Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{- 2 x + 8 x^{3}}{2 - x^{2} + 2 x^{4}}$

Paso 1

Establece el denominador en $\frac{- 2 x + 8 x^{3}}{2 - x^{2} + 2 x^{4}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 - x^{2} + 2 x^{4} = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$2 u^{2} - u + 2 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 2.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.3

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = - 1$ y $c = 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.4.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.4.1.3

Resta $16$ de $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.4.1.4

Reescribe $- 15$ como $- 1 (15)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (15)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

Paso 2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.5.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.5.1.3

Resta $16$ de $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.5.1.4

Reescribe $- 15$ como $- 1 (15)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (15)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

Paso 2.5.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$u = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.6.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.6.1.3

Resta $16$ de $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.6.1.4

Reescribe $- 15$ como $- 1 (15)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (15)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

Paso 2.6.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$u = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

Paso 2.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

Paso 2.8

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

Paso 2.9

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

Paso 2.10

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15}}{4}}$

Paso 2.10.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15}}{4}}$ .

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Paso 2.10.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{\sqrt{4}}$

Paso 2.10.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.10.2.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 2.10.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}$

Paso 2.10.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.10.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}$

Paso 2.10.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}$

Paso 2.10.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}$

Paso 2.11

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

Paso 2.12

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.12.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

Paso 2.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15}}{4}}$

Paso 2.12.3

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15}}{4}}$ .

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Paso 2.12.3.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{\sqrt{4}}$

Paso 2.12.3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.12.3.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 2.12.3.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

Paso 2.12.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.12.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

Paso 2.12.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

Paso 2.12.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

Paso 2.13

La solución a $2 x^{4} - x^{2} + 2 = 0$ es $x = \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$ .

$x = \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

Paso 3

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[- 2.49057894, 2.49057894]$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | - 2.49057894 \leq y \leq 2.49057894}$

Paso 5

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Rango: $[- 2.49057894, 2.49057894], {y | - 2.49057894 \leq y \leq 2.49057894}$

Paso 6