Cálculo Ejemplos

$y = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$

Paso 1

Escribe $y = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ como una función.

$f (x) = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 250$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{250}{x^{2} + 25}$ con respecto a $x$ es $- 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2} + 25}$ como ${(x^{2} + 25)}^{- 1}$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{- 1}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2} + 25$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$1 - 250 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Paso 2.2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]))$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [25]))$

Paso 2.2.6

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + 0))$

Paso 2.2.7

Suma $2 x$ y $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x))$

Paso 2.2.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$1 - 250 (- 2 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x)$

Paso 2.2.9

Multiplica $- 2$ por $- 250$ .

$1 + 500 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 500 \frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Paso 2.3.2

Combina los términos.

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Paso 2.3.2.1

Combina $500$ y $\frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ .

$1 + \frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Paso 2.3.2.2

Combina $\frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ y $x$ .

$1 + \frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $500$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $500 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 500 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} + 25)}^{2}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 25$ .

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Paso 3.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) (2 x + \frac{d}{d x} (25)))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.7

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.8

Multiplica ${(x^{2} + 25)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - x (2 (x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.9

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - x (2 (x^{2} + 25) (2 x))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.10

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - x (4 (x^{2} + 25) x)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.11

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x ((x^{2} + 25) x)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 (x \cdot x) (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.13

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 (x \cdot x) (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{1 + 1} (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.15

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.16

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.2.16.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2 \cdot 2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.16.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.17

Factoriza $x^{2} + 25$ de ${(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)$ .

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Paso 3.2.17.1

Factoriza $x^{2} + 25$ de ${(x^{2} + 25)}^{2}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (x^{2} + 25) - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.17.2

Factoriza $x^{2} + 25$ de $- 4 x^{2} (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (x^{2} + 25) + (x^{2} + 25) (- 4 x^{2})}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.17.3

Factoriza $x^{2} + 25$ de $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25) + (x^{2} + 25) (- 4 x^{2})$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (x^{2} + 25 - 4 x^{2})}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.18

Resta $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.19

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.19.1

Factoriza $x^{2} + 25$ de ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (- 3 x^{2} + 25)}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.19.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (- 3 x^{2} + 25)}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.19.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 500 (\frac{- 3 x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.20

Combina $500$ y $\frac{- 3 x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2}) + 500 \cdot 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Paso 3.4.2

Combina los términos.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $- 3$ por $500$ .

$f'' (x) = \frac{- 1500 x^{2} + 500 \cdot 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Paso 3.4.2.2

Multiplica $500$ por $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 1500 x^{2} + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Paso 3.4.2.3

Suma $\frac{- 1500 x^{2} + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 1500 x^{2} + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 3.4.3

Factoriza $500$ de $- 1500 x^{2} + 12500$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $500$ de $- 1500 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2}) + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $500$ de $12500$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2}) + 500 (25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $500$ de $500 (- 3 x^{2}) + 500 (25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 3.4.4

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- (3 x^{2}) + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 3.4.5

Reescribe $25$ como $- 1 (- 25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 3.4.6

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (- 25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- (3 x^{2} - 25))}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 3.4.7

Reescribe $- (3 x^{2} - 25)$ como $- 1 (3 x^{2} - 25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 1 (3 x^{2} - 25))}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 3.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{500 (3 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1 = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Diferencia.

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Paso 5.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Paso 5.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Paso 5.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

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Paso 5.1.2.1

Como $- 250$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{250}{x^{2} + 25}$ con respecto a $x$ es $- 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$

Paso 5.1.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2} + 25}$ como ${(x^{2} + 25)}^{- 1}$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{- 1}]$

Paso 5.1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2} + 25$ .

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Paso 5.1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Paso 5.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$1 - 250 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Paso 5.1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Paso 5.1.2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]))$

Paso 5.1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [25]))$

Paso 5.1.2.6

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + 0))$

Paso 5.1.2.7

Suma $2 x$ y $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x))$

Paso 5.1.2.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$1 - 250 (- 2 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x)$

Paso 5.1.2.9

Multiplica $- 2$ por $- 250$ .

$1 + 500 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x$

Paso 5.1.3

Simplifica.

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Paso 5.1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 500 \frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Paso 5.1.3.2

Combina los términos.

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Paso 5.1.3.2.1

Combina $500$ y $\frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ .

