Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{12 x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $\frac{1}{12}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{12 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{12} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Paso 1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{1}{12} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

Paso 1.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{1}{12} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2 \cdot - 1})$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{12} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- 2})$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{12} \cdot (- 2 x^{- 3})$

Paso 1.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.4.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{12}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{12} x^{- 3}$

Paso 1.4.2

Combina $\frac{- 2}{12}$ y $x^{- 3}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{- 3}}{12}$

Paso 1.4.3

Mueve $x^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{12 x^{3}}$

Paso 1.4.4

Cancela el factor común de $- 2$ y $12$ .

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Paso 1.4.4.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (- 1)}{12 x^{3}}$

Paso 1.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.4.2.1

Factoriza $2$ de $12 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- 1)}{2 (6 x^{3})}$

Paso 1.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (6 x^{3})}$

Paso 1.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{- 1}{6 x^{3}}$

Paso 1.4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{1}{6 x^{3}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $- \frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{6 x^{3}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{6} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}}$

Paso 2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{6} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1}$

Paso 2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{6} \cdot \frac{d}{d x} x^{3 \cdot - 1}$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{6} \cdot \frac{d}{d x} x^{- 3}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{6} \cdot (- 3 x^{- 4})$

Paso 2.4

Simplifica los términos.

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Paso 2.4.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{1}{6}) \cdot x^{- 4}$

Paso 2.4.2

Combina $3$ y $\frac{1}{6}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{6} x^{- 4}$

Paso 2.4.3

Combina $\frac{3}{6}$ y $x^{- 4}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{- 4}}{6}$

Paso 2.4.4

Mueve $x^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{6 x^{4}}$

Paso 2.4.5

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 2.4.5.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (1)}{6 x^{4}}$

Paso 2.4.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.5.2.1

Factoriza $3$ de $6 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (1)}{3 (2 x^{4})}$

Paso 2.4.5.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{3 \cdot 1}{3 (2 x^{4})}$

Paso 2.4.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{1}{2 x^{4}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2 x^{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f''' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}})$

Paso 3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{4})}^{- 1})$

Paso 3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4 \cdot - 1})$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- 4})$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 4$ .

$f''' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- 4 x^{- 5})$

Paso 3.4

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.1

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{- 4}{2} x^{- 5}$

Paso 3.4.2

Combina $\frac{- 4}{2}$ y $x^{- 5}$ .

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{- 5}}{2}$

Paso 3.4.3

Mueve $x^{- 5}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{- 4}{2 x^{5}}$

Paso 3.4.4

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 3.4.4.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$f''' (x) = \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{5}}$

Paso 3.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.4.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{5}$ .

$f''' (x) = \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{5})}$

Paso 3.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$f''' (x) = \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{5}}$

Paso 3.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f''' (x) = \frac{- 2}{x^{5}}$

Paso 3.4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (x) = - \frac{2}{x^{5}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2}{x^{5}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$f^{4} (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{5}}$

Paso 4.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{5}}$ como ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x^{5})}^{- 1}$

Paso 4.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{5 \cdot - 1}$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{- 5}$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 5$ .

$f^{4} (x) = - 2 (- 5 x^{- 6})$

Paso 4.4

Multiplica $- 5$ por $- 2$ .

$f^{4} (x) = 10 x^{- 6}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = 10 (\frac{1}{x^{6}})$

Paso 4.5.2

Combina $10$ y $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{x^{6}}$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{10}{x^{6}}$ .

$\frac{10}{x^{6}}$