Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46 = x$ .

$x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46 = x$

Paso 2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46 - x = 0$

Paso 3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 8 x + 180$ y $c = x^{2} + 46 - x$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- (- 8 x + 180) \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- (- 8 x) - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3

Multiplica $- 1$ por $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4

Agrega paréntesis.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5

Sea $u = 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

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Paso 5.1.5.1

Reescribe ${(- 8 x + 180)}^{2}$ como $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{(- 8 x + 180) (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5.2

Expande $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x + 180) + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.1.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x \cdot x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.5.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x^{2}) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5.3.1.3

Multiplica $- 8$ por $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5.3.1.4

Multiplica $180$ por $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5.3.1.5

Multiplica $- 8$ por $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5.3.1.6

Multiplica $180$ por $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5.3.2

Resta $1440 x$ de $- 1440 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6

Factoriza $4$ de $64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u$ .

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Paso 5.1.6.1

Factoriza $4$ de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2

Factoriza $4$ de $- 2880 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.3

Factoriza $4$ de $32400$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.4

Factoriza $4$ de $- 4 u$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.5

Factoriza $4$ de $4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.6

Factoriza $4$ de $4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.7

Factoriza $4$ de $4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (1 \cdot (x^{2} + 46 - x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.8

Simplifica.

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Paso 5.1.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.8.1.1

Multiplica $x^{2} + 46 - x$ por $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.8.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 1 \cdot 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.8.1.3

Simplifica.

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Paso 5.1.8.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $46$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.8.1.3.2

Multiplica $- - x$ .

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Paso 5.1.8.1.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.8.1.3.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.8.2

Resta $x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 720 x + 8100 - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.8.3

Suma $- 720 x$ y $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8100 - 46)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.8.4

Resta $46$ de $8100$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.9

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{2^{2} (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.10

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Paso 6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- (- 8 x) - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.3

Multiplica $- 1$ por $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.4

Agrega paréntesis.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.5

Sea $u = 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.5.1

Reescribe ${(- 8 x + 180)}^{2}$ como $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{(- 8 x + 180) (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.5.2

Expande $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x + 180) + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x \cdot x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.5.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.5.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.5.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x^{2}) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.5.3.1.3

Multiplica $- 8$ por $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.5.3.1.4

Multiplica $180$ por $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.5.3.1.5

Multiplica $- 8$ por $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.5.3.1.6

Multiplica $180$ por $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.5.3.2

Resta $1440 x$ de $- 1440 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.6

Factoriza $4$ de $64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.6.1

Factoriza $4$ de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.6.2

Factoriza $4$ de $- 2880 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.6.3

Factoriza $4$ de $32400$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.6.4

Factoriza $4$ de $- 4 u$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.6.5

Factoriza $4$ de $4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.6.6

Factoriza $4$ de $4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.6.7

Factoriza $4$ de $4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (1 \cdot (x^{2} + 46 - x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.8

Simplifica.

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Paso 6.1.8.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.8.1.1

Multiplica $x^{2} + 46 - x$ por $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.8.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 1 \cdot 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.8.1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.8.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $46$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.8.1.3.2

Multiplica $- - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.8.1.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.8.1.3.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.8.2

Resta $x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 720 x + 8100 - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.8.3

Suma $- 720 x$ y $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8100 - 46)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.8.4

Resta $46$ de $8100$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.9

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{2^{2} (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.10

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Paso 6.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{8 x - 180 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $8 x - 180 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ y $2$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $2$ de $8 x$ .

$y = \frac{2 (4 x) - 180 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Paso 6.4.2

Factoriza $2$ de $- 180$ .

$y = \frac{2 (4 x) + 2 \cdot - 90 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Paso 6.4.3

Factoriza $2$ de $2 (4 x) + 2 (- 90)$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90) + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Paso 6.4.4

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90) + 2 (\sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

Paso 6.4.5

Factoriza $2$ de $2 (4 x - 90) + 2 (\sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

Paso 6.4.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.4.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 (1)}$

Paso 6.4.6.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 (4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 \cdot 1}$

Paso 6.4.6.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{1}$

Paso 6.4.6.4

Divide $4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ por $1$ .

$y = 4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

Paso 7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- (- 8 x) - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.3

Multiplica $- 1$ por $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.4

Agrega paréntesis.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.5

Sea $u = 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

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Paso 7.1.5.1

Reescribe ${(- 8 x + 180)}^{2}$ como $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{(- 8 x + 180) (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.5.2

Expande $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.1.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x + 180) + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.1.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x \cdot x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.5.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.5.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.5.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x^{2}) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.5.3.1.3

Multiplica $- 8$ por $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.5.3.1.4

Multiplica $180$ por $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.5.3.1.5

Multiplica $- 8$ por $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.5.3.1.6

Multiplica $180$ por $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.5.3.2

Resta $1440 x$ de $- 1440 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.6

Factoriza $4$ de $64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u$ .

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Paso 7.1.6.1

Factoriza $4$ de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.6.2

Factoriza $4$ de $- 2880 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.6.3

Factoriza $4$ de $32400$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.6.4

Factoriza $4$ de $- 4 u$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.6.5

Factoriza $4$ de $4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.6.6

Factoriza $4$ de $4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.6.7

Factoriza $4$ de $4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (1 \cdot (x^{2} + 46 - x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.8

Simplifica.

