Cálculo Ejemplos

$y = x (81 - x) (54 - x)$

Paso 1

Escribe $y = x (81 - x) (54 - x)$ como una función.

$f (x) = x (81 - x) (54 - x)$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x (81 - x)$ y $g (x) = 54 - x$ .

$x (81 - x) \frac{d}{d x} [54 - x] + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $54 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [54] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x (81 - x) (\frac{d}{d x} [54] + \frac{d}{d x} [- x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Paso 2.2.2

Como $54$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $54$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (81 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Paso 2.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x (81 - x) \frac{d}{d x} [- x] + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Paso 2.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (81 - x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (81 - x) (- 1 \cdot 1) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Paso 2.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x (81 - x) \cdot - 1 + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Paso 2.2.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x (81 - x)$ .

$- 1 \cdot (x (81 - x)) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Paso 2.2.6.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 81 - x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \frac{d}{d x} [81 - x] + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $81 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.2

Como $81$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $81$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \frac{d}{d x} [- x] + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (- 1 \cdot 1) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \cdot - 1 + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- 1 \cdot x + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.6.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + (81 - x) \cdot 1)$

Paso 2.4.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.4.8.1

Multiplica $81 - x$ por $1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + 81 - x)$

Paso 2.4.8.2

Resta $x$ de $- x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- 2 x + 81)$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- x \cdot 81 - x (- x) + (54 - x) (- 2 x + 81)$

Paso 2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- x \cdot 81 - x (- x) + (54 - x) (- 2 x) + (54 - x) \cdot 81$

Paso 2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- x \cdot 81 - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + (54 - x) \cdot 81$

Paso 2.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- x \cdot 81 - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 2.5.5

Combina los términos.

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Paso 2.5.5.1

Multiplica $81$ por $- 1$ .

$- 81 x - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 2.5.5.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 81 x + 1 x \cdot x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 2.5.5.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$- 81 x + x \cdot x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 2.5.5.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 81 x + x^{1} x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 2.5.5.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 81 x + x^{1} x^{1} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 2.5.5.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 81 x + x^{1 + 1} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 2.5.5.7

Suma $1$ y $1$ .

$- 81 x + x^{2} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 2.5.5.8

Multiplica $- 2$ por $54$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 2.5.5.9

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x \cdot x + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 2.5.5.10

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 (x^{1} x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 2.5.5.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 2.5.5.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{1 + 1} + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 2.5.5.13

Suma $1$ y $1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 2.5.5.14

Multiplica $54$ por $81$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 4374 - x \cdot 81$

Paso 2.5.5.15

Multiplica $81$ por $- 1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 4374 - 81 x$

Paso 2.5.5.16

Resta $81 x$ de $- 108 x$ .

$- 81 x + x^{2} - 189 x + 2 x^{2} + 4374$

Paso 2.5.5.17

Resta $189 x$ de $- 81 x$ .

$x^{2} - 270 x + 2 x^{2} + 4374$

Paso 2.5.5.18

Suma $x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 270 x + 4374$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 270 x + 4374$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 270 x] + \frac{d}{d x} [4374]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 270 x) + \frac{d}{d x} (4374)$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 270 x) + \frac{d}{d x} (4374)$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 270 x) + \frac{d}{d x} (4374)$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 270 x) + \frac{d}{d x} (4374)$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 270 x]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 270$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 270 x$ con respecto a $x$ es $- 270 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 270 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4374)$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 270 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4374)$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 270$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 270 + \frac{d}{d x} (4374)$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.4.1

Como $4374$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4374$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 270 + 0$

Paso 3.4.2

Suma $6 x - 270$ y $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 270$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$3 x^{2} - 270 x + 4374 = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x (81 - x)$ y $g (x) = 54 - x$ .

$x (81 - x) \frac{d}{d x} [54 - x] + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Paso 5.1.2

Diferencia.

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Paso 5.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $54 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [54] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x (81 - x) (\frac{d}{d x} [54] + \frac{d}{d x} [- x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Paso 5.1.2.2

Como $54$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $54$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (81 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Paso 5.1.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x (81 - x) \frac{d}{d x} [- x] + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Paso 5.1.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (81 - x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Paso 5.1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (81 - x) (- 1 \cdot 1) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Paso 5.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x (81 - x) \cdot - 1 + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Paso 5.1.2.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x (81 - x)$ .

