Cálculo Ejemplos

$y = x e^{\frac{1}{x}}$

Paso 1

Escribe $y = x e^{\frac{1}{x}}$ como una función.

$f (x) = x e^{\frac{1}{x}}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{\frac{1}{x}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.3.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{- 2} x^{1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{- 2 + 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $- 2$ y $1$ .

$x^{- 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{\frac{1}{x}}$ .

$x^{- 1} (- 1 \cdot e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.6.3

Reescribe $- 1 e^{\frac{1}{x}}$ como $- e^{\frac{1}{x}}$ .

$x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \cdot 1$

Paso 2.8

Multiplica $e^{\frac{1}{x}}$ por $1$ .

$x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}}$

Paso 2.9

Simplifica.

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Paso 2.9.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}}$

Paso 2.9.2

Combina $\frac{1}{x}$ y $e^{\frac{1}{x}}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}] + \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{\frac{1}{x}}$ y $g (x) = x$ .

$f'' (x) = - \frac{x \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 3.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Paso 3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Paso 3.2.4

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x^{- 1})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Paso 3.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Paso 3.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Paso 3.2.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Paso 3.2.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 2} x (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Paso 3.2.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{x^{- 2 + 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Paso 3.2.10

Suma $- 2$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Paso 3.2.11

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{\frac{1}{x}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- 1 \cdot e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Paso 3.2.12

Reescribe $- 1 e^{\frac{1}{x}}$ como $- e^{\frac{1}{x}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Paso 3.2.13

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Paso 3.2.14

Multiplica $\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ por $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Paso 3.2.15

Suma $- \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Paso 3.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Paso 3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{1}{x} \cdot (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})$

Paso 3.4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{1}{x} \cdot (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.3

Combina los términos.

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Paso 3.4.3.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $e^{\frac{1}{x}}$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.3.2

Combina $e^{\frac{1}{x}}$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Paso 3.4.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{- (- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Paso 3.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Paso 3.4.4.2

Multiplica $- - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ .

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Paso 3.4.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1 (\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}) + e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Paso 3.4.4.2.2

Multiplica $\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Paso 3.4.4.3

Multiplica $- - e^{\frac{1}{x}}$ .

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Paso 3.4.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + 1 e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Paso 3.4.4.3.2

Multiplica $e^{\frac{1}{x}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Paso 3.4.4.4

Resta $e^{\frac{1}{x}}$ de $e^{\frac{1}{x}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + 0}{x^{2}}$

Paso 3.4.4.5

Suma $\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}}{x^{2}}$

Paso 3.4.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Paso 3.4.6

Combinar.

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x \cdot x^{2}}$

Paso 3.4.7

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.7.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.4.7.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x \cdot x^{2}}$

Paso 3.4.7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{1 + 2}}$

Paso 3.4.7.2

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{3}}$

Paso 3.4.8

Multiplica $e^{\frac{1}{x}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{\frac{1}{x}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 5.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 5.1.3.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f' (x) = x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x^{- 1})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = x^{- 2} x (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = x^{- 2 + 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.6.1

Suma $- 2$ y $1$ .

$f' (x) = x^{- 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{\frac{1}{x}}$ .

$f' (x) = x^{- 1} (- 1 \cdot e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.6.3

Reescribe $- 1 e^{\frac{1}{x}}$ como $- e^{\frac{1}{x}}$ .

$f' (x) = x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \cdot 1$

Paso 5.1.8

Multiplica $e^{\frac{1}{x}}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}}$

Paso 5.1.9

Simplifica.

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Paso 5.1.9.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x} \cdot (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}}$

Paso 5.1.9.2

Combina $\frac{1}{x}$ y $e^{\frac{1}{x}}$ .

$f' (x) = - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} = 0$

Paso 6.2

Factoriza $e^{\frac{1}{x}}$ de $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $e^{\frac{1}{x}}$ de $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ .

$e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x}) + e^{\frac{1}{x}} = 0$

Paso 6.2.2

Multiplica por $1$ .

$e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x}) + e^{\frac{1}{x}} \cdot 1 = 0$

Paso 6.2.3

Factoriza $e^{\frac{1}{x}}$ de $e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x}) + e^{\frac{1}{x}} \cdot 1$ .

$e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x} + 1) = 0$

Paso 6.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{\frac{1}{x}} = 0$

$- \frac{1}{x} + 1 = 0$

Paso 6.4

Establece $e^{\frac{1}{x}}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.4.1

Establece $e^{\frac{1}{x}}$ igual a $0$ .

$e^{\frac{1}{x}} = 0$

Paso 6.4.2

Resuelve $e^{\frac{1}{x}} = 0$ en $x$ .

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Paso 6.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{\frac{1}{x}}) = \ln (0)$

Paso 6.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 6.4.2.3

No hay soluciones para $e^{\frac{1}{x}} = 0$

No hay solución

Paso 6.5

Establece $- \frac{1}{x} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.5.1

Establece $- \frac{1}{x} + 1$ igual a $0$ .

$- \frac{1}{x} + 1 = 0$

Paso 6.5.2

Resuelve $- \frac{1}{x} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{1}{x} = - 1$

Paso 6.5.2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.5.2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x, 1$

Paso 6.5.2.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 6.5.2.3

Multiplica cada término en $- \frac{1}{x} = - 1$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.5.2.3.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{x} = - 1$ por $x$ .

$- \frac{1}{x} x = - x$

Paso 6.5.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.5.2.3.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x}$ al numerador.

$\frac{- 1}{x} x = - x$

Paso 6.5.2.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{x} x = - x$

Paso 6.5.2.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = - x$

Paso 6.5.2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.5.2.4.1

Reescribe la ecuación como $- x = - 1$ .

$- x = - 1$

Paso 6.5.2.4.2

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.5.2.4.2.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.5.2.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.4.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.5.2.4.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.5.2.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.2.4.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 6.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x} + 1) = 0$ verdadera.

$x = 1$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 1$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{e^{\frac{1}{1}}}{{(1)}^{3}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 10.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{\frac{1}{1}}}{{(1)}^{3}}$

Paso 10.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{1}}{{(1)}^{3}}$

Paso 10.2

Simplifica.

$\frac{e}{1^{3}}$

Paso 10.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{e}{1}$

Paso 10.4

Divide $e$ por $1$ .

$e$

Paso 11

$x = 1$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 1$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 1$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = (1) \cdot e^{\frac{1}{1}}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Multiplica $e^{\frac{1}{1}}$ por $1$ .

$f (1) = e^{\frac{1}{1}}$

Paso 12.2.2

Divide $1$ por $1$ .

$f (1) = e$

Paso 12.2.3

La respuesta final es $e$ .

$y = e$

Paso 13

Estos son los extremos locales de $f (x) = x e^{\frac{1}{x}}$ .

$(1, e)$ es un mínimo local

Paso 14