Cálculo Ejemplos

$g (y) = \frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} = x$ .

$\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} = x$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y^{2} - 3 y + 3, 1$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

$y^{2} - 3 y + 3, 1$

Paso 2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y^{2} - 3 y + 3$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} = x$ por $y^{2} - 3 y + 3$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} = x$ por $y^{2} - 3 y + 3$ .

$\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} (y^{2} - 3 y + 3) = x (y^{2} - 3 y + 3)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $y^{2} - 3 y + 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} (y^{2} - 3 y + 3) = x (y^{2} - 3 y + 3)$

Paso 3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y - 1 = x (y^{2} - 3 y + 3)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = x y^{2} + x (- 3 y) + x \cdot 3$

Paso 3.3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y - 1 = x y^{2} - 3 x y + x \cdot 3$

Paso 3.3.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$y - 1 = x y^{2} - 3 x y + 3 \cdot x$

$y - 1 = x y^{2} - 3 x y + 3 x$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x y^{2} - 3 x y + 3 x = y - 1$

Paso 4.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x y^{2} - 3 x y + 3 x - y = - 1$

Paso 4.3

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x y^{2} - 3 x y + 3 x - y + 1 = 0$

Paso 4.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.5

Sustituye los valores $a = x$ , $b = - 3 x - 1$ y $c = 3 x + 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- (- 3 x - 1) \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (3 x + 1))}}{2 x}$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- (- 3 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.6.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.6.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.6.4

Reescribe ${(- 3 x - 1)}^{2}$ como $(- 3 x - 1) (- 3 x - 1)$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x - 1) (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.6.5

Expande $(- 3 x - 1) (- 3 x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x - 1) - 1 (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.6.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.6.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.6.6

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.6.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 x \cdot x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.6.6.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.6.1.2.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 (x \cdot x)) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.6.6.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 x^{2}) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.6.6.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.6.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.6.6.1.5

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x + 3 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.6.6.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.6.6.2

Suma $3 x$ y $3 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.6.7

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 x (3 x) - 4 x \cdot 1}}{2 x}$

Paso 4.6.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x \cdot x) - 4 x \cdot 1}}{2 x}$

Paso 4.6.9

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x \cdot x) - 4 x}}{2 x}$

Paso 4.6.10

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.10.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.10.1.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 (x \cdot x)) - 4 x}}{2 x}$

Paso 4.6.10.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x^{2}) - 4 x}}{2 x}$

Paso 4.6.10.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 12 x^{2} - 4 x}}{2 x}$

Paso 4.6.11

Resta $12 x^{2}$ de $9 x^{2}$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 6 x + 1 - 4 x}}{2 x}$

Paso 4.6.12

Resta $4 x$ de $6 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x + 1}}{2 x}$

Paso 4.6.13

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.13.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 3 \cdot 1 = - 3$ y cuya suma es $b = 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.13.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 (x) + 1}}{2 x}$

Paso 4.6.13.1.2

Reescribe $2$ como $- 1$ más $3$

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + (- 1 + 3) x + 1}}{2 x}$

Paso 4.6.13.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} - 1 x + 3 x + 1}}{2 x}$

Paso 4.6.13.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.13.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x^{2} - 1 x) + 3 x + 1}}{2 x}$

Paso 4.6.13.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{x (- 3 x - 1) - (- 3 x - 1)}}{2 x}$

Paso 4.6.13.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 3 x - 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

Paso 4.7

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{3 x + 1 + \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

Paso 4.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.8.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.8.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- (- 3 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.8.1.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.8.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.8.1.4

Reescribe ${(- 3 x - 1)}^{2}$ como $(- 3 x - 1) (- 3 x - 1)$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x - 1) (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.8.1.5

Expande $(- 3 x - 1) (- 3 x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.8.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x - 1) - 1 (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.8.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.8.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.8.1.6

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.8.1.6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.8.1.6.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 x \cdot x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.8.1.6.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.8.1.6.1.2.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 (x \cdot x)) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.8.1.6.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 x^{2}) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.8.1.6.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.8.1.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.8.1.6.1.5

