Cálculo Ejemplos

$y = \cot (12 π x - 3 x)$

Paso 1

Escribe $y = \cot (12 π x - 3 x)$ como una función.

$f (x) = \cot (12 π x - 3 x)$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cot (x)$ y $g (x) = 12 π x - 3 x$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $12 π x - 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [12 π x - 3 x]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\cot (u)$ con respecto a $u$ es $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [12 π x - 3 x]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $12 π x - 3 x$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} [12 π x - 3 x]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 π x - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 π x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (\frac{d}{d x} [12 π x] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Paso 2.2.2

Como $12 π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 π x$ con respecto a $x$ es $12 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Paso 2.2.4

Multiplica $12$ por $1$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Paso 2.2.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \cdot 1)$

Paso 2.2.7

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Como $- (12 π - 3)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$ con respecto a $x$ es $- (12 π - 3) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (12 π x - 3 x)]$ .

$f'' (x) = - (12 π - 3) \frac{d}{d x} \csc^{2} (12 π x - 3 x)$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \csc (12 π x - 3 x)$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\csc (12 π x - 3 x)$ .

$f'' (x) = - (12 π - 3) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - (12 π - 3) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\csc (12 π x - 3 x)$ .

$f'' (x) = - (12 π - 3) (2 \csc (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) (\csc (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \csc (x)$ y $g (x) = 12 π x - 3 x$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $12 π x - 3 x$ .

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (\frac{d}{d u (2)} (\csc (u_{2})) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Paso 3.4.2

La derivada de $\csc (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $12 π x - 3 x$ .

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (- \csc (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Paso 3.5

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (\csc (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Paso 3.6

Eleva $\csc (12 π x - 3 x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) (\csc (12 π x - 3 x) \csc (12 π x - 3 x)) (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Paso 3.7

Eleva $\csc (12 π x - 3 x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) (\csc (12 π x - 3 x) \csc (12 π x - 3 x)) (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Paso 3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) {\csc (12 π x - 3 x)}^{1 + 1} (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Paso 3.9

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Paso 3.10

Según la regla de la suma, la derivada de $12 π x - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 π x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (\frac{d}{d x} (12 π x) + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

Paso 3.11

Como $12 π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 π x$ con respecto a $x$ es $12 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

Paso 3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

Paso 3.13

Multiplica $12$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

Paso 3.14

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \frac{d}{d x} x)$

Paso 3.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \cdot 1)$

Paso 3.16

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$

Paso 3.17

Eleva $12 π - 3$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 2 ((12 π - 3) (12 π - 3)) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

Paso 3.18

Eleva $12 π - 3$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 2 ((12 π - 3) (12 π - 3)) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

Paso 3.19

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 2 {(12 π - 3)}^{1 + 1} \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

Paso 3.20

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 2 {(12 π - 3)}^{2} \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

Paso 3.21

Reordena los factores de $2 {(12 π - 3)}^{2} \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$ .

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (12 π x - 3 x) {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π x - 3 x)$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3) = 0$

Paso 5

Divide cada término en $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3) = 0$ por $- 12 π + 3$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3) = 0$ por $- 12 π + 3$ .

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)}{- 12 π + 3} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $12 π - 3$ y $- 12 π + 3$ .

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Paso 5.2.1.1

Factoriza $3$ de $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$ .

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{- 12 π + 3} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Paso 5.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 12 π$ .

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π) + 3} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Paso 5.2.1.2.2

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π) + 3 (1)} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Paso 5.2.1.2.3

Factoriza $3$ de $3 (- 4 π) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π + 1)} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Paso 5.2.1.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π + 1)} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Paso 5.2.1.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1)}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $4 π - 1$ y $- 4 π + 1$ .

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $- 1$ de $4 π$ .

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- (- 4 π) - 1)}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Paso 5.2.2.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- (- 4 π) - 1 (1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Paso 5.2.2.3

Factoriza $- 1$ de $- (- 4 π) - 1 (1)$ .

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- (- 4 π + 1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Paso 5.2.2.4

Reescribe $- (- 4 π + 1)$ como $- 1 (- 4 π + 1)$ .

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- 1 (- 4 π + 1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Paso 5.2.2.5

Cancela el factor común.

