Cálculo Ejemplos

$y = x (20 - 2 x) (32 - 2 x)$

Paso 1

Escribe $y = x (20 - 2 x) (32 - 2 x)$ como una función.

$f (x) = x (20 - 2 x) (32 - 2 x)$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x (20 - 2 x)$ y $g (x) = 32 - 2 x$ .

$x (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [32 - 2 x] + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $32 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [32] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (20 - 2 x) (\frac{d}{d x} [32] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

Paso 2.2.2

Como $32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $32$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (20 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

Paso 2.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

Paso 2.2.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (20 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (20 - 2 x) (- 2 \cdot 1) + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

Paso 2.2.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.6.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$x (20 - 2 x) \cdot - 2 + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

Paso 2.2.6.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x (20 - 2 x)$ .

$- 2 \cdot (x (20 - 2 x)) + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 20 - 2 x$ .

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [20 - 2 x] + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $20 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.2

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [- 2 x] + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x (- 2 \cdot 1) + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.6.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x \cdot - 2 + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.6.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (- 2 \cdot x + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (- 2 x + (20 - 2 x) \cdot 1)$

Paso 2.4.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.4.8.1

Multiplica $20 - 2 x$ por $1$ .

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (- 2 x + 20 - 2 x)$

Paso 2.4.8.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (- 4 x + 20)$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x) + (32 - 2 x) (- 4 x + 20)$

Paso 2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x) + (32 - 2 x) (- 4 x) + (32 - 2 x) \cdot 20$

Paso 2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x) + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + (32 - 2 x) \cdot 20$

Paso 2.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x) + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

Paso 2.5.5

Combina los términos.

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Paso 2.5.5.1

Multiplica $20$ por $- 2$ .

$- 40 x - 2 x (- 2 x) + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

Paso 2.5.5.2

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$- 40 x + 4 x \cdot x + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

Paso 2.5.5.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 40 x + 4 (x^{1} x) + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

Paso 2.5.5.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 40 x + 4 (x^{1} x^{1}) + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

Paso 2.5.5.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 40 x + 4 x^{1 + 1} + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

Paso 2.5.5.6

Suma $1$ y $1$ .

$- 40 x + 4 x^{2} + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

Paso 2.5.5.7

Multiplica $- 4$ por $32$ .

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

Paso 2.5.5.8

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 x \cdot x + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

Paso 2.5.5.9

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 (x^{1} x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

Paso 2.5.5.10

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

Paso 2.5.5.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 x^{1 + 1} + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

Paso 2.5.5.12

Suma $1$ y $1$ .

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 x^{2} + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

Paso 2.5.5.13

Multiplica $32$ por $20$ .

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 x^{2} + 640 - 2 x \cdot 20$

Paso 2.5.5.14

Multiplica $20$ por $- 2$ .

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 x^{2} + 640 - 40 x$

Paso 2.5.5.15

Resta $40 x$ de $- 128 x$ .

$- 40 x + 4 x^{2} - 168 x + 8 x^{2} + 640$

Paso 2.5.5.16

Resta $168 x$ de $- 40 x$ .

$4 x^{2} - 208 x + 8 x^{2} + 640$

Paso 2.5.5.17

Suma $4 x^{2}$ y $8 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 208 x + 640$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x^{2} - 208 x + 640$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 208 x] + \frac{d}{d x} [640]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 208 x) + \frac{d}{d x} (640)$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{2}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 208 x) + \frac{d}{d x} (640)$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 208 x) + \frac{d}{d x} (640)$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $12$ .

$f'' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 208 x) + \frac{d}{d x} (640)$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 208 x]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 208$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 208 x$ con respecto a $x$ es $- 208 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x - 208 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (640)$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x - 208 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (640)$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 208$ por $1$ .

$f'' (x) = 24 x - 208 + \frac{d}{d x} (640)$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.4.1

Como $640$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $640$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 24 x - 208 + 0$

Paso 3.4.2

Suma $24 x - 208$ y $0$ .

$f'' (x) = 24 x - 208$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$12 x^{2} - 208 x + 640 = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

$x (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [32 - 2 x] + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

Paso 5.1.2

Diferencia.

