Cálculo Ejemplos

$y = - \cos (4 x - π)$

Paso 1

Escribe $y = - \cos (4 x - π)$ como una función.

$f (x) = - \cos (4 x - π)$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (4 x - π)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (4 x - π)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cos (4 x - π)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 4 x - π$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x - π$ .

$- (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Paso 2.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x - π$ .

$- (- \sin (4 x - π) \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\sin (4 x - π) \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Paso 2.3.2

Multiplica $\sin (4 x - π)$ por $1$ .

$\sin (4 x - π) \frac{d}{d x} [4 x - π]$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - π$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$\sin (4 x - π) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π])$

Paso 2.3.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (4 x - π) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sin (4 x - π) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π])$

Paso 2.3.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$\sin (4 x - π) (4 + \frac{d}{d x} [- π])$

Paso 2.3.7

Como $- π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- π$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\sin (4 x - π) (4 + 0)$

Paso 2.3.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.8.1

Suma $4$ y $0$ .

$\sin (4 x - π) \cdot 4$

Paso 2.3.8.2

Mueve $4$ a la izquierda de $\sin (4 x - π)$ .

$4 \sin (4 x - π)$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \sin (4 x - π)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - π)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\sin (4 x - π))$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 4 x - π$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x - π$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (4 x - π))$

Paso 3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} (4 x - π))$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x - π$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (4 x - π) \frac{d}{d x} (4 x - π))$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - π$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Paso 3.3.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- π))$

Paso 3.3.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 + \frac{d}{d x} (- π))$

Paso 3.3.5

Como $- π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- π$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 + 0)$

Paso 3.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.6.1

Suma $4$ y $0$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) \cdot 4$

Paso 3.3.6.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$f'' (x) = 16 \cos (4 x - π)$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$4 \sin (4 x - π) = 0$

Paso 5

Divide cada término en $4 \sin (4 x - π) = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $4 \sin (4 x - π) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 \sin (4 x - π)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \sin (4 x - π)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 5.2.1.2

Divide $\sin (4 x - π)$ por $1$ .

$\sin (4 x - π) = \frac{0}{4}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$\sin (4 x - π) = 0$

Paso 6

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$4 x - π = \arcsin (0)$

Paso 7

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$4 x - π = 0$

Paso 8

Suma $π$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = π$

Paso 9

Divide cada término en $4 x = π$ por $4$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $4 x = π$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Paso 9.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 10

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$4 x - π = π - 0$

Paso 11

Resuelve $x$

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Paso 11.1

Resta $0$ de $π$ .

$4 x - π = π$

Paso 11.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 11.2.1

Suma $π$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = π + π$

Paso 11.2.2

Suma $π$ y $π$ .

$4 x = 2 π$

Paso 11.3

Divide cada término en $4 x = 2 π$ por $4$ y simplifica.

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Paso 11.3.1

Divide cada término en $4 x = 2 π$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{2 π}{4}$

Paso 11.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 11.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{2 π}{4}$

Paso 11.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2 π}{4}$

Paso 11.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.3.3.1

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 11.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{4}$

Paso 11.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Paso 11.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Paso 11.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{π}{2}$

Paso 12

La solución a la ecuación $4 x - π = 0$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{π}{2}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{4}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$16 \cos (4 (\frac{π}{4}) - π)$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 14.1.1

Cancela el factor común.

$16 \cos (4 \frac{π}{4} - π)$

Paso 14.1.2

Reescribe la expresión.

$16 \cos (π - π)$

Paso 14.2

Resta $π$ de $π$ .

$16 \cos (0)$

Paso 14.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$16 \cdot 1$

Paso 14.4

Multiplica $16$ por $1$ .

$16$

Paso 15

$x = \frac{π}{4}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{π}{4}$ es un mínimo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{4}$ .

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Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (4 (\frac{π}{4}) - π)$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

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Paso 16.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 16.2.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (4 (\frac{π}{4}) - π)$

Paso 16.2.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (π - π)$

Paso 16.2.2

Resta $π$ de $π$ .

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (0)$

Paso 16.2.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 1 \cdot 1$

Paso 16.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 1$

Paso 16.2.5

La respuesta final es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$16 \cos (4 (\frac{π}{2}) - π)$

Paso 18

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 18.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 18.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$16 \cos (2 (2) \frac{π}{2} - π)$

Paso 18.1.2

Cancela el factor común.

$16 \cos (2 \cdot 2 \frac{π}{2} - π)$

Paso 18.1.3

Reescribe la expresión.

$16 \cos (2 π - π)$

Paso 18.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$16 \cos (π)$

Paso 18.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$16 (- \cos (0))$

Paso 18.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$16 (- 1 \cdot 1)$

Paso 18.5

Multiplica $16 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 18.5.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$16 \cdot - 1$

Paso 18.5.2

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$- 16$

Paso 19

$x = \frac{π}{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{π}{2}$ es un máximo local

Paso 20

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{2}$ .

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Paso 20.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (4 (\frac{π}{2}) - π)$

Paso 20.2

Simplifica el resultado.

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Paso 20.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 20.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (2 (2) (\frac{π}{2}) - π)$

Paso 20.2.1.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (2 \cdot (2 (\frac{π}{2})) - π)$

Paso 20.2.1.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (2 π - π)$

Paso 20.2.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (π)$

Paso 20.2.3

$f (\frac{π}{2}) = \cos (0)$

Paso 20.2.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - (- 1 \cdot 1)$

Paso 20.2.5

Multiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 20.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Paso 20.2.5.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Paso 20.2.6

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 21

Estos son los extremos locales de $f (x) = - \cos (4 x - π)$ .

$(\frac{π}{4}, - 1)$ es un mínimo local

$(\frac{π}{2}, 1)$ es un máximo local

Paso 22