$- 1 \cdot (x (81 - x)) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Paso 5.1.2.6.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 81 - x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \frac{d}{d x} [81 - x] + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.1.4

Diferencia.

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Paso 5.1.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $81 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.1.4.2

Como $81$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $81$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.1.4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \frac{d}{d x} [- x] + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.1.4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.1.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (- 1 \cdot 1) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.1.4.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.4.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \cdot - 1 + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.1.4.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- 1 \cdot x + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.1.4.6.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.1.4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + (81 - x) \cdot 1)$

Paso 5.1.4.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.1.4.8.1

Multiplica $81 - x$ por $1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + 81 - x)$

Paso 5.1.4.8.2

Resta $x$ de $- x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- 2 x + 81)$

Paso 5.1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- x \cdot 81 - x (- x) + (54 - x) (- 2 x + 81)$

Paso 5.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- x \cdot 81 - x (- x) + (54 - x) (- 2 x) + (54 - x) \cdot 81$

Paso 5.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- x \cdot 81 - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + (54 - x) \cdot 81$

Paso 5.1.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- x \cdot 81 - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 5.1.5.5

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.5.5.1

Multiplica $81$ por $- 1$ .

$- 81 x - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 5.1.5.5.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 81 x + 1 x \cdot x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 5.1.5.5.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$- 81 x + x \cdot x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 5.1.5.5.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 81 x + x^{1} x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 5.1.5.5.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 81 x + x^{1} x^{1} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 5.1.5.5.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 81 x + x^{1 + 1} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 5.1.5.5.7

Suma $1$ y $1$ .

$- 81 x + x^{2} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 5.1.5.5.8

Multiplica $- 2$ por $54$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 5.1.5.5.9

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x \cdot x + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 5.1.5.5.10

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 (x^{1} x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 5.1.5.5.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 5.1.5.5.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{1 + 1} + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 5.1.5.5.13

Suma $1$ y $1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Paso 5.1.5.5.14

Multiplica $54$ por $81$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 4374 - x \cdot 81$

Paso 5.1.5.5.15

Multiplica $81$ por $- 1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 4374 - 81 x$

Paso 5.1.5.5.16

Resta $81 x$ de $- 108 x$ .

$- 81 x + x^{2} - 189 x + 2 x^{2} + 4374$

Paso 5.1.5.5.17

Resta $189 x$ de $- 81 x$ .

$x^{2} - 270 x + 2 x^{2} + 4374$

Paso 5.1.5.5.18

Suma $x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 270 x + 4374$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} - 270 x + 4374$ .

$3 x^{2} - 270 x + 4374$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 270 x + 4374 = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} - 270 x + 4374 = 0$

Paso 6.2

Factoriza $3$ de $3 x^{2} - 270 x + 4374$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 270 x + 4374 = 0$

Paso 6.2.2

Factoriza $3$ de $- 270 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 90 x) + 4374 = 0$

Paso 6.2.3

Factoriza $3$ de $4374$ .

$3 x^{2} + 3 (- 90 x) + 3 \cdot 1458 = 0$

Paso 6.2.4

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 90 x)$ .

$3 (x^{2} - 90 x) + 3 \cdot 1458 = 0$

Paso 6.2.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} - 90 x) + 3 \cdot 1458$ .

$3 (x^{2} - 90 x + 1458) = 0$

Paso 6.3

Divide cada término en $3 (x^{2} - 90 x + 1458) = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.3.1

Divide cada término en $3 (x^{2} - 90 x + 1458) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 90 x + 1458)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x^{2} - 90 x + 1458)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 6.3.2.1.2

Divide $x^{2} - 90 x + 1458$ por $1$ .

$x^{2} - 90 x + 1458 = \frac{0}{3}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$x^{2} - 90 x + 1458 = 0$

Paso 6.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6.5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 90$ y $c = 1458$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{90 \pm \sqrt{{(- 90)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1458)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6

Simplifica.

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Paso 6.6.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.1.1

Eleva $- 90$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1458$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1458$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 5832}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.1.3

Resta $5832$ de $8100$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{2268}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.1.4

Reescribe $2268$ como $18^{2} \cdot 7$ .

