Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 \sqrt[3]{x}$ , $[0, 8]$

Paso 1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[0, 8]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (\int_{0}^{8} 5 \sqrt[3]{x} d x)$

Paso 5

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 \int_{0}^{8} \sqrt[3]{x} d x)$

Paso 6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 \int_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}))$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Combina $\frac{3}{4}$ y $x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{8}))$

Paso 8.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.2.1

Evalúa $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ en $8$ y en $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Paso 8.2.2

Simplifica.

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Paso 8.2.2.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Paso 8.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Paso 8.2.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Paso 8.2.2.3.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 2^{4}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Paso 8.2.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Paso 8.2.2.5

Multiplica $3$ por $16$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{48}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Paso 8.2.2.6

Cancela el factor común de $48$ y $4$ .

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Paso 8.2.2.6.1

Factoriza $4$ de $48$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Paso 8.2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.6.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Paso 8.2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Paso 8.2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{12}{1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Paso 8.2.2.6.2.4

Divide $12$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Paso 8.2.2.7

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Paso 8.2.2.8

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4}))$

Paso 8.2.2.9

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.2.2.9.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4}))$

Paso 8.2.2.9.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{4}}{4}))$

Paso 8.2.2.10

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0}{4}))$

Paso 8.2.2.11

Multiplica $3$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{0}{4}))$

Paso 8.2.2.12

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

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Paso 8.2.2.12.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{4 (0)}{4}))$

Paso 8.2.2.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.12.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Paso 8.2.2.12.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Paso 8.2.2.12.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{0}{1}))$

Paso 8.2.2.12.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - 0))$

Paso 8.2.2.13

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 + 0))$

Paso 8.2.2.14

Suma $12$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 \cdot 12)$

Paso 8.2.2.15

Multiplica $5$ por $12$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (60)$

Paso 9

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 + 0} \cdot 60$

Paso 9.2

Suma $8$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot 60$

Paso 10

Simplifica los términos.

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Paso 10.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 10.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$A (x) = \frac{1}{4 (2)} \cdot 60$

Paso 10.1.2

Factoriza $4$ de $60$ .

$A (x) = \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot 15)$

Paso 10.1.3

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot 15)$

Paso 10.1.4

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 15$

Paso 10.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $15$ .

$A (x) = \frac{15}{2}$

Paso 11