Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} + 2$ , $[0, 4]$

Paso 1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[0, 4]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} x^{2} + 2 d x)$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} 2 d x)$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} 2 d x)$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4} + 2 x]_{0}^{4})$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}$ y $2 x]_{0}^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{0}^{4})$

Paso 8.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.2.1

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x$ en $4$ y en $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3} + 2 \cdot 4) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0))$

Paso 8.2.2

Simplifica.

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Paso 8.2.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{3} \cdot 64 + 2 \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0))$

Paso 8.2.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $64$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{64}{3} + 2 \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0))$

Paso 8.2.2.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{64}{3} + 8 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0))$

Paso 8.2.2.4

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{64}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0))$

Paso 8.2.2.5

Combina $8$ y $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{64}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0))$

Paso 8.2.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{64 + 8 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0))$

Paso 8.2.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.2.7.1

Multiplica $8$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{64 + 24}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0))$

Paso 8.2.2.7.2

Suma $64$ y $24$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0))$

Paso 8.2.2.8

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + 2 \cdot 0))$

Paso 8.2.2.9

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{88}{3} - (0 + 2 \cdot 0))$

Paso 8.2.2.10

Multiplica $2$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{88}{3} - (0 + 0))$

Paso 8.2.2.11

Suma $0$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{88}{3} - 0)$

Paso 8.2.2.12

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{88}{3} + 0)$

Paso 8.2.2.13

Suma $\frac{88}{3}$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{88}{3})$

Paso 9

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 0} \cdot \frac{88}{3}$

Paso 9.2

Suma $4$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{88}{3}$

Paso 10

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 10.1

Factoriza $4$ de $88$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (22)}{3}$

Paso 10.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 22}{3}$

Paso 10.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{22}{3}$

Paso 11