Cálculo Ejemplos

$f (x) = x + 12 x^{- 1}$ , $[- 4, - 3]$

Paso 1

Para obtener el valor promedio de una función, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Para determinar si $f (x)$ es continua en $[- 4, - 3]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = x + 12 x^{- 1}$ .

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Paso 1.1

Establece la base en $x^{- 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 1.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[- 4, - 3]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\int_{- 4}^{- 3} x + 12 x^{- 1} d x)$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\int_{- 4}^{- 3} x d x + \int_{- 4}^{- 3} 12 x^{- 1} d x)$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{- 3} + \int_{- 4}^{- 3} 12 x^{- 1} d x)$

Paso 7

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{- 3} + 12 \int_{- 4}^{- 3} x^{- 1} d x)$

Paso 8

La integral de $x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{- 3} + 12 (\ln (| x |)]_{- 4}^{- 3}))$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1.1

Evalúa $\frac{1}{2} x^{2}$ en $- 3$ y en $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} ((\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| x |)]_{- 4}^{- 3}))$

Paso 9.1.2

Evalúa $\ln (| x |)$ en $- 3$ y en $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Paso 9.1.3

Simplifica.

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Paso 9.1.3.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Paso 9.1.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $9$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Paso 9.1.3.3

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 16 + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Paso 9.1.3.4

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - 16 (\frac{1}{2}) + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Paso 9.1.3.5

Combina $- 16$ y $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{- 16}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Paso 9.1.3.6

Cancela el factor común de $- 16$ y $2$ .

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Paso 9.1.3.6.1

Factoriza $2$ de $- 16$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 8}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Paso 9.1.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.1.3.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Paso 9.1.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Paso 9.1.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{- 8}{1} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Paso 9.1.3.6.2.4

Divide $- 8$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - 8 + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Paso 9.1.3.7

Para escribir $- 8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Paso 9.1.3.8

Combina $- 8$ y $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Paso 9.1.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9 - 8 \cdot 2}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Paso 9.1.3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.3.10.1

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9 - 16}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Paso 9.1.3.10.2

Resta $16$ de $9$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Paso 9.1.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Paso 9.1.3.12

Para escribir $12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) \cdot \frac{2}{2})$

Paso 9.1.3.13

Combina $12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |))$ y $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7}{2} + \frac{12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) \cdot 2}{2})$

Paso 9.1.3.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7 + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) \cdot 2}{2})$

Paso 9.1.3.15

Multiplica $2$ por $12$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7 + 24 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |))}{2})$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7 + 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})}{2})$

Paso 9.2.2

Reescribe $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 1 \cdot 7 + 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})}{2})$

Paso 9.2.3

Factoriza $- 1$ de $24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 1 \cdot 7 - (- 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}))}{2})$

Paso 9.2.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (7) - (- 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}))$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 1 (7 - 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}))}{2})$

Paso 9.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})}{2})$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 3$ y $0$ es $3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{| - 4 |})}{2})$

Paso 9.3.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 4$ y $0$ es $4$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

Paso 10

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 10.1

Suma $- 3$ y $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

Paso 10.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 10.2.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

Paso 10.2.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = 1 \cdot (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

Paso 10.3

Multiplica $- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2}$ por $1$ .

$A (x) = - \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2}$

Paso 11

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1

Simplifica $- 24 \ln (\frac{3}{4})$ al mover $24$ dentro del algoritmo.

$A (x) = - \frac{7 - \ln ({(\frac{3}{4})}^{24})}{2}$

Paso 11.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$A (x) = - \frac{7 - \ln (\frac{3^{24}}{4^{24}})}{2}$

Paso 11.3

Eleva $3$ a la potencia de $24$ .

$A (x) = - \frac{7 - \ln (\frac{282429536481}{4^{24}})}{2}$

Paso 11.4

Eleva $4$ a la potencia de $24$ .

$A (x) = - \frac{7 - \ln (\frac{282429536481}{281474976710656})}{2}$

Paso 12