Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x - 8}{x^{3} + 64}$

Step 1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} - 7 x - 8}{x^{3} + 64}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} + 64 = 0$

Step 2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Resta $64$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = - 64$

Suma $64$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{3} + 64 = 0$

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Reescribe $64$ como $4^{3}$ .

$x^{3} + 4^{3} = 0$

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$(x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Simplifica.

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Multiplica $4$ por $- 1$ .

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}) = 0$

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Establece $x^{2} - 4 x + 16$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Establece $x^{2} - 4 x + 16$ igual a $0$ .

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

Resuelve $x^{2} - 4 x + 16 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 4$ y $c = 16$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Resta $64$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Simplifica $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Resta $64$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Simplifica $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}$

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Resta $64$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Simplifica $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 2 - 2 i \sqrt{3}$

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$ verdadera.

$x = - 4, 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

Step 3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq - 4}$

Step 4

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \in ℝ}$

Step 5

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty), {x | x \neq - 4}$

Rango: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Step 6