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Paso 5.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $32 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [32] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (20 - 2 x) (\frac{d}{d x} [32] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

Paso 5.1.2.2

Como $32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $32$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (20 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

Paso 5.1.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

Paso 5.1.2.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (20 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

Paso 5.1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (20 - 2 x) (- 2 \cdot 1) + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

Paso 5.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.2.6.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$x (20 - 2 x) \cdot - 2 + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

Paso 5.1.2.6.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x (20 - 2 x)$ .

$- 2 \cdot (x (20 - 2 x)) + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 20 - 2 x$ .

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [20 - 2 x] + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.1.4

Diferencia.

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Paso 5.1.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $20 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.1.4.2

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.1.4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [- 2 x] + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.1.4.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.1.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x (- 2 \cdot 1) + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.1.4.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.4.6.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x \cdot - 2 + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.1.4.6.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (- 2 \cdot x + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.1.4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (- 2 x + (20 - 2 x) \cdot 1)$

Paso 5.1.4.8

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.4.8.1

Multiplica $20 - 2 x$ por $1$ .

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (- 2 x + 20 - 2 x)$

Paso 5.1.4.8.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (- 4 x + 20)$

Paso 5.1.5

Simplifica.

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Paso 5.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x) + (32 - 2 x) (- 4 x + 20)$

Paso 5.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x) + (32 - 2 x) (- 4 x) + (32 - 2 x) \cdot 20$

Paso 5.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x) + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + (32 - 2 x) \cdot 20$

Paso 5.1.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x) + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

Paso 5.1.5.5

Combina los términos.

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Paso 5.1.5.5.1

Multiplica $20$ por $- 2$ .

$- 40 x - 2 x (- 2 x) + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

Paso 5.1.5.5.2

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$- 40 x + 4 x \cdot x + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

Paso 5.1.5.5.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 40 x + 4 (x^{1} x) + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

Paso 5.1.5.5.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 40 x + 4 (x^{1} x^{1}) + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

Paso 5.1.5.5.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 40 x + 4 x^{1 + 1} + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

Paso 5.1.5.5.6

Suma $1$ y $1$ .

$- 40 x + 4 x^{2} + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

Paso 5.1.5.5.7

Multiplica $- 4$ por $32$ .

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

Paso 5.1.5.5.8

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 x \cdot x + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

Paso 5.1.5.5.9

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 (x^{1} x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

Paso 5.1.5.5.10

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

Paso 5.1.5.5.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 x^{1 + 1} + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

Paso 5.1.5.5.12

Suma $1$ y $1$ .

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 x^{2} + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

Paso 5.1.5.5.13

Multiplica $32$ por $20$ .

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 x^{2} + 640 - 2 x \cdot 20$

Paso 5.1.5.5.14

Multiplica $20$ por $- 2$ .

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 x^{2} + 640 - 40 x$

Paso 5.1.5.5.15

Resta $40 x$ de $- 128 x$ .

$- 40 x + 4 x^{2} - 168 x + 8 x^{2} + 640$

Paso 5.1.5.5.16

Resta $168 x$ de $- 40 x$ .

$4 x^{2} - 208 x + 8 x^{2} + 640$

Paso 5.1.5.5.17

Suma $4 x^{2}$ y $8 x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 208 x + 640$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{2} - 208 x + 640$ .

$12 x^{2} - 208 x + 640$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $12 x^{2} - 208 x + 640 = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$12 x^{2} - 208 x + 640 = 0$

Paso 6.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Factoriza $4$ de $12 x^{2} - 208 x + 640$ .

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Paso 6.2.1.1

Factoriza $4$ de $12 x^{2}$ .

$4 (3 x^{2}) - 208 x + 640 = 0$

Paso 6.2.1.2

Factoriza $4$ de $- 208 x$ .

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 52 x) + 640 = 0$

Paso 6.2.1.3

Factoriza $4$ de $640$ .

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 52 x) + 4 (160) = 0$

Paso 6.2.1.4

Factoriza $4$ de $4 (3 x^{2}) + 4 (- 52 x)$ .

$4 (3 x^{2} - 52 x) + 4 (160) = 0$

Paso 6.2.1.5

Factoriza $4$ de $4 (3 x^{2} - 52 x) + 4 (160)$ .

