Cálculo Ejemplos

$p (x) = \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ , $0 < x < 10$

Paso 1

Para obtener el valor promedio de una función, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Para determinar si $p (x)$ es continua en $[0, 10]$ o no, obtén el dominio de $p (x) = \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ .

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Paso 1.1

Establece el argumento en $\ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1 > 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Suma $- x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$2 x^{2} + 72 x + 1 > 0$

Paso 1.2.2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2 x^{2} + 72 x + 1 = 0$

Paso 1.2.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2.4

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = 72$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 72 \pm \sqrt{72^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.5

Simplifica.

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Paso 1.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.1.1

Eleva $72$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Paso 1.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.5.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.5.1.3

Resta $8$ de $5184$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.5.1.4

Reescribe $5176$ como $2^{2} \cdot 1294$ .

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Paso 1.2.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $5176$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

Paso 1.2.5.3

Simplifica $\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1.1

Eleva $72$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Paso 1.2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.6.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.6.1.3

Resta $8$ de $5184$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.6.1.4

Reescribe $5176$ como $2^{2} \cdot 1294$ .

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Paso 1.2.6.1.4.1

Factoriza $4$ de $5176$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

Paso 1.2.6.3

Simplifica $\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

Paso 1.2.6.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 36 + \sqrt{1294}}{2}$

Paso 1.2.6.5

Reescribe $- 36$ como $- 1 (36)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 + \sqrt{1294}}{2}$

Paso 1.2.6.6

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{1294}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - 1 (- \sqrt{1294})}{2}$

Paso 1.2.6.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (36) - 1 (- \sqrt{1294})$ .

$x = \frac{- 1 (36 - \sqrt{1294})}{2}$

Paso 1.2.6.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

Paso 1.2.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.7.1.1

Eleva $72$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Paso 1.2.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.7.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.7.1.3

Resta $8$ de $5184$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.7.1.4

Reescribe $5176$ como $2^{2} \cdot 1294$ .

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Paso 1.2.7.1.4.1

Factoriza $4$ de $5176$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.7.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.7.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

Paso 1.2.7.3

Simplifica $\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

Paso 1.2.7.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 36 - \sqrt{1294}}{2}$

Paso 1.2.7.5

Reescribe $- 36$ como $- 1 (36)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - \sqrt{1294}}{2}$

Paso 1.2.7.6

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{1294}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - (\sqrt{1294})}{2}$

Paso 1.2.7.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (36) - (\sqrt{1294})$ .

$x = \frac{- 1 (36 + \sqrt{1294})}{2}$

Paso 1.2.7.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

Paso 1.2.8

Consolida las soluciones.

$x = - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

Paso 1.2.9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

Paso 1.2.10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.2.10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 38$

Paso 1.2.10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 38$ en la desigualdad original.

$- {(- 38)}^{2} + 3 {(- 38)}^{2} + 72 (- 38) + 1 > 0$

Paso 1.2.10.1.3

$153$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.2.10.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 1.2.10.2.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$- {(- 3)}^{2} + 3 {(- 3)}^{2} + 72 (- 3) + 1 > 0$

Paso 1.2.10.2.3

$- 197$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.2.10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 1.2.10.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$- {(0)}^{2} + 3 {(0)}^{2} + 72 (0) + 1 > 0$

Paso 1.2.10.3.3

$1$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.2.10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ Verdadero

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Falso

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Verdadero

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ Verdadero

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Falso

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Verdadero

Paso 1.2.11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ o $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

Paso 1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}) \cup (- \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}, x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}) \cup (- \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}, x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}}$

Paso 2

$p (x)$ es continua en $[0, 10]$ .

$p (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $p$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (\int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x)$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 0} \cdot \int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x$

Paso 5.2

Suma $10$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot \int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Suma $- x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot \int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{10}$ y $\int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x$ .

$A (x) = \frac{\int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x}{10}$

Paso 7