Cálculo Ejemplos

$y = 2 (\frac{1}{\sin (x)})$

Paso 1

Escribe $y = 2 (\frac{1}{\sin (x)})$ como una función.

$f (x) = 2 (\frac{1}{\sin (x)})$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 \csc (x)]$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \csc (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Paso 2.3

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$2 (- \csc (x) \cot (x))$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 (\csc (x) \cot (x))$

Paso 2.4.2

Reordena los factores de $- 2 \csc (x) \cot (x)$ .

$- 2 \cot (x) \csc (x)$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \cot (x) \csc (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (\cot (x) \csc (x))$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cot (x)$ y $g (x) = \csc (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cot (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Paso 3.3

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Paso 3.4

Eleva $\cot (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Paso 3.5

Eleva $\cot (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Paso 3.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Paso 3.7

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Paso 3.8

La derivada de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc^{2} (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

Paso 3.9

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc (x) \csc^{2} (x)))$

Paso 3.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

Paso 3.11

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

Paso 3.12

Simplifica.

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Paso 3.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x)) - 2 (- \csc^{3} (x))$

Paso 3.12.2

Combina los términos.

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Paso 3.12.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\csc (x) \cot^{2} (x)) - 2 (- \csc^{3} (x))$

Paso 3.12.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 2 \csc (x) \cot^{2} (x) + 2 \csc^{3} (x)$

Paso 3.12.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = 2 \cot^{2} (x) \csc (x) + 2 \csc^{3} (x)$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 2 \cot (x) \csc (x) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

Paso 6

Establece $\cot (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $\cot (x)$ igual a $0$ .

$\cot (x) = 0$

Paso 6.2

Resuelve $\cot (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cotangente.

$x = arccot (0)$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1

El valor exacto de $arccot (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 6.2.3

La función cotangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{2}$

Paso 6.2.4

Simplifica $π + \frac{π}{2}$ .

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Paso 6.2.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 6.2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 6.2.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 6.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Paso 6.2.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.4.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Paso 6.2.4.3.2

Suma $2 π$ y $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 6.2.5

La solución a la ecuación $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Paso 7

Establece $\csc (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $\csc (x)$ igual a $0$ .

$\csc (x) = 0$

Paso 7.2

El rango de la cosecante es $y \leq - 1$ y $y \geq 1$ . Como $0$ no se encuentra en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 2 \cot (x) \csc (x) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$2 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \csc (\frac{π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$2 \cdot 0^{2} \csc (\frac{π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$2 \cdot 0 \csc (\frac{π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$0 \csc (\frac{π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.4

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$0 \cdot 1 + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.5

Multiplica $0$ por $1$ .

$0 + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.6

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$0 + 2 \cdot 1^{3}$

Paso 10.1.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$0 + 2 \cdot 1$

Paso 10.1.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 + 2$

Paso 10.2

Suma $0$ y $2$ .

$2$

Paso 11

$x = \frac{π}{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{π}{2}$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{2}$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = 2 (\frac{1}{\sin (\frac{π}{2})})$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 (\frac{1}{1})$

Paso 12.2.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 12.2.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{2}) = 2 (\frac{1}{1})$

Paso 12.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1$

Paso 12.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2$

Paso 12.2.4

La respuesta final es $2$ .

$y = 2$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{3 π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$2 \cot^{2} (\frac{3 π}{2}) \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la cotangente es negativa en el cuarto cuadrante.

$2 {(- \cot (\frac{π}{2}))}^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.2

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$2 {(- 0)}^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$2 \cdot 0^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$2 \cdot 0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.5

Multiplica $2$ por $0$ .

$0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.6

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la cosecante es negativa en el cuarto cuadrante.

$0 (- \csc (\frac{π}{2})) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.7

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.8

Multiplica $0 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 14.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 \cdot - 1 + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.8.2

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.9

$0 + 2 {(- \csc (\frac{π}{2}))}^{3}$

Paso 14.1.10

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$0 + 2 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Paso 14.1.11

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 + 2 {(- 1)}^{3}$

Paso 14.1.12

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$0 + 2 \cdot - 1$

Paso 14.1.13

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2$

Paso 14.2

Resta $2$ de $0$ .

$- 2$

Paso 15

$x = \frac{3 π}{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{3 π}{2}$ es un máximo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3 π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (\frac{1}{\sin (\frac{3 π}{2})})$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

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Paso 16.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 16.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (\frac{1}{- \sin (\frac{π}{2})})$

Paso 16.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (\frac{1}{- 1 \cdot 1})$

Paso 16.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (\frac{1}{- 1})$

Paso 16.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 16.2.2.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot - 1$

Paso 16.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2$

Paso 16.2.3

La respuesta final es $- 2$ .

$y = - 2$

Paso 17

Estos son los extremos locales de $f (x) = 2 (\frac{1}{\sin (x)})$ .

$(\frac{π}{2}, 2)$ es un mínimo local

$(\frac{3 π}{2}, - 2)$ es un máximo local

Paso 18