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- 1 (- 4 π + 1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Paso 5.2.2.6

Divide $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cdot - 1$ por $1$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cdot - 1 = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Paso 5.2.3

Multiplica $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cdot - 1$ .

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $\csc^{2} (12 π x - 3 x)$ por $1$ .

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común de $0$ y $- 12 π + 3$ .

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Paso 5.3.1.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 (0)}{- 12 π + 3}$

Paso 5.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 12 π$ .

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 (0)}{3 (- 4 π) + 3}$

Paso 5.3.1.2.2

Factoriza $3$ de $3$ .

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 \cdot 0}{3 (- 4 π) + 3 \cdot 1}$

Paso 5.3.1.2.3

Factoriza $3$ de $3 (- 4 π) + 3 (1)$ .

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 (0)}{3 (- 4 π + 1)}$

Paso 5.3.1.2.4

Cancela el factor común.

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 \cdot 0}{3 (- 4 π + 1)}$

Paso 5.3.1.2.5

Reescribe la expresión.

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{0}{- 4 π + 1}$

Paso 5.3.2

Divide $0$ por $- 4 π + 1$ .

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = 0$

Paso 6

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\csc (12 π x - 3 x) = \pm \sqrt{0}$

Paso 7

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 7.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\csc (12 π x - 3 x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 7.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\csc (12 π x - 3 x) = \pm 0$

Paso 7.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$\csc (12 π x - 3 x) = 0$

Paso 8

El rango de la cosecante es $y \leq - 1$ y $y \geq 1$ . Como $0$ no se encuentra en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x =$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$2 \csc^{2} (12 π - 3) {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Evalúa $\csc (12 π - 3)$ .

$2 {(- 7.08616739)}^{2} {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

Paso 10.2

Simplifica la expresión.

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Paso 10.2.1

Eleva $- 7.08616739$ a la potencia de $2$ .

$2 \cdot 50.21376836 {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

Paso 10.2.2

Multiplica $2$ por $50.21376836$ .

$100.42753672 {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

Paso 10.2.3

Reescribe ${(12 π - 3)}^{2}$ como $(12 π - 3) (12 π - 3)$ .

$100.42753672 ((12 π - 3) (12 π - 3)) \cot (12 π - 3)$

Paso 10.3

Expande $(12 π - 3) (12 π - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 10.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$100.42753672 (12 π (12 π - 3) - 3 (12 π - 3)) \cot (12 π - 3)$

Paso 10.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$100.42753672 (12 π (12 π) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π - 3)) \cot (12 π - 3)$

Paso 10.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$100.42753672 (12 π (12 π) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Paso 10.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 10.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.4.1.1

Multiplica $12 π (12 π)$ .

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Paso 10.4.1.1.1

Multiplica $12$ por $12$ .

$100.42753672 (144 π π + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Paso 10.4.1.1.2

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$100.42753672 (144 (π^{1} π) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Paso 10.4.1.1.3

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$100.42753672 (144 (π^{1} π^{1}) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Paso 10.4.1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$100.42753672 (144 π^{1 + 1} + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Paso 10.4.1.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$100.42753672 (144 π^{2} + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Paso 10.4.1.2

Multiplica $- 3$ por $12$ .

$100.42753672 (144 π^{2} - 36 π - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Paso 10.4.1.3

Multiplica $12$ por $- 3$ .

$100.42753672 (144 π^{2} - 36 π - 36 π - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Paso 10.4.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$100.42753672 (144 π^{2} - 36 π - 36 π + 9) \cot (12 π - 3)$

Paso 10.4.2

Resta $36 π$ de $- 36 π$ .

$100.42753672 (144 π^{2} - 72 π + 9) \cot (12 π - 3)$

Paso 10.5

Multiplica $100.42753672$ por $144 π^{2} - 72 π + 9$ .

$120917.6026078 \cot (12 π - 3)$

Paso 10.6

Evalúa $\cot (12 π - 3)$ .

$120917.6026078 \cdot 7.01525255$

Paso 10.7

Multiplica $120917.6026078$ por $7.01525255$ .

$848267.52020773$

Paso 11

$x =$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x =$ es un mínimo local

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = \cot (12 π x - 3 x)$ .

$(, i s a (l o c a l) (m i n i m u m))$ es un mínimo local

Paso 13