Cálculo Ejemplos

$y = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$

Paso 1

Escribe $y = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ como una función.

$f (x) = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 700 - \frac{4 x}{3}$ y $g (x) = x$ .

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Paso 2.3.2

Multiplica $700 - \frac{4 x}{3}$ por $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $700 - \frac{4 x}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Paso 2.3.4

Como $700$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $700$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Paso 2.3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}])$

Paso 2.3.6

Como $- \frac{4}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{4 x}{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.3.7

Combina fracciones.

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Paso 2.3.7.1

Combina $x$ y $\frac{4}{3}$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{x \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.7.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 \cdot x}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3} \cdot 1)$

Paso 2.3.9

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3})$

Paso 2.3.9.2

Resta $\frac{4 x}{3}$ de $- \frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 - 2 \frac{4 x}{3})$

Paso 2.3.9.3

Combina $- 2$ y $\frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 + \frac{- 2 (4 x)}{3})$

Paso 2.3.9.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.9.4.1

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$2 (700 + \frac{- 8 x}{3})$

Paso 2.3.9.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (700 - \frac{8 x}{3})$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 700 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica $2$ por $700$ .

$1400 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Paso 2.4.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$1400 - 2 \frac{8 x}{3}$

Paso 2.4.2.3

Combina $- 2$ y $\frac{8 x}{3}$ .

$1400 + \frac{- 2 (8 x)}{3}$

Paso 2.4.2.4

Multiplica $8$ por $- 2$ .

$1400 + \frac{- 16 x}{3}$

Paso 2.4.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1400 - \frac{16 x}{3}$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$- \frac{16 x}{3} + 1400$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{16 x}{3} + 1400$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{16 x}{3}] + \frac{d}{d x} [1400]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{16 x}{3}) + \frac{d}{d x} (1400)$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{16 x}{3}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- \frac{16}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{16 x}{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{16}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1400)$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1400)$

Paso 3.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} + \frac{d}{d x} (1400)$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.3.1

Como $1400$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1400$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} + 0$

Paso 3.3.2

Suma $- \frac{16}{3}$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{16 x}{3} + 1400 = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$

Paso 5.1.2

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Paso 5.1.3

Diferencia.

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Paso 5.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Paso 5.1.3.2

Multiplica $700 - \frac{4 x}{3}$ por $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Paso 5.1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $700 - \frac{4 x}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Paso 5.1.3.4

Como $700$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $700$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Paso 5.1.3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}])$

Paso 5.1.3.6

Como $- \frac{4}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{4 x}{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.1.3.7

Combina fracciones.

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Paso 5.1.3.7.1

Combina $x$ y $\frac{4}{3}$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{x \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.1.3.7.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 \cdot x}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3} \cdot 1)$

Paso 5.1.3.9

Simplifica los términos.

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Paso 5.1.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3})$

Paso 5.1.3.9.2

Resta $\frac{4 x}{3}$ de $- \frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 - 2 \frac{4 x}{3})$

Paso 5.1.3.9.3

Combina $- 2$ y $\frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 + \frac{- 2 (4 x)}{3})$

Paso 5.1.3.9.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.3.9.4.1

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$2 (700 + \frac{- 8 x}{3})$

Paso 5.1.3.9.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (700 - \frac{8 x}{3})$

Paso 5.1.4

Simplifica.

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Paso 5.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 700 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Paso 5.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 5.1.4.2.1

Multiplica $2$ por $700$ .

$1400 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Paso 5.1.4.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$1400 - 2 \frac{8 x}{3}$

Paso 5.1.4.2.3

Combina $- 2$ y $\frac{8 x}{3}$ .

$1400 + \frac{- 2 (8 x)}{3}$

Paso 5.1.4.2.4

Multiplica $8$ por $- 2$ .

$1400 + \frac{- 16 x}{3}$

Paso 5.1.4.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1400 - \frac{16 x}{3}$

Paso 5.1.4.3

Reordena los términos.

$f' (x) = - \frac{16 x}{3} + 1400$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{16 x}{3} + 1400$ .

$- \frac{16 x}{3} + 1400$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{16 x}{3} + 1400 = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{16 x}{3} + 1400 = 0$

Paso 6.2

Resta $1400$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{16 x}{3} = - 1400$

Paso 6.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- \frac{3}{16}$ .