$4 (3 x^{2} - 52 x + 160) = 0$

Paso 6.2.2

Factoriza.

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Paso 6.2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 160 = 480$ y cuya suma es $b = - 52$ .

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Paso 6.2.2.1.1.1

Factoriza $- 52$ de $- 52 x$ .

$4 (3 x^{2} - 52 x + 160) = 0$

Paso 6.2.2.1.1.2

Reescribe $- 52$ como $- 12$ más $- 40$

$4 (3 x^{2} + (- 12 - 40) x + 160) = 0$

Paso 6.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (3 x^{2} - 12 x - 40 x + 160) = 0$

Paso 6.2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$4 ((3 x^{2} - 12 x) - 40 x + 160) = 0$

Paso 6.2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$4 (3 x (x - 4) - 40 (x - 4)) = 0$

Paso 6.2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 4$ .

$4 ((x - 4) (3 x - 40)) = 0$

Paso 6.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 (x - 4) (3 x - 40) = 0$

Paso 6.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$3 x - 40 = 0$

Paso 6.4

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.4.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 6.4.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 6.5

Establece $3 x - 40$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.5.1

Establece $3 x - 40$ igual a $0$ .

$3 x - 40 = 0$

Paso 6.5.2

Resuelve $3 x - 40 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.5.2.1

Suma $40$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 40$

Paso 6.5.2.2

Divide cada término en $3 x = 40$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.5.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 40$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{40}{3}$

Paso 6.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{40}{3}$

Paso 6.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{40}{3}$

Paso 6.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 (x - 4) (3 x - 40) = 0$ verdadera.

$x = 4, \frac{40}{3}$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 4, \frac{40}{3}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 4$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$24 (4) - 208$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Multiplica $24$ por $4$ .

$96 - 208$

Paso 10.2

Resta $208$ de $96$ .

$- 112$

Paso 11

$x = 4$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 4$ es un máximo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 4$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = (4) (20 - 2 \cdot 4) (32 - 2 \cdot 4)$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$f (4) = 4 (20 - 8) (32 - 2 \cdot 4)$

Paso 12.2.2

Resta $8$ de $20$ .

$f (4) = 4 \cdot (12 (32 - 2 \cdot 4))$

Paso 12.2.3

Multiplica $4$ por $12$ .

$f (4) = 48 (32 - 2 \cdot 4)$

Paso 12.2.4

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$f (4) = 48 (32 - 8)$

Paso 12.2.5

Resta $8$ de $32$ .

$f (4) = 48 \cdot 24$

Paso 12.2.6

Multiplica $48$ por $24$ .

$f (4) = 1152$

Paso 12.2.7

La respuesta final es $1152$ .

$y = 1152$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{40}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$24 (\frac{40}{3}) - 208$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 14.1.1.1

Factoriza $3$ de $24$ .

$3 (8) \frac{40}{3} - 208$

Paso 14.1.1.2

Cancela el factor común.

$3 \cdot 8 \frac{40}{3} - 208$

Paso 14.1.1.3

Reescribe la expresión.

$8 \cdot 40 - 208$

Paso 14.1.2

Multiplica $8$ por $40$ .

$320 - 208$

Paso 14.2

Resta $208$ de $320$ .

$112$

Paso 15

$x = \frac{40}{3}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{40}{3}$ es un mínimo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{40}{3}$ .

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Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{40}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{40}{3}) = (\frac{40}{3}) (20 - 2 (\frac{40}{3})) (32 - 2 (\frac{40}{3}))$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

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Paso 16.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.2.1.1

Multiplica $- 2 (\frac{40}{3})$ .

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Paso 16.2.1.1.1

Combina $- 2$ y $\frac{40}{3}$ .

$f (\frac{40}{3}) = \frac{40}{3} \cdot ((20 + \frac{- 2 \cdot 40}{3}) (32 - 2 (\frac{40}{3})))$

Paso 16.2.1.1.2

Multiplica $- 2$ por $40$ .

