 1))$

Paso 2.3.5

Multiplica $h$ por $1$ .

$13 \sin (h x) h + 12 \cos (h x) h$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x)$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [13 h \sin (h x)] + \frac{d}{d x} [12 h \cos (h x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (13 h \sin (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [13 h \sin (h x)]$ .

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Paso 3.2.1

Como $13 h$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $13 h \sin (h x)$ con respecto a $x$ es $13 h \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$ .

$f'' (x) = 13 h \frac{d}{d x} (\sin (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = h x$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $h x$ .

$f'' (x) = 13 h (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Paso 3.2.2.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $h x$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Paso 3.2.3

Como $h$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $h x$ con respecto a $x$ es $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) (h \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) (h \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Paso 3.2.5

Multiplica $h$ por $1$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) h) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Paso 3.2.6

Eleva $h$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 13 (h \cdot h) \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Paso 3.2.7

Eleva $h$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 13 (h \cdot h) \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Paso 3.2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 13 h^{1 + 1} \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Paso 3.2.9

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 h \cos (h x)]$ .

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Paso 3.3.1

Como $12 h$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 h \cos (h x)$ con respecto a $x$ es $12 h \frac{d}{d x} [\cos (h x)]$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h \frac{d}{d x} (\cos (h x))$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = h x$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $h x$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (h x))$

Paso 3.3.2.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (h x))$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $h x$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) \frac{d}{d x} (h x))$

Paso 3.3.3

Como $h$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $h x$ con respecto a $x$ es $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) (h \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) (h \cdot 1))$

Paso 3.3.5

Multiplica $h$ por $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) h)$

Paso 3.3.6

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h (\sin (h x) h)$

Paso 3.3.7

Eleva $h$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 (h \cdot h) \sin (h x)$

Paso 3.3.8

Eleva $h$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 (h \cdot h) \sin (h x)$

Paso 3.3.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h^{1 + 1} \sin (h x)$

Paso 3.3.10

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h^{2} \sin (h x)$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x) = 0$

Paso 5

Divide cada término en la ecuación por $\cos (h x)$ .

$\frac{13 h \sin (h x)}{\cos (h x)} + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Paso 6

Separa las fracciones.

$\frac{13 h}{1} \cdot \frac{\sin (h x)}{\cos (h x)} + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Paso 7

Convierte de $\frac{\sin (h x)}{\cos (h x)}$ a $\tan (h x)$ .

$\frac{13 h}{1} \cdot \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Paso 8

Divide $13 h$ por $1$ .

$13 h \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Paso 9

Cancela el factor común de $\cos (h x)$ .

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Paso 9.1

Cancela el factor común.

$13 h \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Paso 9.2

Divide $12 h$ por $1$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{\cos (h x)}$

Paso 10

Separa las fracciones.

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (h x)}$

Paso 11

Convierte de $\frac{1}{\cos (h x)}$ a $\sec (h x)$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{1} \cdot \sec (h x)$

Paso 12

Divide $0$ por $1$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = 0 \sec (h x)$

Paso 13

Multiplica $0$ por $\sec (h x)$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = 0$

Paso 14

Resta $12 h$ de ambos lados de la ecuación.

$13 h \tan (h x) = - 12 h$

Paso 15

Divide cada término en $13 h \tan (h x) = - 12 h$ por $13 h$ y simplifica.

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Paso 15.1

Divide cada término en $13 h \tan (h x) = - 12 h$ por $13 h$ .

$\frac{13 h \tan (h x)}{13 h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Paso 15.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 15.2.1

Cancela el factor común de $13$ .

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Paso 15.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{13 h \tan (h x)}{13 h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Paso 15.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{h \tan (h x)}{h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Paso 15.2.2

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 15.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{h \tan (h x)}{h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Paso 15.2.2.2

Divide $\tan (h x)$ por $1$ .

$\tan (h x) = \frac{- 12 h}{13 h}$

Paso 15.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 15.3.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 15.3.1.1

Cancela el factor común.

$\tan (h x) = \frac{- 12 h}{13 h}$

Paso 15.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\tan (h x) = \frac{- 12}{13}$

Paso 15.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\tan (h x) = - \frac{12}{13}$

Paso 16

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$h x = \arctan (- \frac{12}{13})$

Paso 17

Simplifica el lado derecho.

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Paso 17.1

Evalúa $\arctan (- \frac{12}{13})$ .

$h x = - 0.74541947$

Paso 18

Divide cada término en $h x = - 0.74541947$ por $h$ y simplifica.

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Paso 18.1

Divide cada término en $h x = - 0.74541947$ por $h$ .

$\frac{h x}{h} = \frac{- 0.74541947}{h}$

Paso 18.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 18.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 18.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{h x}{h} = \frac{- 0.74541947}{h}$

Paso 18.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 0.74541947}{h}$

Paso 18.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 18.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{0.74541947}{h}$

Paso 19

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$h x = - 0.74541947 - (3.14159265)$

Paso 20

Suma $2 π$ a $- 0.74541947 - (3.14159265)$ .

$h x = - 0.74541947 - (3.14159265) + 2 π$

Paso 21

El ángulo resultante de $2.39617317$ es positivo y coterminal con $- 0.74541947 - (3.14159265)$ .

$h x = 2.39617317$

Paso 22

Divide cada término en $h x = 2.39617317$ por $h$ y simplifica.

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Paso 22.1

Divide cada término en $h x = 2.39617317$ por $h$ .

$\frac{h x}{h} = \frac{2.39617317}{h}$

Paso 22.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 22.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 22.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{h x}{h} = \frac{2.39617317}{h}$

Paso 22.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2.39617317}{h}$

Paso 23

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{2.39617317}{h}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$13 h^{2} \cos (h (\frac{2.39617317}{h})) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

Paso 24

Simplifica cada término.

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Paso 24.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 24.1.1

Cancela el factor común.

$13 h^{2} \cos (h \frac{2.39617317}{h}) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

Paso 24.1.2

Reescribe la expresión.

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

Paso 24.2

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 24.2.1

Cancela el factor común.

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (h \frac{2.39617317}{h})$

Paso 24.2.2

Reescribe la expresión.

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (2.39617317)$

Paso 25

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 26