Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt[3]{x}$ , $[1, 27]$

Paso 1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[1, 27]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} d x)$

Paso 5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\int_{1}^{27} x^{\frac{1}{3}} d x)$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27})$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ en $27$ y en $1$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} ((\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.3.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.3.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.5

Combina $\frac{3}{4}$ y $81$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.6

Multiplica $3$ por $81$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Paso 7.2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4})$

Paso 7.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{243 - 3}{4})$

Paso 7.2.10

Resta $3$ de $243$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{240}{4})$

Paso 7.2.11

Cancela el factor común de $240$ y $4$ .

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Paso 7.2.11.1

Factoriza $4$ de $240$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{4 \cdot 60}{4})$

Paso 7.2.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.11.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{4 \cdot 60}{4 (1)})$

Paso 7.2.11.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 1})$

Paso 7.2.11.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{60}{1})$

Paso 7.2.11.2.4

Divide $60$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (60)$

Paso 8

Resta $1$ de $27$ .

$A (x) = \frac{1}{26} \cdot 60$

Paso 9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1

Factoriza $2$ de $26$ .

$A (x) = \frac{1}{2 (13)} \cdot 60$

Paso 9.2

Factoriza $2$ de $60$ .

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 13} \cdot (2 \cdot 30)$

Paso 9.3

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 13} \cdot (2 \cdot 30)$

Paso 9.4

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{13} \cdot 30$

Paso 10

Combina $\frac{1}{13}$ y $30$ .

$A (x) = \frac{30}{13}$

Paso 11