Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x + 1}$ , $[0, 24]$

Paso 1

Para obtener el valor promedio de una función, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Para determinar si $f (x)$ es continua en $[0, 24]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = \sqrt{x + 1}$ .

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Paso 1.1

Establece el radicando en $\sqrt{x + 1}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x + 1 \geq 0$

Paso 1.2

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$x \geq - 1$

Paso 1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq - 1}$

Notación de intervalo:

$[- 1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq - 1}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[0, 24]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\int_{0}^{24} \sqrt{x + 1} d x)$

Paso 5

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 5.3

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 24 + 1$

Paso 5.5

Suma $24$ y $1$ .

$u_{upper} = 25$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 25$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\int_{1}^{25} \sqrt{u} d u)$

Paso 6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\int_{1}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{25})$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $25$ y en $1$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.3.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.2.3.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.2.4

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.2.5

Combina $\frac{2}{3}$ y $125$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.2.6

Multiplica $2$ por $125$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.2.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Paso 8.2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3})$

Paso 8.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{250 - 2}{3})$

Paso 8.2.10

Resta $2$ de $250$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{248}{3})$

Paso 9

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 + 0} \cdot \frac{248}{3}$

Paso 9.2

Suma $24$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24} \cdot \frac{248}{3}$

Paso 10

Simplifica los términos.

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Paso 10.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 10.1.1

Factoriza $8$ de $24$ .

$A (x) = \frac{1}{8 (3)} \cdot \frac{248}{3}$

Paso 10.1.2

Factoriza $8$ de $248$ .

$A (x) = \frac{1}{8 \cdot 3} \cdot \frac{8 \cdot 31}{3}$

Paso 10.1.3

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{8 \cdot 3} \cdot \frac{8 \cdot 31}{3}$

Paso 10.1.4

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{31}{3}$

Paso 10.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{31}{3}$ .

$A (x) = \frac{31}{3 \cdot 3}$

Paso 10.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$A (x) = \frac{31}{9}$

Paso 11