Cálculo Ejemplos

$f (x) = 49 - x^{2}$ , $[- 7, 7]$

Paso 1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[- 7, 7]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (\int_{- 7}^{7} 49 - x^{2} d x)$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (\int_{- 7}^{7} 49 d x + \int_{- 7}^{7} - x^{2} d x)$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (49 x]_{- 7}^{7} + \int_{- 7}^{7} - x^{2} d x)$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (49 x]_{- 7}^{7} - \int_{- 7}^{7} x^{2} d x)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (49 x]_{- 7}^{7} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 7}^{7}))$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (49 x]_{- 7}^{7} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 7}^{7}))$

Paso 9.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.2.1

Evalúa $49 x$ en $7$ y en $- 7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} ((49 \cdot 7) - 49 \cdot - 7 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 7}^{7}))$

Paso 9.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $7$ y en $- 7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (49 \cdot 7 - 49 \cdot - 7 - (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 7)}^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3

Simplifica.

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Paso 9.2.3.1

Multiplica $49$ por $7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (343 - 49 \cdot - 7 - (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 7)}^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.2

Multiplica $- 49$ por $- 7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (343 + 343 - (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 7)}^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.3

Suma $343$ y $343$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 - (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 7)}^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.4

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 - (\frac{343}{3} - \frac{{(- 7)}^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.5

Eleva $- 7$ a la potencia de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 - (\frac{343}{3} - \frac{- 343}{3}))$

Paso 9.2.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 - (\frac{343}{3} + \frac{343}{3}))$

Paso 9.2.3.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 - (\frac{343}{3} + 1 (\frac{343}{3})))$

Paso 9.2.3.8

Multiplica $\frac{343}{3}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 - (\frac{343}{3} + \frac{343}{3}))$

Paso 9.2.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 - \frac{343 + 343}{3})$

Paso 9.2.3.10

Suma $343$ y $343$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 - \frac{686}{3})$

Paso 9.2.3.11

Para escribir $686$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 \cdot \frac{3}{3} - \frac{686}{3})$

Paso 9.2.3.12

Combina $686$ y $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (\frac{686 \cdot 3}{3} - \frac{686}{3})$

Paso 9.2.3.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (\frac{686 \cdot 3 - 686}{3})$

Paso 9.2.3.14

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.3.14.1

Multiplica $686$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (\frac{2058 - 686}{3})$

Paso 9.2.3.14.2

Resta $686$ de $2058$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (\frac{1372}{3})$

Paso 10

Suma $7$ y $7$ .

$A (x) = \frac{1}{14} \cdot \frac{1372}{3}$

Paso 11

Cancela el factor común de $14$ .

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Paso 11.1

Factoriza $14$ de $1372$ .

$A (x) = \frac{1}{14} \cdot \frac{14 (98)}{3}$

Paso 11.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{14} \cdot \frac{14 \cdot 98}{3}$

Paso 11.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{98}{3}$

Paso 12