Cálculo Ejemplos

$p (x) = \frac{- 1}{3} x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} - 15 x - 4$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 1.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} - 15 x - 4]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} - 15 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- \frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{3} x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2.4

Combina $- 3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2.5

Combina $\frac{- 3}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2.6

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 1.2.6.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2.6.2.4

Divide $- x^{2}$ por $1$ .

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- \frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2}{3} x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- x^{2} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- x^{2} - \frac{2}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- x^{2} - 2 (\frac{2}{3}) x + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.3.4

Combina $- 2$ y $\frac{2}{3}$ .

$- x^{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{3} x + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.3.5

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- x^{2} + \frac{- 4}{3} x + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.3.6

Combina $\frac{- 4}{3}$ y $x$ .

$- x^{2} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 15 x$ con respecto a $x$ es $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.4.3

Multiplica $- 15$ por $1$ .

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.5.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 + 0$

Paso 1.5.2

Suma $- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15$ y $0$ .

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$p'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$p'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$p'' (x) = - (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$p'' (x) = - 2 x + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- \frac{4}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{4 x}{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 15)$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 15)$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3} + \frac{d}{d x} (- 15)$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- 15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 15$ con respecto a $x$ es $0$ .

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3} + 0$

Paso 2.4.2

Suma $- 2 x - \frac{4}{3}$ y $0$ .

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 = 0$

Paso 4

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 5

No hay extremos locales

Paso 6