Cálculo Ejemplos

$g (x) = x^{2} \sqrt{1 + x^{3}}$ , $[0, 2]$

Paso 1

Para obtener el valor promedio de una función, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Para determinar si $g (x)$ es continua en $[0, 2]$ o no, obtén el dominio de $g (x) = x^{2} \sqrt{1 + x^{3}}$ .

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Paso 1.1

Establece el radicando en $\sqrt{1 + x^{3}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$1 + x^{3} \geq 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{3} \geq - 1$

Paso 1.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la desigualdad.

$x^{3} + 1 \geq 0$

Paso 1.2.3

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{3} + 1 = 0$

Paso 1.2.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.4.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$x^{3} + 1^{3} = 0$

Paso 1.2.4.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 1.2.4.3

Simplifica.

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Paso 1.2.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

Paso 1.2.4.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Paso 1.2.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Paso 1.2.6

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.6.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 1.2.6.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 1.2.7

Establece $x^{2} - x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.7.1

Establece $x^{2} - x + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Paso 1.2.7.2

Resuelve $x^{2} - x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.7.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2.7.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2.3

Simplifica.

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Paso 1.2.7.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.7.2.3.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 1.2.7.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2.3.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2.3.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.7.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.7.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.7.2.4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 1.2.7.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2.4.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2.4.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.7.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.7.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.7.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.7.2.5.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 1.2.7.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2.5.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2.5.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.7.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.7.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ verdadera.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \geq - 1$

Paso 1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq - 1}$

Notación de intervalo:

$[- 1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq - 1}$

Paso 2

$g (x)$ es continua en $[0, 2]$ .

$g (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $g$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{2} \sqrt{1 + x^{3}} d x)$

Paso 5

Sea $u = 1 + x^{3}$ . Entonces $d u = 3 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 1 + x^{3}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $1 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{3}]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 5.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Paso 5.1.5

Suma $0$ y $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 + x^{3}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{3}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Paso 5.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 + x^{3}$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Paso 5.5

Simplifica.

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Paso 5.5.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Paso 5.5.2

Suma $1$ y $8$ .

$u_{upper} = 9$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{1}^{9} \sqrt{u} (\frac{1}{3}) d u)$

Paso 6

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{3} d u)$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u)$

Paso 8

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9})$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $9$ y en $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Paso 10.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Paso 10.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.3.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Paso 10.2.3.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Paso 10.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Paso 10.2.5

Combina $\frac{2}{3}$ y $27$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Paso 10.2.6

Multiplica $2$ por $27$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Paso 10.2.7

Cancela el factor común de $54$ y $3$ .

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Paso 10.2.7.1

Factoriza $3$ de $54$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Paso 10.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.7.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Paso 10.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Paso 10.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Paso 10.2.7.2.4

Divide $18$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Paso 10.2.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3} \cdot 1))$

Paso 10.2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3}))$

Paso 10.2.10

Para escribir $18$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}))$

Paso 10.2.11

Combina $18$ y $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}))$

Paso 10.2.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3})$

Paso 10.2.13

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.13.1

Multiplica $18$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{54 - 2}{3})$

Paso 10.2.13.2

Resta $2$ de $54$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{52}{3})$

Paso 10.2.14

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{52}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{52}{3 \cdot 3})$

Paso 10.2.15

Multiplica $3$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{52}{9})$

Paso 11

Simplifica el denominador.

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Paso 11.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot \frac{52}{9}$

Paso 11.2

Suma $2$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{52}{9}$

Paso 12

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.1

Factoriza $2$ de $52$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (26)}{9}$

Paso 12.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 26}{9}$

Paso 12.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{26}{9}$

Paso 13