Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $[- 1, 1]$

Paso 1

Para obtener el valor promedio de una función, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Para determinar si $f (x)$ es continua en $[- 1, 1]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 1.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 1.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\sqrt[3]{x^{1}}$

Paso 1.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\sqrt[3]{x}$

Paso 1.2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x)$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1})$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ en $1$ y en $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} ((\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} \cdot 1 - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.2

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.3

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Paso 6.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.5.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Paso 6.2.5.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{4})$

Paso 6.2.6

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Paso 6.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4})$

Paso 6.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3 - 3}{4})$

Paso 6.2.9

Resta $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{0}{4})$

Paso 6.2.10

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

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Paso 6.2.10.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 (0)}{4})$

Paso 6.2.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.10.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Paso 6.2.10.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Paso 6.2.10.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{0}{1})$

Paso 6.2.10.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0)$

Paso 7

Suma $1$ y $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 0$

Paso 8

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$A (x) = 0$

Paso 9