Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 y - 1))$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1) = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1)) = 2 x$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1))$ .

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Paso 3.3.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (2 y - 1)$ .

$2 \frac{\ln (2 y - 1)}{2} = 2 x$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\ln (2 y - 1)}{2} = 2 x$

Paso 3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (2 y - 1) = 2 x$

Paso 3.4

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (2 y - 1)} = e^{2 x}$

Paso 3.5

Reescribe $\ln (2 y - 1) = 2 x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 x} = 2 y - 1$

Paso 3.6

Resuelve $y$

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Paso 3.6.1

Reescribe la ecuación como $2 y - 1 = e^{2 x}$ .

$2 y - 1 = e^{2 x}$

Paso 3.6.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y = e^{2 x} + 1$

Paso 3.6.3

Divide cada término en $2 y = e^{2 x} + 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.6.3.1

Divide cada término en $2 y = e^{2 x} + 1$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 3.6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 3.6.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1)))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{2 (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1)))}}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{2 (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1)))} + 1}{2}$

Paso 5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1

Simplifica $\frac{1}{2} (\ln (2 x - 1))$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{2 \ln ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})} + 1}{2}$

Paso 5.2.4.2

Simplifica $2 \ln ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{\ln ({({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})} + 1}{2}$

Paso 5.2.4.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{{({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}{2}$

Paso 5.2.4.4

Multiplica los exponentes en ${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.4.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}{2}$

Paso 5.2.4.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.4.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}{2}$

Paso 5.2.4.4.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{(2 x - 1) + 1}{2}$

Paso 5.2.4.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Paso 5.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.5.1

Combina los términos opuestos en $2 x - 1 + 1$ .

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Paso 5.2.5.1.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x + 0}{2}$

Paso 5.2.5.1.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) - 1))$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (2 (\frac{e^{2 x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (2 (\frac{e^{2 x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Paso 5.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Paso 5.3.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Paso 5.3.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 1 - 1)$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $e^{2 x} + 1 - 1$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 0)$

Paso 5.3.4.2

Suma $e^{2 x}$ y $0$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x})$

Paso 5.3.5

Usa las reglas de logaritmos para mover $2 x$ fuera del exponente.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \ln (e))$

Paso 5.3.6

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \cdot 1)$

Paso 5.3.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Paso 5.3.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.8.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Paso 5.3.8.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Paso 5.3.8.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$