Cálculo Ejemplos

$f (x) = 7 x^{2} + 7$ , $[- 1, 4]$

Paso 1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[- 1, 4]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\int_{- 1}^{4} 7 x^{2} + 7 d x)$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\int_{- 1}^{4} 7 x^{2} d x + \int_{- 1}^{4} 7 d x)$

Paso 6

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 \int_{- 1}^{4} x^{2} d x + \int_{- 1}^{4} 7 d x)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 7 d x)$

Paso 8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 7 d x)$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + 7 x]_{- 1}^{4})$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.1

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $4$ y en $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 7 x]_{- 1}^{4})$

Paso 10.2

Evalúa $7 x$ en $4$ y en $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Paso 10.3

Simplifica.

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Paso 10.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Paso 10.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64}{3} - \frac{- 1}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Paso 10.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64}{3} + \frac{1}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Paso 10.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Paso 10.3.5

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64}{3} + \frac{1}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Paso 10.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64 + 1}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Paso 10.3.7

Suma $64$ y $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{65}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Paso 10.3.8

Combina $7$ y $\frac{65}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{7 \cdot 65}{3} + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Paso 10.3.9

Multiplica $7$ por $65$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Paso 10.3.10

Multiplica $7$ por $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + 28 - 7 \cdot - 1)$

Paso 10.3.11

Multiplica $- 7$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + 28 + 7)$

Paso 10.3.12

Suma $28$ y $7$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + 35)$

Paso 10.3.13

Para escribir $35$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + 35 \cdot \frac{3}{3})$

Paso 10.3.14

Combina $35$ y $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + \frac{35 \cdot 3}{3})$

Paso 10.3.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455 + 35 \cdot 3}{3})$

Paso 10.3.16

Simplifica el numerador.

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Paso 10.3.16.1

Multiplica $35$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455 + 105}{3})$

Paso 10.3.16.2

Suma $455$ y $105$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{560}{3})$

Paso 11

Suma $4$ y $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{560}{3}$

Paso 12

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 12.1

Factoriza $5$ de $560$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 (112)}{3}$

Paso 12.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 112}{3}$

Paso 12.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{112}{3}$

Paso 13