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Paso 7.1.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.8.1.1

Multiplica $x^{2} + 46 - x$ por $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.8.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 1 \cdot 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.8.1.3

Simplifica.

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Paso 7.1.8.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $46$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.8.1.3.2

Multiplica $- - x$ .

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Paso 7.1.8.1.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.8.1.3.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.8.2

Resta $x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 720 x + 8100 - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.8.3

Suma $- 720 x$ y $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8100 - 46)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.8.4

Resta $46$ de $8100$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.9

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{2^{2} (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.10

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Paso 7.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{8 x - 180 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Paso 7.4

Cancela el factor común de $8 x - 180 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ y $2$ .

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Paso 7.4.1

Factoriza $2$ de $8 x$ .

$y = \frac{2 (4 x) - 180 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Paso 7.4.2

Factoriza $2$ de $- 180$ .

$y = \frac{2 (4 x) + 2 \cdot - 90 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Paso 7.4.3

Factoriza $2$ de $2 (4 x) + 2 (- 90)$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90) - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Paso 7.4.4

Factoriza $2$ de $- 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90) + 2 (- \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

Paso 7.4.5

Factoriza $2$ de $2 (4 x - 90) + 2 (- \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

Paso 7.4.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.4.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 (1)}$

Paso 7.4.6.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 (4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.6.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{1}$

Paso 7.4.6.4

Divide $4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ por $1$ .

$y = 4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

Paso 8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = 4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

$y = 4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

Paso 9

Establece el radicando en $\sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$15 x^{2} - 719 x + 8054 \geq 0$

Paso 10

Resuelve $x$

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Paso 10.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$15 x^{2} - 719 x + 8054 = 0$

Paso 10.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 10.3

Sustituye los valores $a = 15$ , $b = - 719$ y $c = 8054$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{719 \pm \sqrt{{(- 719)}^{2} - 4 \cdot (15 \cdot 8054)}}{2 \cdot 15}$

Paso 10.4

Simplifica.

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Paso 10.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.4.1.1

Eleva $- 719$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 4 \cdot 15 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Paso 10.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 15 \cdot 8054$ .

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Paso 10.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 60 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Paso 10.4.1.2.2

Multiplica $- 60$ por $8054$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 483240}}{2 \cdot 15}$

Paso 10.4.1.3

Resta $483240$ de $516961$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{2 \cdot 15}$

Paso 10.4.2

Multiplica $2$ por $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{30}$

Paso 10.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 10.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.5.1.1

Eleva $- 719$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 4 \cdot 15 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Paso 10.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 15 \cdot 8054$ .

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Paso 10.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 60 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Paso 10.5.1.2.2

Multiplica $- 60$ por $8054$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 483240}}{2 \cdot 15}$

Paso 10.5.1.3

Resta $483240$ de $516961$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{2 \cdot 15}$

Paso 10.5.2

Multiplica $2$ por $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{30}$

Paso 10.5.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

Paso 10.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 10.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.6.1.1

Eleva $- 719$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 4 \cdot 15 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Paso 10.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 15 \cdot 8054$ .

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Paso 10.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 60 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Paso 10.6.1.2.2

Multiplica $- 60$ por $8054$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 483240}}{2 \cdot 15}$

Paso 10.6.1.3

Resta $483240$ de $516961$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{2 \cdot 15}$

Paso 10.6.2

Multiplica $2$ por $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{30}$

Paso 10.6.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$

Paso 10.7

Consolida las soluciones.

$x = \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}, \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$

Paso 10.8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$

$\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

$x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

Paso 10.9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.9.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$15 {(0)}^{2} - 719 \cdot 0 + 8054 \geq 0$

Paso 10.9.1.3

$8054$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.9.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.9.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 20$

Paso 10.9.2.2

Reemplaza $x$ con $20$ en la desigualdad original.

$15 {(20)}^{2} - 719 \cdot 20 + 8054 \geq 0$

Paso 10.9.2.3

$- 326$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 33$

Paso 10.9.3.2

Reemplaza $x$ con $33$ en la desigualdad original.

$15 {(33)}^{2} - 719 \cdot 33 + 8054 \geq 0$

Paso 10.9.3.3

$662$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ Verdadero

$\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ Falso

$x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ Verdadero

$x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ Verdadero

$\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ Falso

$x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ Verdadero

Paso 10.10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ o $x \geq \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

Paso 11

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{719 + \sqrt{33721}}{30}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \leq \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}, x \geq \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}}$

Paso 12

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{176 + \sqrt{33721}}{30}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \leq \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}, y \geq \frac{176 + \sqrt{33721}}{30}}$

Paso 13

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{719 + \sqrt{33721}}{30}, \infty), {x | x \leq \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}, x \geq \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}}$

Rango: $(- \infty, \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{176 + \sqrt{33721}}{30}, \infty), {y | y \leq \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}, y \geq \frac{176 + \sqrt{33721}}{30}}$

Paso 14