$1 + \frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Paso 5.1.3.2.2

Combina $\frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ y $x$ .

$1 + \frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$ .

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1 = 0$

Paso 6.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x \approx - 5, - 1.47798871$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = - 5, - 1.47798871$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = - 5$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{500 (3 {(- 5)}^{2} - 25)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{500 (3 \cdot 25 - 25)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 10.1.2

Multiplica $3$ por $25$ .

$- \frac{500 (75 - 25)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 10.1.3

Resta $25$ de $75$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 10.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{{(25 + 25)}^{3}}$

Paso 10.2.2

Suma $25$ y $25$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{50^{3}}$

Paso 10.2.3

Eleva $50$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{125000}$

Paso 10.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 10.3.1

Multiplica $500$ por $50$ .

$- \frac{25000}{125000}$

Paso 10.3.2

Cancela el factor común de $25000$ y $125000$ .

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Paso 10.3.2.1

Factoriza $25000$ de $25000$ .

$- \frac{25000 (1)}{125000}$

Paso 10.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.3.2.2.1

Factoriza $25000$ de $125000$ .

$- \frac{25000 \cdot 1}{25000 \cdot 5}$

Paso 10.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{25000 \cdot 1}{25000 \cdot 5}$

Paso 10.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{5}$

Paso 11

$x = - 5$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 5$ es un máximo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = - 5$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f (- 5) = (- 5) - (\frac{250}{{(- 5)}^{2} + 25})$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 12.2.1.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$f (- 5) = - 5 - \frac{250}{25 + 25}$

Paso 12.2.1.1.2

Suma $25$ y $25$ .

$f (- 5) = - 5 - \frac{250}{50}$

Paso 12.2.1.2

Divide $250$ por $50$ .

$f (- 5) = - 5 - 1 \cdot 5$

Paso 12.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f (- 5) = - 5 - 5$

Paso 12.2.2

Resta $5$ de $- 5$ .

$f (- 5) = - 10$

Paso 12.2.3

La respuesta final es $- 10$ .

$y = - 10$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1.47798871$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{500 (3 {(- 1.47798871)}^{2} - 25)}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Simplifica el numerador.

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Paso 14.1.1

Eleva $- 1.47798871$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{500 (3 \cdot 2.18445063 - 25)}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 14.1.2

Multiplica $3$ por $2.18445063$ .

$- \frac{500 (6.55335191 - 25)}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 14.1.3

Resta $25$ de $6.55335191$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 14.2

Simplifica el denominador.

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Paso 14.2.1

Eleva $- 1.47798871$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{{(2.18445063 + 25)}^{3}}$

Paso 14.2.2

Suma $2.18445063$ y $25$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{{27.18445063}^{3}}$

Paso 14.2.3

Eleva $27.18445063$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{20089.1556072}$

Paso 14.3

Simplifica la expresión.

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Paso 14.3.1

Multiplica $500$ por $- 18.44664808$ .

$- \frac{- 9223.32404202}{20089.1556072}$

Paso 14.3.2

Divide $- 9223.32404202$ por $20089.1556072$ .

$- - 0.45911954$

Paso 14.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 0.45911954$ .

$0.45911954$

Paso 15

$x = - 1.47798871$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - 1.47798871$ es un mínimo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = - 1.47798871$ .

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Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.47798871$ en la expresión.

$f (- 1.47798871) = (- 1.47798871) - (\frac{250}{{(- 1.47798871)}^{2} + 25})$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

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Paso 16.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.2.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 16.2.1.1.1

Eleva $- 1.47798871$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - \frac{250}{2.18445063 + 25}$

Paso 16.2.1.1.2

Suma $2.18445063$ y $25$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - \frac{250}{27.18445063}$

Paso 16.2.1.2

Divide $250$ por $27.18445063$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - 1 \cdot 9.19643377$

Paso 16.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $9.19643377$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - 9.19643377$

Paso 16.2.2

Resta $9.19643377$ de $- 1.47798871$ .

$f (- 1.47798871) = - 10.67442248$

Paso 16.2.3

La respuesta final es $- 10.67442248$ .

$y = - 10.67442248$

Paso 17

Estos son los extremos locales de $f (x) = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ .

$(- 5, - 10)$ es un máximo local

$(- 1.47798871, - 10.67442248)$ es un mínimo local

Paso 18