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x + 3 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.8.1.6.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.8.1.6.2

Suma $3 x$ y $3 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Paso 4.8.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 x (3 x) - 4 x \cdot 1}}{2 x}$

Paso 4.8.1.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x \cdot x) - 4 x \cdot 1}}{2 x}$

Paso 4.8.1.9

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x \cdot x) - 4 x}}{2 x}$

Paso 4.8.1.10

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.8.1.10.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.8.1.10.1.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 (x \cdot x)) - 4 x}}{2 x}$

Paso 4.8.1.10.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x^{2}) - 4 x}}{2 x}$

Paso 4.8.1.10.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 12 x^{2} - 4 x}}{2 x}$

Paso 4.8.1.11

Resta $12 x^{2}$ de $9 x^{2}$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 6 x + 1 - 4 x}}{2 x}$

Paso 4.8.1.12

Resta $4 x$ de $6 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x + 1}}{2 x}$

Paso 4.8.1.13

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.8.1.13.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 3 \cdot 1 = - 3$ y cuya suma es $b = 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.8.1.13.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 (x) + 1}}{2 x}$

Paso 4.8.1.13.1.2

Reescribe $2$ como $- 1$ más $3$

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + (- 1 + 3) x + 1}}{2 x}$

Paso 4.8.1.13.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} - 1 x + 3 x + 1}}{2 x}$

Paso 4.8.1.13.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.8.1.13.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x^{2} - 1 x) + 3 x + 1}}{2 x}$

Paso 4.8.1.13.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{x (- 3 x - 1) - (- 3 x - 1)}}{2 x}$

Paso 4.8.1.13.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 3 x - 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

Paso 4.8.2

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{3 x + 1 - \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

Paso 4.9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{3 x + 1 + \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

$y = \frac{3 x + 1 - \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

$y = \frac{3 x + 1 + \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

$y = \frac{3 x + 1 - \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

Paso 5

Establece el radicando en $\sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(- 3 x - 1) (x - 1) \geq 0$

Paso 6

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- 3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 6.2

Establece $- 3 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Establece $- 3 x - 1$ igual a $0$ .

$- 3 x - 1 = 0$

Paso 6.2.2

Resuelve $- 3 x - 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 x = 1$

Paso 6.2.2.2

Divide cada término en $- 3 x = 1$ por $- 3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.2.1

Divide cada término en $- 3 x = 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

Paso 6.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

Paso 6.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{- 3}$

Paso 6.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{3}$

Paso 6.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 6.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 6.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(- 3 x - 1) (x - 1) \geq 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

Paso 6.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{1}{3}$

$- \frac{1}{3} < x < 1$

$x > 1$

Paso 6.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{1}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{1}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 6.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$(- 3 \cdot - 3 - 1) ((- 3) - 1) \geq 0$

Paso 6.6.1.3

$- 32$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{1}{3} < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{1}{3} < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 6.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$(- 3 \cdot 0 - 1) ((0) - 1) \geq 0$

Paso 6.6.2.3

$1$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 6.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 6.6.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$(- 3 \cdot 4 - 1) ((4) - 1) \geq 0$

Paso 6.6.3.3

$- 39$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{1}{3}$ Falso

$- \frac{1}{3} < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

$x < - \frac{1}{3}$ Falso

$- \frac{1}{3} < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

Paso 6.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \frac{1}{3} \leq x \leq 1$

Paso 7

Establece el denominador en $\frac{3 x + 1 + \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 x = 0$

Paso 8

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 8.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 9

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- \frac{1}{3}, 0) \cup (0, 1]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - \frac{1}{3} \leq x \leq 1, x \neq 0}$

Paso 10

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \in ℝ}$

Paso 11

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $[- \frac{1}{3}, 0) \cup (0, 1], {x | - \frac{1}{3} \leq x \leq 1, x \neq 0}$

Rango: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Paso 12