$f (\frac{40}{3}) = \frac{40}{3} \cdot ((20 + \frac{- 80}{3}) (32 - 2 (\frac{40}{3})))$

Paso 16.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{40}{3}) = \frac{40}{3} \cdot ((20 - \frac{80}{3}) (32 - 2 (\frac{40}{3})))$

Paso 16.2.2

Para escribir $20$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{40}{3}) = \frac{40}{3} \cdot ((20 \cdot \frac{3}{3} - \frac{80}{3}) (32 - 2 (\frac{40}{3})))$

Paso 16.2.3

Combina $20$ y $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{40}{3}) = \frac{40}{3} \cdot ((\frac{20 \cdot 3}{3} - \frac{80}{3}) (32 - 2 (\frac{40}{3})))$

Paso 16.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{40}{3}) = \frac{40}{3} \cdot \frac{20 \cdot 3 - 80}{3} \cdot (32 - 2 (\frac{40}{3}))$

Paso 16.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 16.2.5.1

Multiplica $20$ por $3$ .

$f (\frac{40}{3}) = \frac{40}{3} \cdot \frac{60 - 80}{3} \cdot (32 - 2 (\frac{40}{3}))$

Paso 16.2.5.2

Resta $80$ de $60$ .

$f (\frac{40}{3}) = \frac{40}{3} \cdot \frac{- 20}{3} \cdot (32 - 2 (\frac{40}{3}))$

Paso 16.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{40}{3}) = \frac{40}{3} \cdot (- \frac{20}{3}) \cdot (32 - 2 (\frac{40}{3}))$

Paso 16.2.7

Multiplica $\frac{40}{3} (- \frac{20}{3})$ .

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Paso 16.2.7.1

Multiplica $\frac{40}{3}$ por $\frac{20}{3}$ .

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{40 \cdot 20}{3 \cdot 3} \cdot (32 - 2 (\frac{40}{3}))$

Paso 16.2.7.2

Multiplica $40$ por $20$ .

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{800}{3 \cdot 3} \cdot (32 - 2 (\frac{40}{3}))$

Paso 16.2.7.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{800}{9} \cdot (32 - 2 (\frac{40}{3}))$

Paso 16.2.8

Simplifica cada término.

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Paso 16.2.8.1

Multiplica $- 2 (\frac{40}{3})$ .

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Paso 16.2.8.1.1

Combina $- 2$ y $\frac{40}{3}$ .

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{800}{9} \cdot (32 + \frac{- 2 \cdot 40}{3})$

Paso 16.2.8.1.2

Multiplica $- 2$ por $40$ .

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{800}{9} \cdot (32 + \frac{- 80}{3})$

Paso 16.2.8.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{800}{9} \cdot (32 - \frac{80}{3})$

Paso 16.2.9

Para escribir $32$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{800}{9} \cdot (32 \cdot \frac{3}{3} - \frac{80}{3})$

Paso 16.2.10

Combina $32$ y $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{800}{9} \cdot (\frac{32 \cdot 3}{3} - \frac{80}{3})$

Paso 16.2.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{800}{9} \cdot \frac{32 \cdot 3 - 80}{3}$

Paso 16.2.12

Simplifica el numerador.

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Paso 16.2.12.1

Multiplica $32$ por $3$ .

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{800}{9} \cdot \frac{96 - 80}{3}$

Paso 16.2.12.2

Resta $80$ de $96$ .

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{800}{9} \cdot \frac{16}{3}$

Paso 16.2.13

Multiplica $- \frac{800}{9} \cdot \frac{16}{3}$ .

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Paso 16.2.13.1

Multiplica $\frac{16}{3}$ por $\frac{800}{9}$ .

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{16 \cdot 800}{3 \cdot 9}$

Paso 16.2.13.2

Multiplica $16$ por $800$ .

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{12800}{3 \cdot 9}$

Paso 16.2.13.3

Multiplica $3$ por $9$ .

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{12800}{27}$

Paso 16.2.14

La respuesta final es $- \frac{12800}{27}$ .

$y = - \frac{12800}{27}$

Paso 17

Estos son los extremos locales de $f (x) = x (20 - 2 x) (32 - 2 x)$ .

$(4, 1152)$ es un máximo local

$(\frac{40}{3}, - \frac{12800}{27})$ es un mínimo local

Paso 18