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Paso 6.6.1.4.1

Factoriza $324$ de $2268$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{324 (7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.1.4.2

Reescribe $324$ como $18^{2}$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{18^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$

Paso 6.6.3

Simplifica $\frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 45 \pm 9 \sqrt{7}$

Paso 6.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 6.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.7.1.1

Eleva $- 90$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1458$ .

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Paso 6.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1458$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 5832}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.7.1.3

Resta $5832$ de $8100$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{2268}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.7.1.4

Reescribe $2268$ como $18^{2} \cdot 7$ .

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Paso 6.7.1.4.1

Factoriza $324$ de $2268$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{324 (7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.7.1.4.2

Reescribe $324$ como $18^{2}$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{18^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$

Paso 6.7.3

Simplifica $\frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 45 \pm 9 \sqrt{7}$

Paso 6.7.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 45 + 9 \sqrt{7}$

Paso 6.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 6.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.8.1.1

Eleva $- 90$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1458$ .

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Paso 6.8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.8.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1458$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 5832}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.8.1.3

Resta $5832$ de $8100$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{2268}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.8.1.4

Reescribe $2268$ como $18^{2} \cdot 7$ .

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Paso 6.8.1.4.1

Factoriza $324$ de $2268$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{324 (7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.8.1.4.2

Reescribe $324$ como $18^{2}$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{18^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.8.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.8.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$

Paso 6.8.3

Simplifica $\frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 45 \pm 9 \sqrt{7}$

Paso 6.8.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 45 - 9 \sqrt{7}$

Paso 6.9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 45 + 9 \sqrt{7}, 45 - 9 \sqrt{7}$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 45 + 9 \sqrt{7}, 45 - 9 \sqrt{7}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 45 + 9 \sqrt{7}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$6 (45 + 9 \sqrt{7}) - 270$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 \cdot 45 + 6 (9 \sqrt{7}) - 270$

Paso 10.1.2

Multiplica $6$ por $45$ .

$270 + 6 (9 \sqrt{7}) - 270$

Paso 10.1.3

Multiplica $9$ por $6$ .

$270 + 54 \sqrt{7} - 270$

Paso 10.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 10.2.1

Resta $270$ de $270$ .

$0 + 54 \sqrt{7}$

Paso 10.2.2

Suma $0$ y $54 \sqrt{7}$ .

$54 \sqrt{7}$

Paso 11

$x = 45 + 9 \sqrt{7}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 45 + 9 \sqrt{7}$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 45 + 9 \sqrt{7}$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $45 + 9 \sqrt{7}$ en la expresión.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 + 9 \sqrt{7}) (81 - (45 + 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Simplifica los términos.

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Paso 12.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 + 9 \sqrt{7}) (81 - 1 \cdot 45 - (9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $45$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 + 9 \sqrt{7}) (81 - 45 - (9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2.1.1.3

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 + 9 \sqrt{7}) (81 - 45 - 9 \sqrt{7}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2.1.2

Resta $45$ de $81$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 + 9 \sqrt{7}) (36 - 9 \sqrt{7}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2.2

Expande $(45 + 9 \sqrt{7}) (36 - 9 \sqrt{7})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 12.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 (36 - 9 \sqrt{7}) + 9 \sqrt{7} (36 - 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 \cdot 36 + 45 (- 9 \sqrt{7}) + 9 \sqrt{7} (36 - 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 \cdot 36 + 45 (- 9 \sqrt{7}) + 9 \sqrt{7} \cdot 36 + 9 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 12.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.3.1.1

Multiplica $45$ por $36$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 + 45 (- 9 \sqrt{7}) + 9 \sqrt{7} \cdot 36 + 9 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2.3.1.2

Multiplica $- 9$ por $45$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 9 \sqrt{7} \cdot 36 + 9 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2.3.1.3

Multiplica $36$ por $9$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} + 9 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2.3.1.4

Multiplica $9 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.3.1.4.1

Multiplica $- 9$ por $9$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \sqrt{7}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2.3.1.4.2

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 (\sqrt{7} \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2.3.1.4.3

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 (\sqrt{7} \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2.3.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{1 + 1}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2.3.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{2}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2.3.1.5

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 12.2.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2.3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2.3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2.3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.2.3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2.3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2.3.1.5.5

Evalúa el exponente.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2.3.1.6

Multiplica $- 81$ por $7$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 567) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2.3.2

