Cálculo Ejemplos

$f (x) = 8 - x$ , $[1, 4]$

Paso 1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[1, 4]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\int_{1}^{4} 8 - x d x)$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\int_{1}^{4} 8 d x + \int_{1}^{4} - x d x)$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (8 x]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - x d x)$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (8 x]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} x d x)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (8 x]_{1}^{4} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}))$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (8 x]_{1}^{4} - (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}))$

Paso 9.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.2.1

Evalúa $8 x$ en $4$ y en $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} ((8 \cdot 4) - 8 \cdot 1 - (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}))$

Paso 9.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $4$ y en $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (8 \cdot 4 - 8 \cdot 1 - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3

Simplifica.

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Paso 9.2.3.1

Multiplica $8$ por $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (32 - 8 \cdot 1 - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.2

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (32 - 8 - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.3

Resta $8$ de $32$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (24 - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (24 - (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.5

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 9.2.3.5.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (24 - (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (24 - (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (24 - (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (24 - (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.5.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (24 - (8 - \frac{1^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (24 - (8 - \frac{1}{2}))$

Paso 9.2.3.7

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (24 - (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}))$

Paso 9.2.3.8

Combina $8$ y $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (24 - (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}))$

Paso 9.2.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (24 - \frac{8 \cdot 2 - 1}{2})$

Paso 9.2.3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.3.10.1

Multiplica $8$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (24 - \frac{16 - 1}{2})$

Paso 9.2.3.10.2

Resta $1$ de $16$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (24 - \frac{15}{2})$

Paso 9.2.3.11

Para escribir $24$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (24 \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2})$

Paso 9.2.3.12

Combina $24$ y $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\frac{24 \cdot 2}{2} - \frac{15}{2})$

Paso 9.2.3.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\frac{24 \cdot 2 - 15}{2})$

Paso 9.2.3.14

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.3.14.1

Multiplica $24$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\frac{48 - 15}{2})$

Paso 9.2.3.14.2

Resta $15$ de $48$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\frac{33}{2})$

Paso 10

Resta $1$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{33}{2}$

Paso 11

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.1

Factoriza $3$ de $33$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 (11)}{2}$

Paso 11.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 11}{2}$

Paso 11.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{11}{2}$

Paso 12