$- \frac{3}{16} (- \frac{16 x}{3}) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Paso 6.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1.1

Simplifica $- \frac{3}{16} (- \frac{16 x}{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{16}$ al numerador.

$\frac{- 3}{16} (- \frac{16 x}{3}) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Paso 6.4.1.1.1.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{16 x}{3}$ al numerador.

$\frac{- 3}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Paso 6.4.1.1.1.3

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Paso 6.4.1.1.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot - 1}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Paso 6.4.1.1.1.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{16} (- 16 x) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Paso 6.4.1.1.2

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 6.4.1.1.2.1

Factoriza $16$ de $- 16 x$ .

$\frac{- 1}{16} (16 (- x)) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Paso 6.4.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{16} (16 (- x)) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Paso 6.4.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- - x = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Paso 6.4.1.1.3

Multiplica.

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Paso 6.4.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 x = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Paso 6.4.1.1.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica $- \frac{3}{16} \cdot - 1400$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 6.4.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{16}$ al numerador.

$x = \frac{- 3}{16} \cdot - 1400$

Paso 6.4.2.1.1.2

Factoriza $8$ de $16$ .

$x = \frac{- 3}{8 (2)} \cdot - 1400$

Paso 6.4.2.1.1.3

Factoriza $8$ de $- 1400$ .

$x = \frac{- 3}{8 \cdot 2} \cdot (8 \cdot - 175)$

Paso 6.4.2.1.1.4

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 3}{8 \cdot 2} \cdot (8 \cdot - 175)$

Paso 6.4.2.1.1.5

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 3}{2} \cdot - 175$

Paso 6.4.2.1.2

Combina $\frac{- 3}{2}$ y $- 175$ .

$x = \frac{- 3 \cdot - 175}{2}$

Paso 6.4.2.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 175$ .

$x = \frac{525}{2}$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{525}{2}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{525}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{16}{3}$

Paso 10

$x = \frac{525}{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{525}{2}$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{525}{2}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{525}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{525}{2}) = 2 (700 - \frac{4 (\frac{525}{2})}{3}) (\frac{525}{2})$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica los términos.

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Paso 11.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{525}{2}) = 2 (700 - \frac{4 (\frac{525}{2})}{3}) (\frac{525}{2})$

Paso 11.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{4 (\frac{525}{2})}{3}) \cdot 525$

Paso 11.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{525}{2}$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{4 \cdot 525}{2}}{3}) \cdot 525$

Paso 11.2.1.3

Multiplica $4$ por $525$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2100}{2}}{3}) \cdot 525$

Paso 11.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.2.1

Cancela el factor común de $2100$ y $2$ .

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Paso 11.2.2.1.1

Factoriza $2$ de $2100$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2 \cdot 1050}{2}}{3}) \cdot 525$

Paso 11.2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2 \cdot 1050}{2 (1)}}{3}) \cdot 525$

Paso 11.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2 \cdot 1050}{2 \cdot 1}}{3}) \cdot 525$

Paso 11.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{1050}{1}}{3}) \cdot 525$

Paso 11.2.2.1.2.4

Divide $1050$ por $1$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{1050}{3}) \cdot 525$

Paso 11.2.2.2

Cancela el factor común de $1050$ y $3$ .

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Paso 11.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $1050$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{3 \cdot 350}{3}) \cdot 525$

Paso 11.2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{3 \cdot 350}{3 (1)}) \cdot 525$

Paso 11.2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{3 \cdot 350}{3 \cdot 1}) \cdot 525$

Paso 11.2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{350}{1}) \cdot 525$

Paso 11.2.2.2.2.4

Divide $350$ por $1$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - 1 \cdot 350) \cdot 525$

Paso 11.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $350$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - 350) \cdot 525$

Paso 11.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 11.2.3.1

Resta $350$ de $700$ .

$f (\frac{525}{2}) = 350 \cdot 525$

Paso 11.2.3.2

Multiplica $350$ por $525$ .

$f (\frac{525}{2}) = 183750$

Paso 11.2.4

La respuesta final es $183750$ .

$y = 183750$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ .

$(\frac{525}{2}, 183750)$ es un máximo local

Paso 13