Resta $567$ de $1620$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2.3.3

Suma $- 405 \sqrt{7}$ y $324 \sqrt{7}$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 81 \sqrt{7}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 12.2.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 81 \sqrt{7}) (54 - 1 \cdot 45 - (9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $45$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 81 \sqrt{7}) (54 - 45 - (9 \sqrt{7}))$

Paso 12.2.4.1.3

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 81 \sqrt{7}) (54 - 45 - 9 \sqrt{7})$

Paso 12.2.4.2

Resta $45$ de $54$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 81 \sqrt{7}) (9 - 9 \sqrt{7})$

Paso 12.2.5

Expande $(1053 - 81 \sqrt{7}) (9 - 9 \sqrt{7})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 12.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 1053 (9 - 9 \sqrt{7}) - 81 \sqrt{7} (9 - 9 \sqrt{7})$

Paso 12.2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 1053 \cdot 9 + 1053 (- 9 \sqrt{7}) - 81 \sqrt{7} (9 - 9 \sqrt{7})$

Paso 12.2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 1053 \cdot 9 + 1053 (- 9 \sqrt{7}) - 81 \sqrt{7} \cdot 9 - 81 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$

Paso 12.2.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 12.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.6.1.1

Multiplica $1053$ por $9$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 + 1053 (- 9 \sqrt{7}) - 81 \sqrt{7} \cdot 9 - 81 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$

Paso 12.2.6.1.2

Multiplica $- 9$ por $1053$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \cdot 9 - 81 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$

Paso 12.2.6.1.3

Multiplica $9$ por $- 81$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$

Paso 12.2.6.1.4

Multiplica $- 81 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$ .

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Paso 12.2.6.1.4.1

Multiplica $- 9$ por $- 81$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} \sqrt{7}$

Paso 12.2.6.1.4.2

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 (\sqrt{7} \sqrt{7})$

Paso 12.2.6.1.4.3

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 (\sqrt{7} \sqrt{7})$

Paso 12.2.6.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 {\sqrt{7}}^{1 + 1}$

Paso 12.2.6.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 {\sqrt{7}}^{2}$

Paso 12.2.6.1.5

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 12.2.6.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 12.2.6.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 12.2.6.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{2}{2}}$

Paso 12.2.6.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.6.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{2}{2}}$

Paso 12.2.6.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7$

Paso 12.2.6.1.5.5

Evalúa el exponente.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7$

Paso 12.2.6.1.6

Multiplica $729$ por $7$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 5103$

Paso 12.2.6.2

Suma $9477$ y $5103$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 14580 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7}$

Paso 12.2.6.3

Resta $729 \sqrt{7}$ de $- 9477 \sqrt{7}$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 14580 - 10206 \sqrt{7}$

Paso 12.2.7

La respuesta final es $14580 - 10206 \sqrt{7}$ .

$y = 14580 - 10206 \sqrt{7}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = 45 - 9 \sqrt{7}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$6 (45 - 9 \sqrt{7}) - 270$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 \cdot 45 + 6 (- 9 \sqrt{7}) - 270$

Paso 14.1.2

Multiplica $6$ por $45$ .

$270 + 6 (- 9 \sqrt{7}) - 270$

Paso 14.1.3

Multiplica $- 9$ por $6$ .

$270 - 54 \sqrt{7} - 270$

Paso 14.2

Simplifica mediante la resta de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1

Resta $270$ de $270$ .

$0 - 54 \sqrt{7}$

Paso 14.2.2

Resta $54 \sqrt{7}$ de $0$ .

$- 54 \sqrt{7}$

Paso 15

$x = 45 - 9 \sqrt{7}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 45 - 9 \sqrt{7}$ es un máximo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = 45 - 9 \sqrt{7}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $45 - 9 \sqrt{7}$ en la expresión.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 - 9 \sqrt{7}) (81 - (45 - 9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 - 9 \sqrt{7}) (81 - 1 \cdot 45 - (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $45$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 - 9 \sqrt{7}) (81 - 45 - (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2.1.1.3

Multiplica $- 9$ por $- 1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 - 9 \sqrt{7}) (81 - 45 + 9 \sqrt{7}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2.1.2

Resta $45$ de $81$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 - 9 \sqrt{7}) (36 + 9 \sqrt{7}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2.2

Expande $(45 - 9 \sqrt{7}) (36 + 9 \sqrt{7})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 (36 + 9 \sqrt{7}) - 9 \sqrt{7} (36 + 9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 \cdot 36 + 45 (9 \sqrt{7}) - 9 \sqrt{7} (36 + 9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 \cdot 36 + 45 (9 \sqrt{7}) - 9 \sqrt{7} \cdot 36 - 9 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.3.1.1

Multiplica $45$ por $36$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 45 (9 \sqrt{7}) - 9 \sqrt{7} \cdot 36 - 9 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2.3.1.2

Multiplica $9$ por $45$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 9 \sqrt{7} \cdot 36 - 9 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2.3.1.3

Multiplica $36$ por $- 9$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 9 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2.3.1.4

Multiplica $- 9 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.3.1.4.1

Multiplica $9$ por $- 9$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \sqrt{7}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2.3.1.4.2

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 (\sqrt{7} \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2.3.1.4.3

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 (\sqrt{7} \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2.3.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{1 + 1}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2.3.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{2}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2.3.1.5

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2.3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2.3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2.3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2.3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2.3.1.5.5

Evalúa el exponente.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2.3.1.6

Multiplica $- 81$ por $7$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 567) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2.3.2

Resta $567$ de $1620$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2.3.3

Resta $324 \sqrt{7}$ de $405 \sqrt{7}$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 81 \sqrt{7}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2.4

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 81 \sqrt{7}) (54 - 1 \cdot 45 - (- 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $45$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 81 \sqrt{7}) (54 - 45 - (- 9 \sqrt{7}))$

Paso 16.2.4.1.3

Multiplica $- 9$ por $- 1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 81 \sqrt{7}) (54 - 45 + 9 \sqrt{7})$

Paso 16.2.4.2

Resta $45$ de $54$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 81 \sqrt{7}) (9 + 9 \sqrt{7})$

Paso 16.2.5

Expande $(1053 + 81 \sqrt{7}) (9 + 9 \sqrt{7})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 16.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 1053 (9 + 9 \sqrt{7}) + 81 \sqrt{7} (9 + 9 \sqrt{7})$

Paso 16.2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 1053 \cdot 9 + 1053 (9 \sqrt{7}) + 81 \sqrt{7} (9 + 9 \sqrt{7})$

Paso 16.2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 1053 \cdot 9 + 1053 (9 \sqrt{7}) + 81 \sqrt{7} \cdot 9 + 81 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$

Paso 16.2.6

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.6.1.1

Multiplica $1053$ por $9$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 1053 (9 \sqrt{7}) + 81 \sqrt{7} \cdot 9 + 81 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$

Paso 16.2.6.1.2

Multiplica $9$ por $1053$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 81 \sqrt{7} \cdot 9 + 81 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$

Paso 16.2.6.1.3

Multiplica $9$ por $81$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 81 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$

Paso 16.2.6.1.4

Multiplica $81 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.6.1.4.1

Multiplica $9$ por $81$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} \sqrt{7}$

Paso 16.2.6.1.4.2

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 (\sqrt{7} \sqrt{7})$

Paso 16.2.6.1.4.3

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 (\sqrt{7} \sqrt{7})$

Paso 16.2.6.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 {\sqrt{7}}^{1 + 1}$

Paso 16.2.6.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 {\sqrt{7}}^{2}$

Paso 16.2.6.1.5

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.6.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 16.2.6.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 16.2.6.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{2}{2}}$

Paso 16.2.6.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.6.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{2}{2}}$

Paso 16.2.6.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7$

Paso 16.2.6.1.5.5

Evalúa el exponente.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7$

Paso 16.2.6.1.6

Multiplica $729$ por $7$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 5103$

Paso 16.2.6.2

Suma $9477$ y $5103$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 14580 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7}$

Paso 16.2.6.3

Suma $9477 \sqrt{7}$ y $729 \sqrt{7}$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 14580 + 10206 \sqrt{7}$

Paso 16.2.7

La respuesta final es $14580 + 10206 \sqrt{7}$ .

$y = 14580 + 10206 \sqrt{7}$

Paso 17

Estos son los extremos locales de $f (x) = x (81 - x) (54 - x)$ .

$(45 + 9 \sqrt{7}, 14580 - 10206 \sqrt{7})$ es un mínimo local

$(45 - 9 \sqrt{7}, 14580 + 10206 \sqrt{7})$ es un máximo local

Paso 18